Нужно определить плотность распределения.

Решение. Плотность распределения определим из свойства плотности распределения: p(x ) = F ′(x ) .

6.Числовые характеристики СВ

Кчисловым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М(Х),

дисперсия D(Х), среднее квадратическое отклонение σ(Х), начальные и центральные моменты и др.

6.1. Математическое ожидание и его свойства. Дискретная СВ принимает значе-

ния x1, x 2 ,K, x n с вероятностями p1, p2 ,K, pn . Математическим ожиданием СВ называется число М(Х), которое определяется соотношением

n

M (X ) = ∑ x i pi .

i=1

Если непрерывная СВ задана плотностью распределения p(x ) , то математи-

∞

ческое ожидание определяется интегралом M (X ) = ∫ x p(x ) dx .

−∞

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ. Свойства математического ожидания:

4.M (X ×Y ) = M (X ) × M (Y ) , если СВ X и Y независимы.

6.2.Дисперсия и ее свойства. Начальным моментом k-ого порядка называет-

ся математическое ожидание СВ Хk.

18

Центральным моментом k-ого порядка называется математическое ожида-

ние СВ (X − M (X ))k .

∞

μk = ∫ (x − M (X ))k p(x ) dx – для непрерывных случайных величин.

−∞

Дисперсией называется центральный момент второго порядка

D(X) = μ2 = ∑n (x i − M (X ))2 pi .

i=1

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности математического ожидания квадрата СВ и квадрата математического ожидания.

D(X ) = M (X 2 )− (M (X ))2 .

Свойства дисперсии:

Средним квадратическим отклонением СВ называется корень квадратный из дисперсии СВ

σ(X ) = D(X ) .

Пример 1. Дискретная СВ задана законом распределения. Требуется найти

М(Х), D(X), σ(X).

19

Пример 2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения

7. Законы распределения СВ

Законы распределения дискретных СВ. СВ Х, которая принимает значения 0, 1, 2,¼, n с вероятностями P (X = k ) = C nk pk qn−k , называется распределенной по би-

номиальному закону. