Решение задания типа 151–160

Производится залп из трех орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,9, вторым – 0,85, третьим – 0,95. Какова вероятность 1) хотя бы одного попадания в цель; 2) ровно двух попаданий.

Решение. Обозначим события Ai = {попадание i-м орудием в цель}, i = 1, 2, 3. Из условия задачи вероятности этих событий

P(A2 )=1− P(A2 )=1−0,85 = 0,15 ; P(A3 )=1− P(A3 )=1−0,95 = 0,05 .

1) Требуется найти вероятность события A = {хотя бы одно попадание в цель}. Противоположное событие

A ={нет ниодного попаданияв цель}= А1 А2 А3 .

Так как события А1, А2, А3 независимы, то применима теорема умножения вероятностей:

Р(А)= Р(А1 А2 А3 )= Р(А1) Р(А2 ) Р(А3 )= 0,1 0,15 0,05 = 0,00075 .

Известно, что Р(А)+ Р(А)=1. Отсюда

Р(А)=1− Р(А)=1−0,00075 = 0,99925 .

2) Событие В ={произошло ровно два попадания в цель} в алгебре событий с помощью событий А1, А2, А3 можно записать как

В = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 . Так как события Аi и Аi , i = 1, 2, 3 независимы и несовместны, то по теоремам сложения и

умножения вероятностей получим:

Р(В)= Р(А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 )=

= Р(А1) Р(А2 ) Р(А3 )+ Р(А1) Р(А2 ) Р(А3 )+ Р(А1) Р(А2 ) Р(А3 )=

0,9 0,85 0,05 +0,9 0,15 0,95 + 0,1 0,85 0,95 = 0,247 .

101

Решение задания типа 161–170

В продажу поступило 40 % телевизоров с первого завода, 50 % – со второго, 10 % – с третьего. Вероятность того, что телевизор, изготовленный на первом заводе, имеет дефект, равна 0,1. Для телевизоров, изготовленных на втором и третьем заводах, эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. 1) Какова вероятность приобрести исправный телевизор? 2) Приобретен исправный телевизор. Найти вероятность того, что он поступил с первого завода.

Решение.

1) Пусть событие А = {случайно купленный телевизор оказался исправным}. Это событие может произойти с одной из следующих гипотез: Н1 = {телевизор выпущен первым заводом}, Н2 = {телевизор выпущен вторым заводом}, Н3 = {телевизор выпущен третьим заводом}.

роятность того, что наудачу купленный телевизор без дефекта, по формуле полной вероятности

P(A)= Р(Н1) РН1 (А)+ Р(Н2 ) РН2 (А)+ Р(Н3 ) РН3(А)=

=0,4 0,9 + 0,5 0,85 + 0,1 0,8 = 0,865 .

2)Пересчитаем вероятность гипотезы Н1 = {телевизор выпущен первым заводом}, если известно, что событие A = {случайно куп-

102

ленный телевизор оказался исправным} произошло, т.е. найдем условную вероятность РA(Н1).

Решение задания типа 171–180

Непрерывная СВ Х задана функцией распределения

0, x ≤ 0,

F(x)= A(x3 −3x2 +3x), 0 < x ≤ 2 .

1, x > 2.

103

3. Математическое ожидание M (X ) непрерывной СВ определя-

ется формулой M (X )= ∞∫x f (x)dx . Так как функция f (x) задана

−∞

тремя различными выражениями на трех интервалах, то несобственный интеграл разобьется на сумму трех интегралов:

P(1< X < 2)= 12 (23 −3 22 +3 2)− 12 (1−3 +3)= 12 .

Решение задания типа 181–190

Зависимость выпуска валовой продукции (с.в. Y) от стоимости основных фондов (с.в. Х) 50 предприятий представлена корреляционной таблицей

104

В первом столбце таблицы указаны наблюдаемые значения с.в. Х (xi), в последнем столбце – соответствующие частоты наблюдаемых значений (mi). В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения с.в. Y (yj), в последней строке – соответствующие частоты (mj) появление этих значений. На пересечении строк и столбцов таблицы указаны частоты (mij) появления пары (xi,yj).

Требуется:

1.Найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

2.Найти уравнение прямой линии регрессии Х на Y.

3.Построить графики полученных прямых.

4.Оценить тесноту корреляционной связи, используя выборочный коэффициент корреляции.

Решение.

1.Эмпирическую линейную функцию регрессии Y на Х ищем в

виде yx = a +bx .

Используя метод наименьших квадратов, получим расчетные формулы для определения неизвестных параметров а и b, а именно, систему двух уравнений с двумя неизвестными:

где выборочные средние x, y, x2 и x y вычисляются по формулам:

x = 1 ∑k mi xi ;

n i=1

nj =1 j y j ;

x2 = 1 ∑k mi xi2 ;

n i=1y = 1 ∑l m

105

y2 = 501 (0,32 4 +0,92 11+1,52 17 + 2,12 15 + 2,72 3)= 2,7108 .

Подставив значения x, y, x2 и x y в систему, получим:

с+ d 1,524 = 3,432

c 1,524 + d 2,7108 = 5,7528 .

Откуда c =1,3812 и d =1,3457 .

Окончательный вид уравнения регрессии Х на Y:

xy =1,3812 +1,3457 y .

3.Построим графики найденных прямых регрессий.

4. Определим выборочный коэффициент корреляции rB по формуле

rB = x σyx−σxy y ,

107

где выборочные средние квадратические отклонения σx и σy вы-

числяются по формулам σx = x2 − x2 , σy = y2 − y2 .

Внашем случае

σx = 12,9774 −(3,432)2 =1,0949 , σy = 2,7108 −(1,524)2 = 0,6231.

Тогда rB = 5,7528 −3,432 1,524 = 0,7658 . 1,0949 0,6231

На практике теснота корреляционной связи оценивается по значению коэффициента rB следующим образом:

rB < 0,1− пренебрежимо малая;

rB ≥ 0,9 − очень большая, близкая к функциональной.

Так как в нашем случае rB = 0,7658 > 0,7 , то теснота связи между случайными величинами Х и Y большая.

108