Математика_4

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m = ∫zπz dz =

= 4π (единиц массы).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

921.92 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

На основании формулы

	x − x0	=		y − y0		=		z − z0
dF							dF
			dF
	dx M0			dy	M0			dz M0

запишем уравнение нормали к поверхности:

x +0 2 = y−−21 = z−−20 .

Переходя к параметрической форме уравнений, получим

x = −2,

y =1+t, t R . z = t.

Задача 5

Вычислить массу тела V, ограниченного заданными поверхностями

z = x2 + y2 , z = 2 .

Плотность в точке M (x, y, z) задается функциейγ =γ (x, y, z). В нашем случае пусть γ = z .

Решение: Вершина конуса находится в точке О (0,0,0), и в сечении конуса плоскостью z = 2 получается окружность (рис. 3).


z = x2 + y2 ,			z = 2 .

Рис. 3. Сечение конуса плоскостью z = 2

Воспользуемся формулой для вычисления массы

m = ∫∫∫γ (x, y, z)dxdydz .

Этот интеграл равен

m = ∫h zdz ∫∫dxdy ,

0 (D)

где h=2, (D) есть проекция на плоскость XY сечения конуса плоскостью, ей параллельной и лежащей на высоте z над нею. Эта проекция есть круг, радиуса z, так что двойной интеграл, представляю-

щий его площадь, равен πz2 . Отсюда

Ответ: 4π (единиц массы).

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ

Схема выбора варианта

Контрольная работа состоит из пяти заданий. Вариант выбирается по номеру зачетной книжки, стоящему после знака /. Если этот номер больше 20, то вычтите из него 20. Например, владелец зачетной книжки 417527/14 должен решать задачи с номером 14 из первого задания 34 из второго задания, 54 из третьего, 74 из четвертого и 94 из пятого заданий.

Задание 1

1–20. Найти неопределенные интегралы:

1. a) ∫sin 2xecos2x dx ;

в) ∫						14dx					;
в) ∫	(x	2	− x +1)(x						+ 2)		;
	(x		− x +1)(x						+ 2)
2. а) ∫cos							dx ;
2. а) ∫cos					x		dx ;
				x
в) ∫					dx			;
в) ∫	(x +4)(x −3)2							;
3. а) ∫x2e−x3 dx ;
в) ∫			1							dx ;
в) ∫	(x −1)(x2 +4x +4)									dx ;

4. а) ∫cos xe−sin x dx ;

в)∫(x +1)(x12 + x +1) dx ;

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

∫lnx x dx ;

∫sin2 xcos2 xdx .

∫ sin2xx dx ; cos

∫lnxx dx .

∫sincos2 xx dx ;

∫(x −4)sin5xdx .

∫cos6 xsin xdx ;

∫arccos 2xdx .

5. а) ∫

sin

dx;

в) ∫

sin

1+cos x

6. а) ∫

etg x

dx ;

cos2

в) ∫

;

(x2 +1)(x −1)

7. а) ∫

ectg2x

dx ;

sin

в) ∫

5dx

;

(x +4)(x

−1)

e−

8. а) ∫

;

4dx

в) ∫

(x +

1)2

+ 3)

9. а) ∫

earctg3x

dx ,

1 +

9x2

в) ∫

dx ,

(x −2)2 (x −4)

10. а) ∫

arctg2 2x

dx ,

1 + 4x2

в) ∫x3 −22x2 + xdx ,

б) ∫1+sincosx2 x dx;

г) ∫x ln(x2 +4)dx.

б) ∫x2ex3 dx ;

г) ∫ 3(2dxx +1)2 .

б) ∫(2x −3)e−xdx ;

г) ∫x(1x ++xx ) dx

б) ∫arctg xdx ;

г) ∫sin4 xcos xdx

б) ∫(x2 −3x)ln(x + 2)dx ,

г) ∫(sin x)5cos3 xdx .

б) ∫x cos2 3xdx ,

г) ∫3cossin222xx dx .

11. а) ∫

arcsin 3x

dx ,

1 −9x2

в) ∫

dx ,

(x −

1)(x +2)

12. а) ∫

tg3 3x

dx ,

cos2 3x

в) ∫

dx ,

(x −

(x + 3)

13. а)∫

6x5 +1

dx ,

x6 + x +1

в)∫

dx ,

(x +4)(x +2)(x +1)

14. а)∫

dx ,

sin

+ x

)

в) ∫

dx ,

(x +

1)(x −2)

15. а) ∫cosxdxx2 ,

в) ∫ x2 1 x dx ,

( +1)( −2)

16.а)∫x sin(1 −3x2 )dx ,

в)∫x3 1+ xdx ,

17.а)∫x cos(3x2 + 2)dx ,

в)∫ x3 −8 4x dx ,

б) ∫x e−3x dx ,

г) ∫3 sincos4xx dx

б) ∫xsin2xdx ,

г) ∫cos xdx−sin x .

б)∫x ln(x2 + 2)dx ,

г)∫	dx	.
	sin x +cos x

б) ∫xe3x dx ,

г) ∫sin2 x −cos2 x .

б) ∫x ln(x2 − 2x + 3)dx ,

г) ∫1+dxsin x .

б)∫2xe−x dx ,

г)∫sin2 x −5sin xcos x +6cos2 x .

б)∫x arctg 2xdx ,

г) ∫sin5x cos4xdx .

в) ∫ x(x2+2) dx ,

x6 dx

19.а) ∫4 + x7 ,

в) ∫x2 (x2+4) dx ,

20.а) ∫x2 3 − 4x3 dx ,

в) ∫x(x24+4) dx ,

б) ∫x ln xdx ,

г) ∫cos2 3xdx .

