Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

∂f = (3x − y2 + z)′		e3y−2z + (3x − y2 + z) e3y−2z (3y −2z) ′ =
∂y	y		y
∂y
= − 2y e3y−2z + (3x − y2 + z) 3e3y−2z = (9x −3y2 +3z − 2y)e3y−2z .
При вычислении	∂f	(частной производной по переменной z) пе-
	∂z
ременные х и y считают постоянными. Тогда
∂f = (3x − y2 + z)′ e3y−2z + (3x − y2 + z)			(e3y−2z )′ =
∂z		z	z
∂z

=1 e3y−2z + (3x − y2 + z) e3y−2z (−2)= (1−6x + 2y2 − 2z)e3y−2z .

Вычислим значения частных производных в точке M0 (−1;2;3):

				∂f (M0 )= 3e3 2−2 3						= 3 ;
					∂x
		∂f (M0 )= (−9 −3 4 +3 3 −2 2)e3 2−2 3 = −16 ;
		∂y
		∂f (M0 )= (1−6 (−1)+ 2 4 − 2								3)e3 2−2 3 = 9 .
		∂x
Тогда
Тогда		gradu(M0 )= 3i			−16	j	+ k		.
2. Производная функции u = f (x, y, z)										в точке M0 по направле-
нию вектора a вычисляется по формуле:
	∂u(M0 )=		∂f (M0 )cosα +					∂f (M0 )cosβ+ ∂f (M0 )cosγ,
		∂a		∂x					∂y	∂z
где	∂f (M0 ) = 3,		∂f (M0 )= −16 ,						∂f (M0 )	= 9 вычислены в предыду-
	∂x			∂y					∂z

щем задании этой задачи, а cosα, cosβ, cos γ −направляющие косинусы вектора a = (ax ,ay ,az ), которые вычисляются по формулам:

cosα =

;

ax2 + a2y + az2

cosβ =

;

ax2 + a2y + az2

cosγ =

ax2 + a2y + az2

Для вектора a = (−6;8;0) cosα =

−6

;

cosβ =

;

(−6)2 +82

+ 02

cos γ = 0 . Тогда производная функции по направлению вектора a в точке M0

∂u(M	0	)	= 3		6	−16	8	+9	0		146	= −14,6 .
∂a				−						= −
					10		10				10

Решения заданий типа 81–90

Производятся два вида товаров, объемы производства которых х и у, цены на эти товары р1 и р2 , соответственно, затраты на произ-

водство задаются функцией издержек S = S(x, y). Определить при

каких объемах производства данных товаров прибыль будет максимальной; найти ее максимальное значение.

Например, р1 = 8 (у.е.), р2 = 10 (у.е.), S(x, y) = x2 + xy + y2 (у.е.).

Решение. Так как товары производятся в объемах х и у, то функция прибыли P(x, y) будет иметь вид P(x, y) = p1x + p2 y − S(x, y)

или P(x, y) = 8x +10y − x2 − xy − y2 . Требуется найти значения пе-

ременных х и у, при которых эта функция примет максимальное значение, при условии, что x ≥ 0, y ≥ 0 . Т.е. надо найти максимум

функции двух переменных P(x, y).

Для этого найдем точки возможного экстремума этой функции, т.е. точки в которых

		∂P(x, y)	= 0
		∂x	= 0
		∂x	.
		∂P(x, y)	.
			= 0
		∂y
		∂y
В нашей задаче	∂P(x, y)	=8 −2x − y ;		∂P(x, y)	=10 − x − 2y , по-
	∂x			∂y

этому система имеет вид:

8 −2x − y = 010 − x − 2y = 0 .

Решая ее, находим x0 = 2,				y0 = 4 , т.е. точка M0 (2;4)
кой	возможного экстремума.				Если в	точке M0
	∂2P(M0 )	∂2P(M0 )			∂2P(M0 )

∆ =	∂x2	∂x∂y	> 0	и		< 0, то точка
	∂2P(M0 )	∂2P(M0 )			∂x2
	∂x∂y	∂y2

является точопределитель

M0 является

точкой локального максимума функции P(x, y). Здесь ∂2P(M0 ),

∂x2

∂2P(M	0	)	,	∂2P(M	0	)	−значения частных производных второго по-
∂y2				∂x∂y

рядка функции P(x, y) в точке M0 . Вычислим эти частные производные:

∂2P(M0 )= (8 −2x − y)x′ = −2 ; ∂x2

∂2P(M0 )

= (10 − x −2y)y′ = −2 ;

∂y2

∂2P(M0 )

= (8 −2х− y)y′ = −1.

