Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

6.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Для определения чисел A, B, C получаем равенство

A( p 1)(p				3) Bp( p			3)		Cp( p 1)			p2		1 p		2 .
	Подставляя в обе части равенства вместо p поочередно числа
–1;	3		и	0,	имеем		4B		10,	12C		26,				3 A	2 .	Отсюда
B		5	;	C	13 ;	A		2	; T ( p)		2		1		5	1		13	1	.
	2						3			3			p	2		p	1
					6													6 p

Пользуясь таблицей изображений и свойством линейности изо-

бражения, найдем оригинал x(t)						p) . Итак,	x(t)	2
								3

	5	e	t	13	e3t , одна из искомых функций найдена. Функцию
2
			6
y(t)			можно найти аналогично x(t) , предварительно определив ее

изображение S( p) . Но в данном случае y(t)																			можно найти проще,
выражая из первого уравнения исходной системы ЛДУ
y(t)				1		dx		x(t)				1		5	e t		13	e3t	2		5	e t	13	e3t
y(t)			2			dt		x(t)			2		2		e t	2		e3t	3	2		e t	6	e3t
			2			dt					2		2			2			3	2			6
	5	e	t			13	e3t		1	.	Задача решена.
2		e			2		e3t		3	.	Задача решена.
2					2				3

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Задание 1. Исследовать на сходимость числовые ряды, пользуясь известными признаками сходимости.

1.1.

n 1

а)

arcsin

б)

2n 3

(2 5n) ln 3 (2 5n)

n 1

1.2.

а)

б)

n 4n

n 1

1.3.

а)

б)

n 1

4n 5

n 1 n2

1.4.

а)

б)

5) ln(n2 5)

2n n

n 1 (n2

1.5.

а)

б)

n 1 2n

n 1 7n2

8n 1

1.6.

а)

1)n / 2

1.7.

а)

1 n2

1.8.

а)

1 (n

5)10

1.9.

а)

1 (n

1) ln 2 (n 1)

1.10. а)

n 3n2

1.11. а)

1)3

(3n)!

1.12. а)

n 1

n 1 4

1.13. а)

3n2

1.14. а)

1 (n

1)!

1.15. а)

n 1 3n / 2

1.16. а)

1.17. а)

n 2

1 (2n

1.18. а)

1 (2n

1)2 1

1.19. а)

1 (2n)!

б)

arcsin

б)

1 (n

4)!

б)

1 (ln(n

1))n

б)

1 6n

б)

1 (2n

3)!

б)

1 2

б)

1 7n

б)

2 n n 3

б)

n 1 n

1.20. а)		1
	(n	1) ln(n 1) ln(ln(n	1))
n 1

1.21. а)

1.22. а)

1 (n

1)!

1.23. а)

n4 tg

1.24. а)

1 3n

1.25. а)

1 (n

1)!

1.26. а)

1 n2

1.27. а)

1 3n

1.28. а)

1.29. а)

n 2 n ln 2 n

1.30. а)

n2n

б)

1) sin

б)

1 n2

б)

n 1 4 n3

б)

n 1 3n4

б)

5) ln 2 (n

б)

1 (

2)n

б)

3 n

б)

(3n

4)3

б)

n 1 7

б)

1 (n

1) ln 3 (n

Задание 2. Найти область сходимости степенного ряда.

2.1.

x)n

2.2.

(x 3)n

2n (n 3)

2n 5

n 1

2.3.

2)n

2.4.

ln 3 (n 1)

(x 1)n

(2n 1) 2n

(n 1)

n 1

2.5.

( 2)n (x 2)n

2.6.

