Математика_6

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x a)], 0 1 . (1.14)

Если lim R n (x)

0 , то ряд не сходится к данной функции.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

6.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Сходящийся знакопеременный ряд (1.7) называется условно сходящимся, если ряд (1.8) расходится.

Ряд вида

(

1) n 1 u

... ( 1) n 1 u

...,

(1.9)

n 1

где un

12,,... , называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда

(1.9) удовлетворяют условиям:

u1 u2

... n

un 1

... ,

lim un

0 ,то ряд (1.9) сходится. Сумма его положительна и не

превосходит первого члена u1 .Остаток rk

такого ряда имеет знак

своего первого члена и не превосходит его по модулю: | rk | uk 1 .

Примеры. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

а)	sin1						sin 2						sin 3				.			sin n				. ;
а)		2			2				2		3			2			.			n	2			. ;
	1				2						3									n
б) 1				1					1	_		1		...					( 1)n 1					1		;
б) 1		23			43					_	63			...					( 1)n 1				(2n)3			;
		23			43						63												(2n)3
в) 1			1			1		...			( 1) n					1	1	... .
в) 1		2			3			...			( 1) n							... .
		2			3												n
Решения.															\| sin1\|					\| sin 2\|					\| sin 3\|			\| sin n\|
а) Ряд из модулей															\| sin1\|					\| sin 2\|					\| sin 3\|		.	\| sin n\|		. схо-
а) Ряд из модулей																2			2			2		3		2	.	n	2	. схо-
														1					2					3				n

дится по признаку сравнения, так как его члены не превосходят

соответствующих членов сходящегося ряда	1	. Следователь-
	n2
n 1

но, исходный ряд сходится абсолютно.

б) Условия признака Лейбница здесь выполнены: ряд – зна-

кочередующийся,

lim

0, n

1,2, ... .

(2n)3

(2(n

1))3

(2n)3

Следовательно,

этот

ряд

сходится.

Ряд

из

модулей

также сходится,

то есть исходный ряд схо-

n 1 (2n)3

8 n 1 n3

дится абсолютно. Найдем сумму данного ряда с точностью 0,01. Для этого возьмем столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01. Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет по модулю также меньше 0,01.Модуль

четвертого члена						1			1		0,01				, поэтому с точностью 0,01 име-
четвертого члена					63		216				0,01				, поэтому с точностью 0,01 име-
					63		216
ем:	S 1	1			1		1			1		1				57		0,89 .
ем:	S 1	2	3		43		1		8		64				64			0,89 .
		2	3		43				8		64				64
	в) Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку
Лейбница, так				как				1			1		, n			1,2,3, . . . , lim			1	0 . Этот ряд
								n n			1						1	n	n
сходится условно, так как ряд																	1	, составленный из модулей
сходится условно, так как ряд															1 n			, составленный из модулей
														n	1 n

членов данного ряда, расходится (гармонический ряд).

1.4.Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды

Ряд вида u1(x) u2 (x)	un (x)	un (x) , членами
	n	1

которого являются функции un (x) , называется функциональным.

Множество всех действительных значений аргумента x, для которых функциональный ряд

(x)

(1.10)

n 1

становится сходящимся числовым рядом, называется областью

сходимости		этого	ряда. Функция		S (x) lim S n (x) , где
					n
S n (x)	1 (x)	2 (x) .. un (x) ,		а x	принадлежит	области
сходимости,		называется		суммой	ряда,	функция
Rn (x)	S(x)	S n (x)	– остатком функционального ряда.

Для определения области сходимости ряда (1.10) можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов, считая x фиксированным.

Функциональный ряд (1.10) называется равномерно сходя-

щимся на промежутке p	R, если для любого			> 0	существует
номер n0, не зависящий от x, что для всех n > n0 и для всех x						p
выполняется неравенство	\| R n (x)\| ,		то есть \| S(x)		S n (x)\|	,
где Rn(x) – остаток ряда.
Признак Вейерштрасса.		Если	\|un(x)\| Cn,	(n=1,2,...)		при
x [a; b] и числовой ряд	C n	сходится, то функциональный ряд
n 1

(1.10) сходится на отрезке [a, b] абсолютно и равномерно.

Теорема 4. Если члены сходящегося ряда (1.10) имеют непрерывные производные при x [ ; b] и ряд из производных

(x) сходится равномерно на [a, b], то ряд (1.10) можно диф-

n 1

ференцировать почленно:

	u (x)		(x), x [ , b] .
n	1	n	1

Теорема 5. Если члены ряда (1.10) непрерывны на [a, b] и этот ряд сходится равномерно на отрезке [a, b], то ряд (1.10) можно интегрировать почленно:

b		b
	un ( x) dx	un ( x) dx .
a	n 1	n 1 a
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
C n (x a) n 0	1 (x a) 2 (x	a)2 .. . C n (x ) n .. . ,(1.11)

n 0

где Cn и a – действительные числа. Область сходимости степенного ряда (1.11) имеет один из следующих видов:

(a – R , a + R), [a – R , a + R), ( a – R , a + R], [a – R , a + R].