∂x∂y

Тогда

∆ =

− 2

−1

= 4 −1 = 3 > 0 и

∂

2P(M

)

= − 2 < 0

, значит,

−1

− 2

∂x2

точка M0 (2;4

) является точкой экстремума

функции

прибыли

P(x, y). Это означает, что, если объемы производства товаров пер-

вого и второго видов будут равны 2 и 4, соответственно, то прибыль будет максимальной и ее значение

Pmax = P(M0 )=8 2 +10 4 −4 − 2 4 −16 = 28 (у. е.).

Решения заданий типа 91–100

Теоретический справочник

Нахождение неопределенного интеграла от функции f (x) – это определение множества функций F(x)+c , где F(x) – первообразная, т.е. F′(x)= f (x); с – произвольная постоянная.

Таким образом,

∫ f (x)dx = F(x)+c .

При интегрировании используют свойства неопределенных интегралов и таблицу.

Свойства неопределенного интеграла

10. ∫dF(x)= F(x)+c 20. d ∫ f (x)dx = f (x)dx

30.	∫c f (x)dx = c∫ f (x)dx, c ≠ 0
40.	∫(f (x)± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx .

Таблица основных интегралов

Пусть u = u(x) дифференцируемая функция.

1.	∫du = u +c
2.	∫uadu = ua+1						+ c,	a ≠ −1
	∫du = ln		a +1
3.				u	+c
3.				u	+c
	u
	u
4.	∫audu =	au				+ c,		a > 0, a ≠1
4.	∫audu =					+ c,		a > 0, a ≠1
			ln a

5.∫sinudu = −cosu +c

6.∫cosudu = sinu +c

7.∫ cosdu2 u = tgu + c

8.∫ sindu2 u = −ctgu + c

∫

1 arctg u

+ c,

a ≠ 0

u2 + a2

10.

∫

= arcsin u

+c,

a2 −u2

11.

u −a

a ≠ 0

∫

u2 −a2

u + a

12.

∫

= ln

u + u2 + a

+ c, a ≠ 0 .

u2 + a

Решения заданий типа 91–100

																3		−		1
Пример 1. Найти неопределенный интеграл ∫ (1− 2x)																		−		2	tg4x dx .
																				2
Результат проверить дифференцированием.
Решение.
				1			применим										1
			3	1			применим							3			1		tg4xdx .
∫ (1− 2x) −				2		tg4x dx =	свойство40						= ∫(1− 2x) dx − ∫				2		tg4xdx .
				2			свойство40										2
Найдем каждый интеграл отдельно.
								∫(1−2x)3dx =
	т.к.подынтегральнаяфункцияи дифференциал имеют
	т.к.подынтегральнаяфункцияи дифференциал имеют
	разные аргументы,сделаем замену переменной 1− 2x = t.
=	Дифференцируя последнее равенство,получим:																						=
	d(1− 2x)= dt −2dx = dt dx = − dt .
														2
= ∫t	3		dt			0		= −	1	∫t	3	dt =		табличный	= −		1			t4		+ c1 =


		−	=		свойство3									интеграл 2
		−	=		свойство3
			2						2								2			4
			2						2								2			4

возвратимся к прежней

=переменной х, учитывая, = − 18 (1− 2x)4 +c1 . чтоt =1−2x

Найдем второй интеграл.

∫	1	tg4xdx =	свойство	=	1	∫tg4xdx =

	2		30		2

т.к.у подынтегральнойфункции

и дифференциала разныеаргументы,

∫tg t

1 dt =

свойство

сделаем заменупеременной

4x = t

1 dt.

x =

dx =

= 1

∫tg t dt = 1 ∫

sin t

dt =

cost

функцииsin t и cost связаныоперацией

свойство

дифференцирования,поэтому сделаем

∫

− dz

замену переменнойcost = z, d cost = dz

−sin tdt = dz sin tdt = −dz

= −

∫ dz =

табличный

= −

1 ln

+c2 =

интеграл3

возвратимся к исходной переменной

= − 1 ln

cos4x

+c .

