Математика_6

где SD – площадь круга D:

x2 y2

R2 , равная

R 2 . В итоге:

A 2 R 2 – искомая работа силы.

Пример 2. Вычислить интеграл J

x 2 y3dx

dy zdz , если

Г

Г есть окружность x2 2

1 в плоскости z=2, обходимая против

T :

2

2

Итак, учитывая, что P(x, y, z)

x2 y3,

Q(x, y, z)

1,

R(x, y, z) 2 ,

имеем:

J

(1)

(x 2 y

3

dxdy

(2)

(1)

dydz

T

z

(x 2 y3 )

(2)

2

2

+

dzdx

3

x

y

dxdy .

D

Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D Oxy,

на который проектировался круг Т; D:

x2

2

1.

Перейдем к

2

1

2

1

J 3

0 d

0 r2 cos2 sin2 rdr

3

0 cos2

sin2 d

0 r5dr

.

8

Пример 3. Найти поток П векторного поля

&

(x2; y2;z2)

F

через полную поверхность Т пирамиды

W:

x

2y

3z

6,

x

0, y

0, z

0

(рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.

z

2

n

W

0

3 y

Решение. Поток равен П

x 2dydz 2dzdx z 2dxdy .

T

П

(x 2 )

( y2 )

(z2 )

dxdydz

W

3

x

2

x

2 y

2

(x

z)dxdydz

6

2

3

3

z)dz

2 dx

dy

(x

W

0

0

0

3

x

8

4

5

14

8

6

2

x 2

y2

dx

4

x

y

xy

dy

3

3

9

9

0

0

9

6

10

7

x 2

13

x 3 dx

20.

0

6

108

&

&

Пример 4. Найти поток П векторного поля

че-

F x z)k

рез

полную

поверхность

T

пирамиды

W:

x

2 y 3z 6; x

0; y 0 ;

z

(рис.

2.20), в

направлении

внешней нормали к поверхности.

z

2

T3

T4

T2

O

y

3

T1

6

x

Рис. 2.20

Решение. Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24)

П

(x

3 z)

dxdydz

3 dxdydz

3V 18 , где V – объем пи-

z

W

W

П

x

z)dxdydz

;

T

T1

T2

T3

T4

,

x

z)dxdy

( x

z)dxdy

;

T3

T4

x

z)dxdy

xdxdy;

T1

G

x

z)dxdy

( x

x

y)dxdy;

T2

G

3

6

2 y

П

6 x

y)dxdy

dy

6

x

y)dx

G

0

0

3

(6

y)2

(6

y)2

dy

1 3

6

2 y)2 dy 18.

0

2

2 0

O

x

6

1)

f (t)

0 при t

0 ;

2)

существуют

такие постоянные M 0 и S0 0 , что

f (t)

MeS0t для всех t;

равенством F( p)

e pt f (t)dt . Если f (t) – оригинал, интеграл

0

в правой части последнего равенства сходится при Re p

S0 .

Тот факт, что F( p)

является изображением оригинала

f (t) , бу-

дем обозначать так:

.

.

F( p) L( f (t)) или F( p) f (t), F( p)

(t) .

.

Таблица 3.1

Изображение основных элементарных функций

f (t) при t

L( f (t))

1

1

p

t n

n!

pn

1

e t

1

p

sin

p2

2

cos

t

p

p2

2

sh

t

p 2

2

ch

t

p

p2

2

t sin

t

2 p

( p2

2 )2

t cos

t

p2

2

( p2

2 )2

Пусть всюду в дальнейшем L( f (t))

F( p) .

2.

Теорема подобия (изменения масштаба). Для любого

постоянного C

0

L( f (Ct))

1

F

p

.

C

C

3.

Теорема смещения. Для любого числа

:

L(e t f (t)) F( p

) .

4.

Теорема о дифференцировании оригинала. Если функции

f (t), f

(t),

, f (n) (t)

являются оригиналами, то

L( f (t))

pF( p)

f (0);

L( f (t))

p2 F( p)

pf (0)

f (0);

L( f (n) (t))

pn F( p) pn

1 f (0)

pn 2 f

(0)

f (n 1) (0).

5.