Число R называется радиусом сходимости, а интервал

(a - R , a + R) – интервалом сходимости степенного ряда (1.11).

Радиус сходимости можно находить по формулам:

R lim	1	, R lim	Cn		,
	n \| Cn \|		Cn
n		n		1

если эти пределы существуют. В частных случаях R может быть равен 0 или .

Вопрос о сходимости степенного ряда (1.11) в концевых точках области сходимости, то есть при x = a – R, x = a + R, исследуется особо (с применением известных признаков сходимости числовых рядов).

Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же радиус и интервал сходимости, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначально-

го ряда.
Пример 1. Найти область сходимости ряда	1	1 n	2nx .
		n
n 1
Решение. При фиксированном x этот ряд –	знакоположи-

тельный. Применим		к нему			признак	Коши.	Найдем	предел
l lim n un (x)	lim 1	1		2x	2x ; l<1	– при	2x < 1,	т.е. при
			n
n	n

x < 0. При l = 1, т.е. при x = 0 данный функциональный ряд станет

рядом	1	1 n	. Общий член ряда 1	1 n	при n	стремится
		n		n
n 1

к числу e, и поэтому ряд расходится (не выполнен необходимый

признак

сходимости).

Итак,

область сходимости

данного

ряда

(– , 0).

Пример 2.

Можно ли

почленно дифференцировать

ряд

sin x

в области его сходимости?

n 1 n4

Решение. Областью сходимости данного ряда является вся

числовая ось R=(– , +

), так как для любого x R верно неравен-

sin nx

ство

, а ряд

сходится. Члены исходного ряда

n 1 n4

имеют непрерывные производные

sin nx

ncos nx

cos nx

ряд из производных

cos nx

сходится равномерно на R по при-

n 1

знаку

Вейерштрасса.

Действительно,

верны

неравенства

cos nx	1	,	n	1,2, . . . ,	x	R , а ряд		1	сходится. По теоре-
n3	n3						n 1	n3

ме 4 исходный ряд можно почленно дифференцировать в области R его сходимости, т.е.

sin nx

R .

n 1

Пример 3.

Найти

область

сходимости

степенного

ряда

x n

n 1

Решение. Находим

радиус

сходимости

ряда.

, Cn 1

lim

C n

lim

Это означает, что

C n 1

1 . Далее,

исходный ряд сходится абсолютно при

иссле-

дуем сходимость ряда при x = 1. Если x = 1, то данный ряд ста-

новится

гармоническим

рядом

который

расходится.

x = –1,

Если

то

получаем

знакочередующийся

ряд

. .. (

1) n

. .. ,

который сходится по признаку Лейб-

ница. Следовательно, областью сходимости ряда является полу-

интервал [–1, 1).

При

ряд

сходится

абсолютно,

при

1 – условно.

Пример 4. Найти сумму ряда

(| x |

1) .

Решение. Обозначим искомую сумму ряда через S(x), т.е.

S(x)

x 3

x 4

x 5

x 6

(1.12)

Можно проверить, что исходный ряд при

сходится аб-

солютно. Дифференцируем почленно равенство (1.12):

S (x)

...

| x|

(применена формула суммы членов убывающей геометрической

прогрессии). Отсюда, интегрируя и учитывая, что S(0)=0, находим

S(x) 0 S (t)dt 0 1 t dt

1 t 1

x ln | 1

x |, | x | 1 .

Пример 5. Найти сумму ряда

2x2

3x3 x4

5x5

.. ,| x | 1 .

Решение.

Обозначим эту сумму

ряда

через S(x),

т.е.

S(x)

2 x2

3x3

4x4

5x5

.. .

Данное

равенство

перепишем

так:

S(x)=x Q(x),

где Q(x)

3x 2

4x 3

5x 4

. .

Почленное

интегрирование последнего равенства приводит к сумме членов

убывающей геометрической прогрессии:

t2dt

t4dt

Q(t)dt

2tdt

4t3dt

, |

x |

1 .

Отсюда найдем Q(x): Q(x)		x 2	1			1		, поэтому
	1				(x	1)2
искомая сумма S(x) такова: S(x)		Q(x)				x
							.
				(x		1)2

1.5. Разложение функции в ряд Тейлора

Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x=a, то для нее можно написать ряд по степеням (x–a):

f (x)	f (a)		f (a)	(x )	f (a)	(x )2 ...	f ( n) (a)	(x a) n .
f (x)	f (a)	1!		(x )	2!	(x )2 ...	n!	(x a) n .
		1!			2!		n!
	f ( n) (a)	(x ) n .
n 0	n!	(x ) n .
n 0	n!