( 1)

n 1 (x 2)n

3 n

n 1

2.7.xn

n 1		n	2n
2.9.	2n (x		2)n
		n(n	1)
n 1
2.11.	10n (x 1)n
			n
n 1

2.13.			n!xn
2.13.			nn
n	1		nn
2.15.			n				x	1 n

			n+1					2
n	1		n+1					2
2.17.			(x			1)n
2.17.		2n ln(n						1)
n	1	2n ln(n						1)
2.19.		(x		1)n
2.19.			3 n 3n
n	1		3 n 3n
2.21.			(x			1)n
2.21.			n (2n			1)
n	1		n (2n			1)
2.23.			n			n2		xn
2.23.			n	1				5n
n 1			n	1				5n
2.25.			5n (x 1)n
2.25.						1)2		3n
n 1 (2n						1)2		3n
2.27.			(x	2)n
2.27.			3n			4n
n 1			3n			4n
2.29.			(x		2)n
2.29.			ln(n			1)
n 1			ln(n			1)

2.8.		(x		1)n
		2n		52n
n 1
2.10.	(			1)n (x	4)n
				((2n	1)!
n 1
2.12.				( 1)n xn
	1 (n			1)	ln(n 1)
n
2.14.			(n 1)! (x 3)n
				2n
n	1

2.16.n 5n (x 3)n

	n 1
2.18.		3n2		(x	2)		n
2.18.	n 1		n!	(x	2)
	n 1		n!
2.20.		(2		x)n 3n 1
2.20.	n 1			n	3
	n 1			n	3
2.22.			(x	2)n
2.22.	n 1		n	n	1
	n 1		n	n	1
2.24.			(x	1)n
2.24.	n 1		2n	22n
	n 1		2n	22n
2.26.	100 n (x					2)n
2.26.	n 1			n!
	n 1			n!
2.28.			(x	1) n tg			1
2.28.	n 1		(x	1) n tg			2n
	n 1						2n
2.30.		(x		5)n
2.30.	n 1		5n	n2
	n 1		5n	n2

Задание 3.

3.1–3.15. С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить определенный интеграл с точностью до

=0,001.

0,1ex		1	dx	0,5	x	3	)dx
3.1.				3.2. ln(1
3.1.	x			3.2. ln(1
0	x			0
0				0

	0,2			e x	2 dx						0,5		x5 sin xdx
3.3.				e x	2 dx						3.4.		x5 sin xdx
	0											0
	0,5					x4					0,5 e			2x2
3.5.				cos				dx			3.6.					dx
3.5.				cos	4			dx			3.6.			x		dx
	0				4						0,1			x
	0										0,1
3.7.	1		sin x			dx					3.8. 1/ 3			1		x4 dx
3.7.	1					dx					3.8. 1/ 3			1		x4 dx
	0			x								0
3.9.	1	cos				xdx					3.10.	1	sin x 4 dx
3.9.		cos				xdx					3.10.		sin x 4 dx
	0											0
3.11.		1		3 1			x2		dx		3.12.	1		x cos x2dx
3.11.				3 1					dx		3.12.			x cos x2dx
		0			4							0
		0										0
3.13.		0,5				dx					3.14.	0,5			dx
						dx									dx
			0 5 1 x2									0		1		x3
			0 5 1 x2									0		1		x3
3.15.		0,5 1				cos x				dx
3.15.		0,3				x2				dx
		0,3				x2

3.16–3.30. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.


3.16.	y	2 cosx		xy2 , y(0)
3.18.	y	esin x	x; y(0)		0
3.20.	y	x	y2	ex ; y(0)
3.22.	y	xy ey ; y(0)			0
3.24.	y	xy	; y(0)		1
3.26.	y	xy	x2	y2 , y(0)
3.28.	y	1 xy; y(0)
3.30.	y	x2 y2		y sin x, y(0)

1	3.17.	y	e3x		xy2; y(0)		1
	3.19.	y	xy	y2 , y(0)		0,2
1	3.21.	y	2 xy		; y(0)	1
	3.23.	y	xsin x		y2 , y(0)		1
	3.25.	y	2 y	; y(0)		1
1	3.27.	y	y	x	1; y(0)	1
	3.29.	y	x2	ey , y(0)		0

Задание 4. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями.

4.1. D: y2	x,	x		8
			y2	4

4.2.

2x2 ,

4.3.

4.4.

