Математика_4
.pdf
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра «Информационные системы и технологии»
МАТЕМАТИКА
Задания к контрольной работе № 2
Минск
БНТУ
2011
УДК 51 (076.2) ББК 22.1я7 М 34
Составители:
В.В. Напрасников, Ю.В. Напрасникова, В.А. Казакевич, В.И. Юринок
Рецензенты:
Ю.О. Герман, А.В. Василевский
Настоящий материал предназначен для использования при выполнении контрольной работы студентами специальности 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии», получающими образование на основе дистанционной формы обучения по дисциплине «Математика».
© БНТУ, 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ............................................................ |
4 |
Задача 1............................................................................................... |
4 |
Задача 2............................................................................................... |
7 |
Задача 3............................................................................................... |
8 |
Задача 4............................................................................................... |
9 |
Задача 5............................................................................................. |
11 |
ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ............................................................ |
13 |
Схема выбора варианта................................................................... |
13 |
Задание 1.......................................................................................... |
13 |
Задание 2.......................................................................................... |
16 |
Задание 3.......................................................................................... |
18 |
Задание 4.......................................................................................... |
19 |
Задание 5.......................................................................................... |
20 |
ПРОГРАММА ИЗУЧАЕМОЙ ЧАСТИ КУРСА................................ |
22 |
ЛИТЕРАТУРА...................................................................................... |
23 |
3
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
Найти неопределенные интегралы.
a) ∫ |
|
x6 |
|
dx ; |
|
|
б)∫xsin2 (2x)dx ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
4 + x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в)∫ |
2 |
dx ; |
|
г)∫ |
|
cos(x)dx . |
|
|
|
|||||||||||||||
sin(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x2 (x +4) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) Произведем замену 4 + x7 = t . Получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x6 |
|
dx = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 + x7 = t |
|
= ∫dt |
= 1 ∫dt |
|
|
1 ln |
|
|
|
+c = 1 ln |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
7x6dx = dt |
|
= |
|
t |
|
4 + x7 |
+c . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x6dx = dt |
|
|
7t |
7 |
|
t |
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Преобразуем подынтегральное выражение, |
используем формулу: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 (2x) = 1−cos 4x . |
|
|
|
|||||||||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cos(4x) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
∫ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
xsin (2x)dx |
= |
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|||||||||
|
= 1 |
∫(x − x cos(4x))dx = |
1 |
∫xdx − 1 ∫x cos(4x)dx = J1 − J2 , |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
4
где
J |
|
= |
1 |
∫ |
xdx = |
1 |
|
x2 |
+c = |
x2 |
+c . |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
1 |
4 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления следующего интеграла используем интегрирование по частям.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫udv = uv −∫vdu |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x;du = dx |
|
|
|
|
|||
J2 = |
∫ |
x cos(4x)dx = |
|
|
dv = cos(4x)dx; v = |
1 |
sin(4x) |
= |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
16 |
|
∫ |
|
|
|
16 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vdu = |
1 |
|
|
sin(4x)d (4x)= − |
1 |
cos(4x) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
= |
|
x |
|
|
sin(4x) + |
|
|
|
|
cos(4x) |
= |
|
xsin(4x) + |
|
|
cos(4x) +c2 . |
|||||||
2 |
4 |
16 |
|
8 |
32 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В итоге получаем ответ: |
|
|
|
|
|
∫xsin2 (2x)dx = |
x2 |
+ |
1 xsin(4x) + |
1 |
cos(4x) +c . |
|
32 |
||||
4 |
|
8 |
|
||
в) Для вычисления интеграла ∫x2 (x2+4)dx разложим дробь под знаком интеграла на простейшие:
2 |
= |
A |
+ |
B |
+ |
C |
|
|
|
|
|
. |
|||
x2 (x +4) |
x |
x2 |
x +4 |
||||
Приводим правую часть к общему знаменателю:
2 |
= |
Ax(x +4)+ B (x +4)+Cx2 |
. |
x2 (x +4) |
x2 (x +4) |
5
Приравниваем числители этих дробей:
2 = Ax(x +4)+ B (x +4)+Cx2 .
При x = 0 получим 2 = 4B . Находим B = 12 .
При x = –4 получим 2 = C (−4)2 . Находим C = 18 .
Приравниваем коэффициенты при степени x2 и вычисляем A.
