Математика_5

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 5. Найти интеграл ∫

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Таким образом, исходная подынтегральная дробь разложится на сумму:

x3 −3x

+ 2

х−1

(х−1)2

х+ 2

Возвратимся к интегралу:

свойства

∫

dx = 3

(х

−1)

3 и 4

∫

свойство дифференциала

d(x ± c)= dx, c − const

x −1

(x −1)2

x + 2

d(x −1)

−2

(x + 2)

табличные

∫

+ ∫(x −1)

(x −1)+

∫

интегралы

x −1

x + 2

3,1, 3

= 53 ln x −1 − x1−1 + 43 ln x + 2 +c .

Пример 4. Найти интеграл ∫1−x x4 dx .

Решение. Подынтегральная функция является правильной дробью. Разложим ее знаменатель на простейшие множители, используя формулу разности квадратов:

1− x4 = (1− x2 )(1+ x2 )= (1− x)(1+ x)(1+ x2 ).

Тогда подынтегральная функция разложится на сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами А, В, С, D:

Cx + D

− x4

− x

+ x

+ x2

Правую часть приведем к общему знаменателю и приравняем числители:

x2= A(1+ x)(1+ x2 )+ B(1− x)(1+ x2 )+(Cx + D)(1− x)(1+ x).

Придавая переменной х произвольные значения, получим значения коэффициентов А, В, С, D:

при х =1:	1 = 4A A =			1	,
				4	1
при х = −1:	1 = 4B B =				1	,
					4			1		1							1
при х = 0 :	0 = A + B + D 0 =							1	+	1	+ D D = −						1	,
								4		4							2
при х = 2 :	4 =15A −5B −6C −3D 4 = 15 −														5	−6C +			3	C = 0 .
при х = 2 :	4 =15A −5B −6C −3D 4 = 15 −														4	−6C +			2	C = 0 .
Итак, получим разложение												4			4				2
Итак, получим разложение
					1				1			1
		x2	=		4		+		4		+		− 2	.
	1− x4		=	1− x			+	1+ x			+	1+ x2		.
	1− x4			1− x				1+ x				1+ x2

Тогда интеграл примет вид

								2				1					1				−	1
						x		2				4					4				−	2			свойства
						x						4					4					2			свойства
				∫					4 dx = ∫					+				+					2		0		0	=
				∫	1− x				4 dx = ∫			1− x		+		1	+ x	+	1		+ x		2	dx =	0		0	=
					1− x							1− x				1	+ x		1		+ x				3 и 4



=	1	∫		dx			+		1	∫	dx	−	1	∫		dx		=		свойство дифференциала									=
	1			dx					1		dx		1			dx				свойство дифференциала
																				d(1− x)= −dx, d(1						+ x)= dx
	4		1	− x					4		1+ x		2		1	+ x2
	4		1	− x					4		1+ x		2		1	+ x2

= −

d(1

− x)

d(1

+ x)

−

табличные

∫

интегралы

1− x

1+ x

1+ x2

3,3,9

= − 14 ln1− x + 14 ln1+ x − 12 arctgx + c .

Интегралы от иррациональных функций находятся с помощью подстановок, позволяющих избавиться от иррациональности.

замена

3x = t 3x = t

, x =

∫

= ∫

+ 4

t2 + t

dx = d

свойство

∫

dt =

∫

dt =

t(t

+1)

t +1

в числителе добавим

∫

t2 −1+1

dt =

∫

(t −1)(t +1)+1

dt =

и вычтемединицу

t +1

свойство

∫tdt −

∫dt +

d(t +1)

∫ t −

dt =

∫

t +1

табличные

возвратимся к переменной х,

интегралы

−

t +

t +1

2,1,3

учитывая,чтоt = 4 3x

= 23 3x − 43 43x + 43 ln(43x +1)+c .

		dx
Пример 6. Найти интеграл	∫		.
		(1+cos x)sin x

Если подынтегральная функция является дробно-рациональной

от функций sin x

и cos x ,

то применяют подстановкуtg

= t , отку-

да sin x =

, cos x =

1−t2

2dx

1+t2

+t2

1+ t

замена tg

= t

sin x

, cos x

1−t2

∫

1+ t2 ,

(1+cos x)sin x

1+ t2

dx =

2dt

1+ t2

= ∫

2dt

запишемподынтегральную

1−t

функциюв виде одной дроби

+t )1+

1+t

∫

1+t

свойство

∫

dt =

∫

свойство

dt =

dt +

∫tdt =

табличные

+ c =

∫

интегралы

3, 2

возвратимся к переменной х,

2 x

2 ln

4 tg

+ c .

учитывая,что t = tg

Пример 7. Найти интеграл ∫sin2 x cos3 x dx .

Выделим у функции в нечетной степени в качестве множителя первую степень и внесем полученную функцию под знак дифференциала.

∫sin2 x cos3 x dx = ∫sin2 x cos2 x cos x dx = ∫sin2 x cos2 x d sin x =

=т.к.sin2 x +cos2 x =1, = ∫sin2 x (1−sin2 x)d sin x = то cos2 x =1−sin2 x

замена переменной

= ∫t2

(1−t2 )dt = ∫(t2 −t4 )dt = ∫t2dt − ∫t4dt =

sin x = t

табличные

+ c =

sin3 x

sin5 x

+ c .

интегралы

−

Решение заданий типа 101–110

Теоретический справочник

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какаялибо первообразная этой функции, то для вычисления определенно-

го интеграла b∫ f (x)dx справедлива формула Ньютона–Лейбница (1).

b∫ f (x)dx = F(x)	b = F(b) – F(a).	(1)

a	a

Определенный интеграл используется для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел, в приложениях физики и техники, при моделировании экономических процессов.