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f(x) в точке

x=a.

Теорема 6. Если функция f(x) и все ее производные ограничены на интервале (a–R, a+R) одним и тем же числом, т.е. существует постоянная M>0 такая, что выполняется неравенство

f (n) (x) M , x (a R, a R), n ,1,2,... , то функция f(x) пред-

ставляется сходящимся к ней рядом Тейлора:

f (x)	(n) (a)	(x )		n	, x	( R, a R) .			(1.13)
	n!
n 0
Равенство (1.13) верно и в случае, когда остаточный член
ряда Тейлора Rn (x)	f (x)	n	f ( k ) (a)			(x )	k	стремится к нулю
		k 0	k !

при n .Остаточный член Rn(x) можно вычислить по формуле:

Если в ряде Тейлора положим a=0, получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

f (x) f (0) f (0)		x	f (0)	x 2	.	f ( n) (0)	x n . .
	1!		2!			n!

Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

x x 2

...

x n

... ( x

R);

sin x

...

( 1)

1 x 2n

... ( x

R);

(2n

1)!

cos x

x 2

x 4

...

(

1)n

x 2n

... (x

R);

(2n)!

(1 x)m

m(m

)

x 2

m(m 1)(m

)

x3 ...

m(m

1)...( m n

)

x n

... (| x | 1);

ln(1 x) x	x 2		x 3
	2	3

. . . (	)	n	1	x n	. . . (\| x\| 1) .
. . . (	)			n	. . . (\| x\| 1) .
				n

Пример 1. Разложить									функцию											f (x)				sin x							в ряд
Пример 1. Разложить									функцию											f (x)				sin x						4	в ряд
Тейлора в окрестности точки x=0.
Решение. Имеем							f (0)							sin 0											2		.			Вычисляем
Решение. Имеем							f (0)							sin 0						4			2				.			Вычисляем
																				4			2
f (x) cos		x		, т.е. f			(0)					cos						x								2		. Далее после-
																										2
			4																	4		x 0			2
			4																	4		x 0			2
довательно получаем:
			f	(0)	sin				x												2		,
																					2
											4					x			0		2
											4					x			0		2
			f	(0)		cos				x												2		,
																						2
											4						x		0		2
											4						x		0		2
			f IV (0)		sin			x												2		.
																				2

											4				x	0				2
Отметим, что f ( n) (0)								n2 n					2
					( 1)				2				2				. Записываем ряд Тейлора:
					( 1)				2		2						. Записываем ряд Тейлора:
											2
		2			x2		x3					x4						x5							n2 n			xn
sin x		2	1	x	x2		x3					x4						x5		..	(		1)		2			xn		.
sin x	4	2	1	x	2!		3!				4!					5!				..	(		1)		2				n!	.
	4	2			2!		3!				4!					5!													n!
	Пример 2. Разложить функцию																		f (x)				9				x 2		в ряд по сте-

пеням x, используя разложения основных элементарных функций.

Воспользуемся приведенным выше биномиальным разложением

(1 x)m

m(m 1)

m(m 1)(m

)

... .

(1.15)

Преобразуем

исходную

функцию:

9 x 2

3 1

Подставим

в формулу (1.15)

, а вместо

x выражение

x 2 . Получим следующее разложение:

			1		1	1		2
9 x2 1	1	x2 2		2		1	x2	2
	1	x2 2		2			x2

	2	9		2!			9
	2	9		2!			9

	1		1	1 ...	1	n	1
2		2		1 ...	2	n	1
2		2			2
				n!
		1		x4	1 3		x6
222!92				x4	233!93		x6
222!92					233!93

Разложение имеет место при

	x2			n			x2
	x2				.	1	x2
		9			.	1	2	9
		9					2	9
			1 3 5... (2n			3 ) x2n			.
					2n n!9n
x 2				1	, т.е. при \|x\|<3.
x 2
9
9

1.6. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть функция f(x) в окрестности точки a разлагается в ряд Тейлора. Тогда приближенное значение функции f(x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено как частичная сумма этого ряда.

Пример 1. Вычислить 3 130 с точностью до 0,001.

					1			1	1
Решение.	3 130	3 125	5	3 125 1		5	1		. Вос-
					25			25

пользуемся				биномиальным	рядом	(1.15)	при
m	1	, x	1	( 1,1) . Получаем:
m	3	, x	25	( 1,1) . Получаем:
	3		25

				1	1	1		2	1	1	1	1	2		3
3 130	1	1	1	3	3	1	1	2	3	3	1	3	2	1	3
		3	25		2!		25				3!			25

1	1	1	1	2	1	1	1	2	5	1	1
	3	25	3	3	2!	252	3	3	3 3!		253

,0000		0 ,0667		0 ,0009		.

Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Третий член по модулю меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. С указанной точностью получим

3 130 5,0000 0,0667 5,067 .

Пример 2. Вычислить e0,1

с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся разложением

x 2

x 3

. . .

x n

n ,

где

R n

x n 1

e x ,

R .

При x=0,1 получаем:

(n 1) !

e0,1

1 0,1

(01, )2

(01, )3

(01, ) n

. .

Определим, сколько

надо слагаемых для достижения требуемой точности. Так как

0,1			[0,0,5],						то				0		x	0,5 .				Тогда				e x	0,5	2 ;
R n				x n 1		e	x			2x n			1	.		При		x=0,1				имеем		неравенство:
R n				(n	1)!	e				(n 1)!				.		При		x=0,1				имеем		неравенство:
				(n	1)!					(n 1)!
2		(01,) n			1	,001. Полагая n=2, получим															2 0,001		0	,0003	0,001 .
	(n		) !			,001. Полагая n=2, получим																6	0	,0003	0,001 .
	(n		) !																			6
Значит,							достаточно										взять					три		слагаемых:
e0,1					0 ,1		(0,1)2						,105 .
e0,1					0 ,1		2!						,105 .
							2!
			Пример 3. Вычислить ln2 с точностью до 10 5 .
			Решение. Применим разложение
ln		1		x	2	x			x3			x5		x7		... .		Этот				ряд сходится				при
ln		1		x	2	x	3				5			7		... .		Этот				ряд сходится				при
		1		x			3				5			7
x		(–1,1). Если							1	x		2 , то x=1/3. Возьмем n-ю частичную сумму
x		(–1,1). Если								x		2 , то x=1/3. Возьмем n-ю частичную сумму
							1			x
ln 2			2		1	1		1			1		1	...			1			1		. Погрешность этого
ln 2			2		3	3		3			5		3	...			2n	1	3	2n 1		. Погрешность этого
					3	3	3				5		3				2n	1	3

равенства

выражается

остатком

ряда

Rn	2	2n	3	2n	5	. Для его оценки все

множители в знаменателях, стоящие перед степенью 3, заменим на 2n+3. Получим

Rn		2	1	1		1	...		2		1
Rn	(2n	3)32n 3	1	32	34		...	(2n	3)32n 3	1		1
	(2n	3)32n 3		32	34			(2n	3)32n 3			1
											9
											9

			1				.	Решая			неравенство									1		10 5 , нахо-
	4(2n			)32n 1			.	Решая			неравенство								4(2n	3)32n 1		10 5 , нахо-
	4(2n			)32n 1															4(2n	3)32n 1
дим, что n=4:								1					1		0,000001					10 5 . Итак,
дим, что n=4:						4 11			39		866052				0,000001					10 5 . Итак,
						4 11			39		866052
ln 2		2	1		1	1			1	1		1		1		1		1
ln 2		2	3	3		33			5	35	7		37		9		39
			3	3		33			5	35	7		37		9		39
0 ,666667				0 ,024691						0 ,001646					0 ,000131				0,000011		0 ,69315 .

2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то соответствующий определенный интеграл можно вычислить с заданной точностью.

Пример 4.

Вычислить интеграл

1/4 sin x

с точностью до

0 x

0,00001.

Решение.

Разделив почленно ряд для sin x

на x, получим

sin x x

x 3

x 5

x 2

x 4

x 6

. . Этот ряд сходит-

ся при x R. Интегрируем его почленно.


1/ 4 sin x					dx		1/ 4		1		x 2				x 4			x6	... dx
0			x		dx		0		1		3!				5!			7!	... dx
			x								3!				5!			7!

		x			x3			x5				x7						1/ 4
					x3			x5				x7						1/ 4
				3		3!	5		5!	7			7!					0
				3		3!	5		5!	7			7!					0
	1				1		1			1				1			1		1
4				3		3!	43		5	5!				45		7	7!		47
0 ,25000							0 ,00087						0 ,0000016 ....

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf
#
28.12.20252 Mб0Математика_5.pdf
#
28.12.20256.14 Mб0Математика_6.pdf
#
28.12.20251.57 Mб0Математика_7.pdf
#
28.12.202521.33 Mб0Математика_8.pdf
#
28.12.20254.68 Mб1Математическая картография.pdf
#
28.12.2025870.35 Кб0Математическая статистика-1.pdf
#
24.11.20252.04 Mб0Математическая статистика. В 2 ч. Ч. 1.pdf