Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то угловой коэффи-

циент искомой диагонали kBD = −

. Угловой коэффициент пря-

kAC

мой

АС

(kAC ),

найдем

из ее

уравнения: y = −1 x + 2 , откуда

kAC

= −

. Следовательно,

kBD = −

= 3 .

− 3

Уравнение

диагонали BD найдем,

зная угловой коэффициент

(kBD = 3)

;−

и точку О

, лежащую на ней: y − y0 = kBD (x − x0 ),

т.е.

y +

или 3x − y −23 = 0 .

= 3 x −

Ответ: 3x − y −23 = 0 .

Выполним чертеж:

Решения заданий типа 41–50

Теоретический справочник

При вычислении пределов используются следующие свойства пределов:

10.

lim c = c , где с −сonst , т.е. предел постоянной равен самой

x→x0

постоянной.

20.

lim u(x) = A,

lim v(x) = B , то

x→x0

а)

lim (u(x) +v(x)) = lim

u(x) + lim v(x) = A + B ;

x→x0

б)

lim (u(x) v(x)) =

lim u(x)

lim v(x) = A B ;

x→x0

u(x)

lim u(x)

в)

lim

x→x0

, если

lim v(x) = B ≠ 0 .

v(x)

lim v(x)

x→x0

Из

свойств

10 и 2б0 следует,

что

lim c u(x) = c limu(x) , где

x→x0

с −сonst , т.е. постоянную можно выносить за знак предела.

30.

Если

lim u(x) = ∞ , то lim u(x) + .

x→x0

40.

Если

lim u(x) = 0 , то

lim

= ∞ .

u(x)

x→x0

lim v(x)

50.

lim (u(x))v(x) =

x→x

0 .

lim u(x)

x→x0

60. Для всех элементарных функций f (x)	в любой точке их об-
ласти определения имеет место равенство:	lim f (x) = f (x0 ) , т.е.
	x→x0

предел функции находят непосредственной подстановкой предельного значения аргумента.

Из свойства 20 следует, что предел суммы, произведения, частного двух функций равен, соответственно, сумме, произведению и частному пределов этих функций, если функции имеют конечные пределы (в случае частного предел знаменателя не равен нулю). Ес-

ли	lim u(x) =		lim v(x) = 0 , то lim			u(x) приводит к неопределен-
	x→x0	x→x0		x→x0		v(x)
ности типа		0		lim u(x) = ∞, lim v(x) = ∞,			то	lim	u(x)
ности типа			; если	lim u(x) = ∞, lim v(x) = ∞,			то	lim	v(x)
		0		x→x0		x→x0	x→x0		v(x)
					∞	; если lim u(x) =1,	lim v(x) = ∞,
приводит к неопределенности типа						; если lim u(x) =1,	lim v(x) = ∞,
					∞	x→x0	x→x0
то	lim u(x)v(x)		приводит к неопределенности типа (1∞ ). Чтобы вы-
	x→x0

числить такие пределы, т.е. «раскрыть неопределенность», необходимо провести дополнительные преобразования.

Пример 1. Вычислить предел	lim	5x3	− 2x2 + x + 4		.
			+ x2	− 4x + 7
	x→∞ 2x3

Числитель и знаменатель дроби являются многочленами и при x → ∞ стремятся к бесконечности и, следовательно, имеем неопре-

деленность

∞

. Для раскрытия такой неопределенности вынесем

∞

в числителе и знаменателе x3 .

−

сократим

lim

на x3

x→∞

−

используем

lim

свойство20. )

x→∞

+ x

−

используем

lim

−

x→∞

свойства

lim

−

x→∞

пределов1 −4

lim 5

− 2 lim

+ lim

4 lim

−0

+ 0 + 0

x→∞

x→∞ x

→∞ x2

x→∞ x3

lim 2

+ lim

− 4 lim

7 lim

+ 0

−0

+ 0

x→∞

x→∞ x

→∞ x2

x→∞ x3

Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет меньшую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:

−

5x2 −2x +3

∞

−

lim

x3 + x2 −4

x→∞

∞

x→∞

x→∞ x

−

= lim 1

−

5 −0 +0

lim

= 0

= 0 5 = 0 .

1+0 −0

x→∞ x

x→∞

+ x

−

Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет большую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:

−

−2x

+ 4

∞

lim

lim x

3x2 + x

−2

x→∞

∞

x→∞

−

1−0 +0

1 lim

= lim x lim

lim x

x = ∞ .

1 2

3 +0 −0

x→∞

→∞

3 x→∞

+ x

−

Пример 2. Вычислить

lim

3x2 −2x

−1

x3 −1

x→1

Определим, имеет ли место неопределенность. Для этого в вы-

ражение, стоящее под пределом подставим x =1:

3 12 −2 1−1

0 .

13 −1

Т.о. имеем неопределенность

. Разложим на множители числитель:

3x2 −2x −1 =

3 x +

(x −1)= (3x +1)(x −1)

знаменатель:

x3 −1 = (x −1)(x2 + x +1)

и подставим это в предел

3x2 − 2x −1

(3x +1)(x −1)

сократимна

lim

= lim

(x −1)

x3 −1

(x −1)(x2 + x +1)

множитель

x→1

= lim

3x +1

3 1+1

x→1 x

2 + x +1

1+1+1 3

Пример 3. Вычислить lim

x −2

−1

x→3 x2 −4x +3

−1

lim

x −2

3 − 2

−неопределенность

x→3 x2 −4x +3

32 − 4 3 +3

Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю: (x −2 +1).

(

−1)(

+1)

x −3

сократим

lim

x −2

= lim

(x2 −4x +3)(

x→3

x −2 +1)

x→3

(x −3)(x −1)( x

−2

+1)

на (x −3)

= lim

1 .

(3 −1)(

+1)

x→3 (x −1)( x − 2 +1)

3 −2

Если при раскрытии

неопределенности

, дробь содержит

тригонометрические функции, то в этом случае используют первый

замечательный предел:

lim sin x

=1.

x→0

Пример 4. Вычислить lim

tg3x

x→0 sin 2x

lim

tg3x

tg(3 0)

− неопределенность

x→0 sin 2x

sin(2 0)

Преобразуем выражение:

tg3x

= sin3x

sin 2x

cos3x

sin 2x

Отдельно вычислим:

Обозначим

lim

sin 3x

3x = t. Если

= lim sin x =1.

x →0

x → 0, то

x→0

t = 3x → 0

Аналогично

2x = z.

= 1 =1.

lim

Если х → 0,

= lim

x→0 sin 2x

то z = 2x → 0

z→0 sin z

lim

sin z

z→0

lim

=1.

cos0

x→0 cos3x

Следовательно,

lim

tg3x

lim sin 3x

lim

1 1 =

x→0 sin 2x

2 x→0

x→0 cos3x

x→0 sin 2x

Пример 5.

lim

1−cos4x

1−cos4x = 2sin2 2x

cos x −cos7x

= 2sin 4xsin3x

x→0 cos x −cos7x

lim

2sin

2 2x

= lim

sin2 2x

x→0 2sin 4xsin3x

x→0

(2x)2

sin 4x

sin 3x

lim

sin 2x

lim

1 1

3 x→0

x→0 sin 4x

x→0 sin 3x

При раскрытии неопределенности 1∞ используют второй замечательный предел:

		1	x		1
	+	1	x	= e или lim(1+ x)	х
lim 1	+	x		= e или lim(1+ x)	= e .
x→∞		x		x→0

Пример 6. Вычислить lim 5x −1 2x+1 . x→∞ 5x + 2

Вычислим отдельно предел основания:

−

− 1

5x −1

∞

5 −0

lim

= lim

x→∞ 5x + 2

∞

x→∞

5 +0

и предел показателя

lim (2x +1)= ∞, получаем неопределенность 1∞ .

x→∞

Преобразуем выражение в скобках к виду 1+α(x):

5x −1

(5x + 2)−3

−3

+ 2

5x + 2

5x +

т.е. α(x)=

−3

Из второго замечательного предела следует, что

5x + 2

lim (1+ α(x))

α(x)

= e , поэтому преобразуем показатель степени так,

α(x)→0

чтобы он содержал сомножитель

= −

5x + 2

Таким образом

α(x)

5x+2

−3(2x+1)

5x −1 2x+1

5x+2

−

−3

5x + 2

5x +

Тогда

−3(2x+1)

−3

5x+2 5x+2

5x+2

−3

−3 −3

lim

= e

5x + 2

x→∞

+ 2

−3lim

−

lim

3(2x 1)

−3lim

x→∞ x

−3

−6

= ex→∞

5x+2

= e x→∞

5x+2 = e

x = e

5 = e

5 .

Пример 7. Вычислить lim(7 −3x)

= (1∞).

x−

x→2

Выражение в скобках запишем в виде 1+α(x)= 7 −3x =1+(6 −3x),

т.е. α(x)= 6 −3x .

Следовательно,

показатель степени должен со-

держать сомножитель

α(x)

6 −3x

3(6−3x)

lim(7 −3x)x−2

lim(1+(6 −3x))6−3x

x−2

lim(1+ (6 −3x))6−3x

= e

x→2

3(6−3x)

lim

−3 3(x−2)

= e−9 .

= ex→2

x−2 = ex→2

x−2

Для раскрытия неопределенностей типа

или

∞

удобно

∞

f ′(x)

использовать правило Лопиталя–Бернулли:

lim

f (x)

lim

g(x)

g′(x)

x→x0

т.е. предел отношения функций в случае неопределенности

или ∞ равен пределу отношения производных этих функций.

∞

Для применения правила Лопиталя–Бернулли необходимо научиться вычислять производные функций.

Пример 8. Вычислить lim sin3x −arcsin x .

x→0

e2x −ex

sin3x −arcsin x

= lim

(sin3x −arcsin x)′

lim

e2x −ex

(e2x −ex )′

x→0

3cos3x −

3cos0 −

1− x2

3 −1

= lim

1−0

= 2 .

x→0

2e2x −ex

2e0 −e0

2 −1

Правило Лопиталя–Бернулли при вычислении предела можно применять несколько раз.

Пример 9. Вычислить lim

−e−x − 2x

x→0

lim

ex −e−x − 2x

= lim

(ex

−e−x − 2x)′

lim

ex + e−x − 2

(x3 )′

3x2

x→0

= lim

(ex + e−x −

2)′

ex −e−x

= lim

(ex − e−x )′

lim

x→0

(3x2 )′

x→0

(6x)′

= lim

ex +e−x

1+1

x→0

Решения заданий типа 51–60

Теоретический справочник Дифференцированием функции y = f (x) называют нахождение

ее производной y′ = dydx , которое выполняется с помощью правил

дифференцирования и таблицы производных основных элементарных функций.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf
#
28.12.20252 Mб0Математика_5.pdf
#
28.12.20256.14 Mб0Математика_6.pdf
#
28.12.20251.57 Mб0Математика_7.pdf
#
28.12.202521.33 Mб0Математика_8.pdf
#
28.12.20254.68 Mб1Математическая картография.pdf
#
28.12.2025870.35 Кб0Математическая статистика-1.pdf