4.5. D: 4y

4.6.

2 ,

4.7.

2 x,

4 x,

4.8.

2 x

x2 , x

y 0)

4.9.D: x2 y, y2 3x

4.10. D:

y2 ,

4.11. D:

4.12. D:

4 y2 ,

4.13. D: y2

4.14. D:

4.15. D:

4.16. D:

6 x2 ,

4.17. D:

4.18. D: x2

2y,

4.19. D:

y2 ,

3y2 ,

4.20. D: y2

4 x,

4.21. D: y2

4.22. D:

4.23. D: x2

) (вне параболы)

4.24. D: x2

25,

4.25. D:

y2 ,

3x,

4.26. y

ex ,

e x ,

4.27. D:

4.28. D: x2

, y

4.29. y ex , y e2x , x 1

4.30. D: xy 1, x2 y, y 2, x 0

Задание 5.

5.1–5.15. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

5.1.	z	y2 ,	x	y	1,	x	0,	z	0
5.2.	x2	y2	z2 , z		2
5.3.	y2	x,	x	3,	z	x,	z	0
5.4.	z2	4	x,	x2	y2	4 x,		z	0

5.5.x2 2 2 , x2 2 2 2

5.6.

y2 ,

5.7.

x2 y2 ,

5.8.

2 ,

2x2

2y2 ,

2 ,

5.9.

x2 ,

5.10.

1 z2 ,

5.11.

2x,

5.12.

5.13.

2 x2

y2 ,

z 0

5.14.

5.15.

5.16–5.30. Вычислить массу тела
ными поверхностями	(	(x, y, z)
М (x, y, z)).

V, ограниченного задан-

– плотность в точке

5.16.	V : z 0,		z	9			2 ,	x2 2			9;		2 2
5.17. V : x2			2	2			9 ;			1
5.17. V : x2							9 ;		x2		2	2
									x2		2	2
5.18.	V : z	,	z			,	y	, y		,	z	25	2 ;	2y
5.19.	V : y	x 2	z2			1,	y	5;			x2	z2
5.20.	V : z	x2		2	,		z	;		2	2
5.20.	V : z		2		,		z	;
			2

5.21.

V : z

y2 ,

5.22.

V : x

2 ;

5.23.

V : z

y2 ,

z 0;

5.24.

V : z

;

5.25. V : 2z

2 ,

;

5.26. V : x2

2 x,

y2 ,

5.27.

V : z

x2 y2 ;

5.28. V : x2

5.29.

V : x

x2 yz

5.30.

V : z

2 ,

Задание 6.

– плотность.

6.1–6.15. Найти массу, где

(x, y, z)

6.1.

верхней

половины

кардиоиды

cos

если

2 ;

6.2.

отрезка AB, где A(0;0); B(1;2) , если

;

6.3.отрезка АВ, где А(1,2); В(2,4), если плотность в каждой его точке равна произведению квадратов координат этой точки;

6.4.	дуги	лемнискаты	сos 2 ,	0			,	если
6.4.	дуги	лемнискаты	сos 2 ,	0		3	,	если
	x2	2 ;
6.5.	первой арки циклоиды x		(t sin t);	y	(1	cost) ,		если
	2 ;
6.6.	дуги кривой y x2 4 от точки А(0,4) до В(2,8), если плот-
	ность в каждой точке ее равна абсциссе точки;

6.7.дуги окружности x2 y2 9, лежащей в первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки;

6.8. дуги	кривой	x t; y 3t 2	; z t3; 0 t 1 ,	если
x	;	2
x	;


6.9. дуги		синусоиды		y	sin x,	0	x		,	если
6.9. дуги		синусоиды		y	sin x,	0	x	2	,	если
	cos2 x		;
1		cos2 x	;
1		cos2 x
6.10. дуги окружности x				cost,	y	sint,	лежащей в первой
четверти, если плотность ее в каждой точке равна произве-
дению абсциссы на квадрат ординаты этой точки;
6.11. отрезка AB, где A(0;0;0); B(1;1;1) , если							2x		z ;

6.12.дуги кривой y 3 от точки А(1;1) до точки В(2;8), если плотность в каждой точке кривой равна ординате этой точки;

6.13. дуги

тангенсоиды

tg 3x,

если

cos4 3x ;

6.14. правого лепестка лемнискаты

cos 2

, если

;

6.15. одной арки

циклоиды

3(t

sin t),

3 (1

cost),

если

плотность ее в каждой точке равна ординате точки.