б) ∫x sin2 2xdx ,

г) ∫sin x cos xdx .

б) ∫sinx2 x dx ,

г) ∫3cos2 x +5sin2 x .

Задание 2

21–26. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

	y = sin x,		3	π;	π		y =1.
21.	y = sin x,	x −	2	π;	2	,	y =1.
			2		2
22.	y = ex ,	y = e−x ,		x =1.
23.	y = ex ,	y = e−x ,		y = 2 .

y = 2sin t +1

x = 3cost

25. xy ==tt2 , t [−1; 1] и осью OX.

26. ρ = 2sin 2ϕ.

27–33. Найти длину дуги кривой:

	π
27. y = ln cos x, x 0;	4	.
	4

28.	x = t	2	,		t [0;1].
		3
	y = t
29.	x = cos			3 t	,	t [0;2π].

	y = sin3 t
30.	x = t −sin t					.

	y =1+cost
	ρ =1+sin ϕ
31.	ϕ[0;π] .
32.	ρ = 3(1 −cosϕ), ϕ [0;π].

33.ρ = e2ϕ, ϕ 0; π .

34–40. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

34. y = sin x,

36.y = x2 ,

37.y = e−x ,

38.y = ln x,

x = cost

39.y = 3sint

x [0;π]. 35. y = −x2 +5, y =1.

y = 0,	x = 2 .
y = 0,	x = 0, x =1.
x = 4,	y = 0 .

+1, t [0, π2].

x = 2t − 2sin t		,	t [0;π].
40.	+ cost
y =1

Задание 3

41–60. Найти ∂2 z ,

∂x2

41.z = e x .

43. z =	y2	+tg2 y .
	x

45.z = e y .

∂2 z

для функции z = z(x, y).

∂x∂y

42.

z =

−2sin2x .

−

44.

z = e

y2 .

46.

z = e

y 2

z =

47.

xe y

48.

ye y .

49.

z = xe

50.

z = cos2 (x +

) .

51.

z =sin2 (

+ y) .

52. z = ln(x3 −2 y) .

53.

z = ln(x3 −3y4 ) .

54.

z =

+ y3 .

55.

z =

+ y .

56.

z =

57.

z =

+2x2 y .

58.

z =

59.

z =sin( y − x2 ) .

60.

z =

x2 + x3 − y . y3

cos (x + y2 ) .

cos(x2 − y) .

Задание 4

61–80. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0, y0, z0 ) .

61.S : x2 + y2 + z2 +6z −4x +8 = 0, M0 (2,1, −1).

62.S : x2 + z2 −4y2 = −2xy, M0 (−2,1, 2).

63.S : x2 + y2 + z2 − xy +3z = 7, M0 (1, 2,1) .

64.S : x2 + y2 + z2 +6y +4x =8, M0 (−1,1, 2) .

65.S : 2x2 − y2 + z2 −4z + y =13, M0 (2,1, −1) .

66.S : x2 + y2 + z2 −6y +4z +4 = 0, M0 (2,1, −1) .

67.S : x2 + z2 −5yz +3y = 46, M0 (1, 2, −3) .

68.S : x2 + y2 − xz − yz = 0, M0 (0, 2, 2) .

69.S : x2 + y2 +2yz − z2 + y −2z = 2, M0 (1,1,1) .

70.S : y2 − z2 + x2 −2xz +2x = z, M0 (1,1,1) .

71.S : z = x2 + y2 −2xy +2x − y, M0 (−1, −1, −1) .

72.S : z = y2 − x2 +2xy −3y, M0 (1, −1,1) .

73.S : z = x2 − y2 −2xy − x −2y,, M0 (−1,1,1) .

74.S : z = x2 + y2 −3xy − x + y +2, M0 (2,1,0) .

75.S : z = 2x2 −3y2 +4x −2y +10, M0 (−1,1,3) .

76.S : z = x2 + y2 −4xy +3x −15, M0 (−1,3, 4) .

77.S : z = x2 +2y2 +4xy −5y −10, M0 (−7,1,8) .

78.S : z = 2x2 −3y2 + xy +3x +1, M0 (1, −1, 2) .

79.S : x2 − y2 − z2 + xz +4x = −5, M0 (−2,1,0) .

80.S : x2 + y2 − xz + yz −3x =11, M0 (1, 4, −1) .

Задание 5

81–100. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

81.y2 = x, x =3, z = x, z ≥ 0. 82.z = y2 , x + y =1, x ≥ 0, z ≥ 0.

83.z = x2 +2y2 , y = x, x ≥ 0, y =1, z ≥ 0. 84.z2 = 4 − x, x2 + y2 = 4x, z ≥ 0.

85.y = x2 , z = 0, y + z = 2.

86.x2 + y2 =1, z = 2 − x2 − y2 , z ≥ 0. 87.x2 + y2 = 4y, z2 = 4 − y, z ≥ 0.

88.y =1− z2 , y = x, y = −x, y ≥ 0, z ≥ 0.

89.y = 2x, x + y + z = 2, x ≥ 0, z ≥ 0.

90.z = 2x2 + y2 , x + y =1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf
#
28.12.20252 Mб0Математика_5.pdf
#
28.12.20256.14 Mб0Математика_6.pdf
#
28.12.20251.57 Mб0Математика_7.pdf
#
28.12.202521.33 Mб0Математика_8.pdf
#
28.12.20254.68 Mб1Математическая картография.pdf