х, учитывая,что z = cost, t = 4x

Итак,

−

+ c1 +

cos 4x

− c2 =

∫

(1− 2x)

tg4x dx = −

(1− 2x)

обозначим

с −с = с

= −

(1−2x) +

8 ln

cos4x

+c .

Проверка результата дифференцированием:

′

−

(1−

2x)

cos4x

= −

4(1−2x)

(−2)+

(−sin 4x) 4 =

cos4x

= (1− 2x)3 − 1 tg4x .

Верно.

Пример 2.

Найти неопределенный интеграл ∫x cos2 x dx .

Ре-

зультат проверить дифференцированием.

Решение.

∫x cos2 x dx

используемформулу

= ∫x 1+ cos2x dx =

свойство

cos2 x

1+cos2x

= 1

свойство

∫x(1+cos2x)dx = 1 ∫(x + xcos2x)dx =

1 ∫xdx + 1

∫x cos2xdx =

первый− табличный

интеграл 2

=1 x2 + 1 ∫x cos2xdx . 2 2 2

Найдем ∫x cos2xdx с помощью формулы интегрирования по частям:

∫udv = u v − ∫vdu ,

где функции u = u(x) и v = v(x) выберем таким образом, чтобы интеграл ∫vdu получился табличный.

	Пустьu = x, du = dx.
∫ x cos 2xdx =	Тогда dv = cos 2xdx, ∫dv = ∫cos 2xdx		=
	v = ∫cos 2xdx = 1 ∫cos 2x d(2x)=	1 sin 2x
	2	2

= x 12 sin 2x − ∫12 sin 2xdx = x 12 sin 2x − ∫12 12 sin 2xd2x =

свойство30

=и табличный = 12 xsin 2x + 14 cos2x +c . интеграл5

Окончательно

∫x cos	2	xdx =	1	x	2	+	1	1	xsin 2x +	1		+ c =
			4				2	2		4	cos2x

xsin 2x +

cos2x + c .

Проверка результата дифференцированием:

xsin 2x +

cos2x

′

+c =

2x +

(sin 2x + x cos2x 2)−

1 sin 2x 2 =

= 1 x +

1 sin 2x + 1 x cos2x −

1 sin 2x = 1+cos2x

x = x cos2 x .

Верно.

Пример 3. Найти интеграл ∫

3x2

dx .

−3x + 2

Решение.

∫

3x2

dx =

свойство

= 3∫

dx .

x3 −3x

+ 2

x3 −3x + 2

Подынтегральная функция		x2	является правильной дро-
	x3	−3x + 2

бью, т.к. степень числителя строго меньше степени знаменателя. Разложим знаменатель на простейшие множители, решив кубиче-

ское	уравнение	x3 −3x + 2 = 0 .		Подстановкой убеждаемся, что
х = 1 – корень данного уравнения. Разделим многочлен					x3 −3x + 2
на х – 1:
			x3 −3x + 2	= x2 + x −2 .
			x −1	= x2 + x −2 .
			x −1
Решая квадратное уравнение				x2 + x −2 = 0 , находим его корни
x =1	и x = −2.	Тогда x2 + x − 2 = (x −1)(x + 2), а			x3 −3x + 2 =
1	2

= (x −1)(x −1)(x + 2)= (x −1)2 (x + 2).

Запишем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами А, В, С:

x2		А		В		С
	=		+		+		.
x3 −3x + 2		х−1		(х−1)2		х+ 2

Правую часть приведем к общему знаменателю и сравним числители обеих частей:

х2 = А(х−1)(х+ 2)+ В(х+ 2)+С(х−1)2 .

Придавая переменной х произвольные значения, получим значения коэффициентов А, В, С:

при х =1: 1 = 3В В = 13 , при х = −2 : 4 = 9С С = 94 ,

при х = 0 : 0 = −2А+ 2В+С А= 95 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf
#
28.12.20252 Mб0Математика_5.pdf
#
28.12.20256.14 Mб0Математика_6.pdf
#
28.12.20251.57 Mб0Математика_7.pdf
#
28.12.202521.33 Mб0Математика_8.pdf
#
28.12.20254.68 Mб1Математическая картография.pdf
#
28.12.2025870.35 Кб0Математическая статистика-1.pdf