6.16–6.30. Вычислить работу силового поля

при пере-

мещении материальной точки вдоль пути AB .

6.16. F

2 x

AB : x

sin 2t,

cos 2t,

k ;

1;0;

1 ;

В (

1;0;1).

xy2

yz2

x2 z

AB : отрезок прямой,

6.17. F

k ,

А (0;0;0); В (–2;4;5).

6.18. F

cos2 x

AB : x

cost,

t 2 ,

i y

А (0;1;0); В

cosx

AB : x

2t;

3t,

6.19. F

sin y i

A(0;0;2); В (2 ;3 ;

2).

6.20. F

x i&

)k ,

AB : отрезок прямой,

А (1;1;1); В (2;3;4).

6.21.	&	cosz		&	x	&	&
6.21.	F	cosz		i	x	j	z k; AB : отрезок прямой,
								A(0;1;0);	В (2;7;0).
6.22.	&	&		&	z	&	AB : x t; y	t, z t,
6.22.	F	x i	y	j	z	k;	AB : x t; y	t, z t,
								A(1;2;3);	В (2;4;6).

6.23.	F&	2xy i&	y 2
6.24.	F&	3(x	)i&

&	z2	&
j	z2	k , AB : k cost; y sin t, z 2t,
		А (1;0;0); В (1;0;4π).
yz	&	&
yz	j	xy k; AB : отрезок прямой,

A(1;3;2); В (1;1;2).

6.25.F&

6.26.F&

6.27.F&

	&				&	2	&	t;	y t,	z ,
xz i		( y 1) j				2	k; AB : x	t;	y t,	z ,
									A(3;2;1);		В (9;6;3).
y	&	x		&	&	AB : x cos 2t;		y	sin 2t,	z
y	i	x		j	k;	AB : x cos 2t;		y	sin 2t,	z
y			x			&			А (1;0;0); В (0;1;0).
y	&		x	&		&
	i			j		k ;	AB : отрезок прямой,
x2	i		y	j		k ;	AB : отрезок прямой,
x2			y
									A(1;2;	1);	В (1;3;2).

6.28.	&	&	y 2	&	&	1	z	2 ,
6.28.	F	x 2 y i	y 2	j	k; AB : x t; y	1	z	2 ,
						A(0;	1;0);	В (1;0;1).

6.29.	&	yz	&	&	xy	&	AB :
	F		i	xz j		k ;

6.30.	&	&	&	&
6.30.	F	y i	x j	z k; AB : x

отрезок прямой,

А (2;1;2); В (3;3;3).

sin t; y cost, z

A(0;1;0); В 1;0; 2 .

Задание 7. Решить уравнение или систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями операционным методом.

7.1.	y	y	y	6;	y(0)	0;	y (0)	2.
7.2.	y	2 y	y	et ;	y(0)	y (0) 0 .
7.3.	y	y	2	t; y(0)		0;	y (0)	.
7.4.	y	y	4 y	(10	4t)e2t ;		y(0)	0; y (0) 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf
#
28.12.20252 Mб0Математика_5.pdf
#
28.12.20256.14 Mб0Математика_6.pdf
#
28.12.20251.57 Mб0Математика_7.pdf
#
28.12.202521.33 Mб0Математика_8.pdf
#
28.12.20254.68 Mб1Математическая картография.pdf
#
28.12.2025870.35 Кб0Математическая статистика-1.pdf
#
24.11.20252.04 Mб0Математическая статистика. В 2 ч. Ч. 1.pdf