Объем q произведенной продукции за промежуток времени ота до b при производительности труда f (t) вычисляется по формуле(2).

q = b∫ f (t)dt .	(2)
a

Потребительский излишек CS при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение, вычисляется по формуле (3).

Q*
CS = ∫ f (Q)dQ − P* Q* ,	(3)
0

где Q – количество товара; Р – цена единицы товара;

f (Q) – функция спроса;

(P*;Q* )– точка равновесия (состояние рыночного равновесия

характеризуют такие цены и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения).

Решение задания типа 101–105

Сменная производительность труда рабочего описывается функцией

f (t)= − 0,2t3 + 2t2 ,

где t – время в часах, 0 ≤ t ≤ 7 . Определить объем выпуска продукции в течение 22 рабочих дней бригадой, состоящей из 10 человек.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Тогда количество продукции, произведенной одним рабочим за 7 часов,

7	(−0,2t3	+ 2t2 )dt =				t	4		t	3	7

q1 = ∫			формула1	=	−0,2			+ 2			=

0					4			3			0

= −0,2 74 + 2 73 ≈108,6 (усл. ед.). 4 3

Объем продукции, выпущенной в течении 22 рабочих дней бригадой из 10 человек,

q = q1 22 10 ≈108,6 220 = 23892 (усл. ед.)

Ответ: 23892 (усл. ед.).

Решение задания типа 106–110

Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией q = 8000p3 т, а предложение данного товара характеризуется функ-

цией q = 500 p . Найти величину излишка потребителя при покупке

данного товара.

Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия (p*,q* ). Для этого решим систему уравнений

q = 8000

p3 .

q = 500 p

Разделим второе уравнение на первое

500 p p	3				*	= 2
	=1 p4	=16	p				.
8000				*
						=1000
			q

Запишем формулу для вычисления потребительского излишка (3), где f (q) – функция, обратная функции q = 8000p3 , т.е.

											1
			f (q)=	3	8000					−	1
				3	8000		= 20q			−	3	.
					q		= 20q					.
Тогда													1000
1000			1								2


	20q	−				=		20 q			3		− 2000 =
CS = ∫	20q		3dq −2 1000			=			2				− 2000 =
0									2
0								3					0
								3

30 310002 −2000 = 3000 − 2000 =1000 .

Ответ: 1000 (у. е.).

Решение заданий типа 111–120

Теоретический справочник

Дифференциальным уравнением I-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функ-

цию y = y(x) и ее производную y′ = y′(x), т.е. уравнение вида

F(x, y, y′)= 0 или y′ = f (x, y).

Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция y = ϕ(x,c), c −const , определенная и непрерывно

дифференцируемая в интервале (a,b), которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.

F(x,ϕ(x,c),ϕ′(x,c))≡ 0 .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего при конкретном значении произвольной постоянной с, которую можно определить из условия

y(x0 )= y0 , называемое начальным условием.

Чтобы решить дифференциальное уравнение I порядка, нужно определить его вид, найти его общее решение, а затем частное решение.

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения I порядка (xy − x)dy = ydx , удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 .

Решение. Преобразуем исходное уравнение, разделив обе его части на dx :

(xy − x)dydx = y или (xy − x)y′ = y .

Затем разделим обе части уравнения на xy − x ≠ 0 :

y	′		y

		= xy − x .
		= xy − x .

Разделив правую часть уравнения (и числитель, и знаменатель)

на x ≠ 0 , получим

′

y x

−

однородное дифференциальное

−1

y′ =

уравнение I порядка, т.к. оно имеет вид

. Сделаем замену

′

переменной:

x = u,

y = xu,

= u + xu

. Тогда исходное уравне-

u + xu

′

ние

примет

вид

u −1

или

u −1 −u или

x du

−

. Пользуясь свойством пропорции,

соберем возле

u −1

дифференциалов соответствующие переменные:

−1

du = dx

2u −u

и проинтегрируем полученное равенство:

∫		u	−1	du = ∫	dx .
∫				du = ∫	dx .
	2u − u u				x

Найдем интеграл, стоящий слева:

−1

замена переменной

t −1

∫

du =

= ∫

2tdt =

2t2 −t3

2u −u

u = t, u = t2, du = 2tdt

(t −1) 2t

2(1−t)

d(2t −t2 )

= ∫

t(2t −t2 )

dt = − ∫

2t −t2

= −ln

+c = −ln

−u

+c .

Найдем интеграл, стоящий справа: ∫dxx = ln x +c2 . Следователь-

но, −ln 2u −u +c1 = ln x +c2 , или, возвращаясь к прежним пере-

менным и обозначая с

−с = с, получим

−ln

−

= ln

+ c .

Преобразуем последнее равенство, используя свойство логарифма ln a +lnb = ln a b , и получим общее решение ln 2xy − y +c = 0 .

Подставив в последнее соотношение начальное условие x =1, y =1 , найдем конкретное значение произвольной постоянной: ln 21 −1 +c = 0 или с = 0 . Тогда частное решение примет вид

ln 2xy − y = 0 или 2xy − y =1.

Ответ: 2xy − y =1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf
#
28.12.20252 Mб0Математика_5.pdf
#
28.12.20256.14 Mб0Математика_6.pdf
#
28.12.20251.57 Mб0Математика_7.pdf
#
28.12.202521.33 Mб0Математика_8.pdf
#
28.12.20254.68 Mб1Математическая картография.pdf
#
28.12.2025870.35 Кб0Математическая статистика-1.pdf