Теорема о дифференцировании изображения.

L(tn f (t))

( 1 n F(n) ( p), n

,2, .

6.

Теорема об интегрировании оригинала.

t

F( p)

L f (s)ds

.

0

P

7.

Теорема об интегрировании изображения.

L

f (t)

F( y)dy

(если интеграл сходится).

t

p

8.

Теорема запаздывания. L( f (t t0 ))

e

pt0 F ( p)

,

t0 .

9.

Теорема об изображении свертки двух функций.

t

L( f1 * f2 )

F1( p)F2 ( p) , где

f1 * f2

0

f1(s) f2 (t

s)ds

– свертка

функций f1(t) и f2 (t) , F1( p)

L( f1(t)),

F2 ( p)

L( f2 (t)) .

Пример 1. Найти изображения функции shat sin bt .

Решение. Известно, что

L(sin bt)

b

F( p);

sh at

1

(eat

e at ) . Тогда

p2

2

2

shat sin bt

1

eat sin bt

1

e at sin bt . По теореме линейности

2

1

2

1

имеем L(sh at sin bt)

L(eat sin bt

L(e at sin bt) . В каждом из

2

2

1 F( p

)

1

F( p )

1

b

1

b

.Это и

2

2 ( p )2 2

2 ( p )2 2

2

есть искомое изображение.

Пример 2. Найти свертку функций t и et и ее изображение.

t * et

t

s ds

t

s ds

et

t

s ds .

Решение.

set

set e

se

Вычис-

0

0

0

ляя интеграл, имеем tet

et (1

t

t e t ) . По теореме об изобра-

жении свертки L(t * et )

L(t)L(et )

1

.

p2 ( p

1)

Пример 3. Найти L(te 2t sin t) .

Решение. Найдем F( p)

L(sin t)

1

. По теореме о

p2

1

дифференцировании изображения

L(sin t

t)

( p)

1

2 p

G( p) . Наконец, по

p2

1

( p2

)2

теореме смещения L(e 2tt sin t)

G( p

2 )

2( p

2 )

.

(( p2

)2 )2

функцией p :

F( p)

( p) / v( p) , где u( p) и v( p)

– многочлены

от p соответственно степени m и n, причем m n . Если разложе-

ние

v( p)

на

простейшие

множители

имеет

вид

v( p) ( p p

1

)k1

( p p

2

)k2

( p p

r

)kr , k k

2

k

r

n ,

то,

1

Ajs

ных дробей вида

;

j

, r; s

, k j . Итак,

( p

p j )k j

s

1

F( p)

r

k j

Ajs

(3.1)

j 1s 1 ( p p j )k j

s 1

Все коэффициенты могут быть найдены по формуле

Ajs

1

lim

d s

1

[( p

p j )

k j

F( p)]

.

(3.2)

(s

dps

1

1)! p p j

ся: v( p) ( p 1)(p p2 )

( p

n );

( pj

pk при j

k ) ;

n

Aj

u( p j )

F( p)

, где

Aj

.

(3.3)

p j

v ( p j )

j 1 p

Пример

1. Найти оригинал

f (t) , если известно, что

F( p) L( f (t))

p

1

.

p( p 1)( p

)( p

)

Решение.

У изображения F( p) в данном случае все корни

u( p)

p 1;

v( p)

p( p 1)( p )( p

)

p4

p3

11 p2

p; v ( p) 4 p3

18 p2 22 p .

Корни

u( p1 )

1

v( p) : p1 ; p2 1; p3 2; p4

;

;

v ( p1 )

6

Решение. Разложение F( p)

на простейшие дроби имеет вид

F( p)

A11

A12

A13

A21

A22 .

(3.6)

( p 1)3

( p )2

p

( p 2)2

p

A

1

lim (( p 1)3 F( p))

lim

p

1 ;

11

0! p

1

p

p

2 )2

9

A

1 lim

d

(( p 1)3 F( p))

lim

p

12

1!

dp

p

1

( p

2 )2

A

1 lim

d 2

(( p

1)3 F( p))

1 lim

p

13

2!

dp2

2 p 1 ( p 2 )2

p

1

1 lim

4

6 p

1

.