A +C = 0; A = -C; A = - |
1 . |
|
8 |
Тогда исходный интеграл примет вид:
21 1 1
∫x2 (x +4)dx = ∫ −8x + 2x2 + 8(x +4) dx =
+18 ln x +4 +c = −18 ln x − 21x + 18 ln x +4 +c .
а) Произведем замену t = sin(x) . Получим
|
|
|
sin(x) = t |
|
|
1 |
∫ |
sin(x) |
cos(x)dx = |
cos(x)dx = dt |
= ∫ |
tdt = ∫t 2 dt = |
|
3
= t32 +c = 23 
t3 +c = 23 
(sin x)3 +c. 2
6
Задача 2
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и линией, заданной параметрическими уравнениями:
x = cost |
t [0;π] . |
|
|
y =3sin t |
|
Решение:
Данная линия является половиной эллипса, изображенной на рис. 1. Тело вращения изображено рис. 2.
Рис. 1. Вид половины эллипса |
Рис. 2. Тело вращения |
7
Объем этого эллипсоида вращения определим по формуле
Vx =π∫b y2dx.
a
Параметрические уравнения кривой облегчают выполнение подстановки.
Поскольку x = cos(t) , то dx = d(cos(t)) .
При |
a = −1 |
t =π , |
при |
b =1 |
t = 0 . |
Следовательно, |
|
|
Vx =π∫0 |
(3sin t)2 d(cost) =9π∫0 |
(1−cos2 t)d (cost) = |
|
|
|
|||
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
= |
9π(cos t - |
1 cos3 t) |
|
0 |
= |
|
||||||||
= 9π ∫d(cost)−∫cos2 t d(cost) |
|
π |
||||||
π |
π |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 9π((1 - 13) −(−1+ 13)) =9π(23 + 23) =12π (куб.единиц).
Ответ: Vx =12π(куб.единиц)
Задача 3
Найти частные производные |
d 2 z |
; |
d 2 z |
для функции |
|
dx2 |
dxdy |
||||
|
|
|
z = sin (y − x2 ).
8
Решение:
Находим частную производную первого порядка по х:
dz |
= |
d(sin(y − x2 )) |
= (cos(y − x |
2 |
) |
d (y − x2 ) |
= |
dx |
dx |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
= cos(y − x2 )(−2x)= −2x cos(y − x2 ).
Находим частные производные второго порядка:
d 2 z = dz ( dz ) = d (−2x cos(y − x2 )) = dx2 dx dx dx
=−2 cos(y − x2 )−(−2x) sin (y − x2 ) dxd (y − x2 ) =
=−2 cos(y − x2 )−(−2x) sin (y − x2 ) (−2x) =
=−2 cos(y − x2 )−4x2 sin (y − x2 ).
d 2 z |
= |
dz |
( |
dz |
) = |
d |
(−2x cos |
( |
y − x |
2 |
) |
dxdy |
dy |
dx |
dy |
|
|
) = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−2x) (−sin (y − x2 )) dyd (y − x2 ) = 2x sin (y − x2 )
Задача 4
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0(x0, y0, z0).
S : x2 − y2 − z2 + xz +4x = −5, |
M0 (−2;1;0) |
9
Решение:
Найдем частные производные функции
F (x, y, z)= x2 − y2 − z2 + xz +4x +5
dFdx = 2x + z +4; dFdy = −2y; dFdz = −2z + x .
Вычислив значения частных производных в точке M0(x0, y0, z0), получим координаты направляющего вектора нормали
dF |
= 2 (−2)+0 +4 = 0 , |
|
|
|
|
|
dx M0 |
|
dF |
= −2 1 = −2 , |
dF |
= −2 0 −2 = −2 . |
||
|
|
|
|
||
|
dy M0 |
|
|
dz M0 |
|
→
m =={0;−2;−2}.
В соответствии с формулой
dF |
(x − x |
)+ |
dF |
(y − y |
)+ |
dF |
(z − z |
0 |
)= 0 . |
|||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
dx M0 |
|
|
|
dy M0 |
|
|
|
dz M0 |
|
|
|
найдем уравнение касательной плоскости:
0 (x +2)+(−2) (y −1)−2 (z −0)= 0 ,
−2y +2 −2z = 0,
или y + z −1 = 0.
10