Математика_5

20. (x)′ =1;

Если u = u(x),

v = v(x)

– некоторые дифференцируемые функ-

ции, то:

3

0

′

= u

′

′

;

. (u ±v)

±v

4

0

′

′

′

. (u v) = u

v +u v ;

50. (c u)′ = c(u)′;

0

′

′

′

6

u

u v −uv

v ≠ 0 ;

.

=

,

v2

v

u = ϕ(x), т.е. y = f (ϕ(x)) сложная функция,

70. Если y = f (u),

то: y′x = yu′ u′x или

dy

= dy

du .

dx

du

dx

Таблица производных основных элементарных функций

1. (u

α ′

α−1

′

α R

) = α u

u ,

2. (a

u ′

u

ln a

′

a > 0, a ≠1

) = a

u ,

′

1

10.

(arcsinu)

=

u′

1−u2

′

1

11.

(arccosu)

= −

u′

1−u2

Пример 1. Найти производную

dy

функции y =

x

.

dx

2 +3 x2

′

1 ′

2

1

2 ′

1

−

1

2

1

2

−

1

1

x2

2

+ x

3

− x

2

2

+ x3

x

2

2

+ x3

− x2

x

3

2

3

dy

x

2

dx

=

2

=

2 2

=

2

2

=

2 + x3

2

+ x

3

2 + x

3

1

1

1

1

1

преобразуем,

x−

2 +

1 x6

−

2

x6

приведем

x−2 −

1 x6

умножив

=

2

3

=

подобные

=

6

=

числительи

=

2

2

2

2

члены

знаменатель

2 + x 3

2 + x3

1

на

х2

−

1

1

1

1

2

x

2

−

x6

x2

1

3

6

1−

6 x

6 −3 x2

=

=

=

.

2 2

1

2 2

1

3

2

2

+

x

2

2 + x

3

x2

3

x2

6

x

2 + x

Пример 2. Найти производную

dy

функции

y =

cos x

.

dx

2sin2 x

dy

cos x

′

(сosx)′ 2sin2 x − cos x

(2sin2 x)′

=

=

=

dx

2sin2 x

(2sin2 x)2

=

−sin x 2sin2 x −cos x 2 2 sin x cos x

=

−2sin3 x −4sin x cos2 x

=

4sin

4 x

4sin4 x

=

преобразуем

= −2sin x(sin2 x + 2cos2 x)=

сократим

=

числитель

4sin4 x

на 2sin x

− sin

2

x + 2cos

2

x

=

заменим

= −

1+ cos

2

x .

sin2 x =1−cos2 x

2sin3 x

2sin3 x

dy

Пример 3. Найти производную

функции y = x arctg 1− x2 .

dx

dy

′

′

′

=

arctg

1

− x

2

arctg

1− x

2

1− x

2

dx

x

= (x)

+ x arctg

=

1

′

1

−2x

2

2

2

= arctg 1

− x

+ x

1− x

=arctg

1

− x

+ x

=

2

1+1− x2

1

1− x

2

2 1

− x

2

+

2x2

x2

= arctg

1− x2 −

= arctg

1− x2

−

.

(2 − x2 ) 2

(2 − x2 )

1− x2

1− x2

2 t

dy

x = cos

,

Пример 4. Найти производную

функции

2

dx

t

y = lnsin

.

2

Решение.

В этом примере функция задана параметрическими

x = x(t)

уравнениями

y = y(t), причем функции x(t) и y(t)

дифференциру-

′

0 , тогда по правилу дифференцирования функции, за-

емы и x (t)≠

yt′

или dy

dy

данной параметрически имеем

y′x =

=

dt

. Следователь-

xt′

dx

dx

dt

t

′

t

t

′

t

t

t

′

x′ = cos2

= 2

cos

cos

= 2cos

−sin

=

2

2

2

2

2

2

t

− 2cos

t

sin

t

1

=

используемформулу

= −

1 sint ;

2

2

2

sin 2α = 2sin α cosα

2

y′

t

′

1

t ′

1

cos

t

t

′

1

ctg

t

.

= ln sin

=

sin

=

=

2

t

t

2

2

2

t

sin

2

sin

2

Отсюда

2

2

1 ctg

t

t

dy

yt′

ctg

=

=

2

2

= −

2

.

dx

′

−

1

xt

2

sin t

sin t

t

ctg

dy

= −

2

,

Ответ:

sin t

dx

2

t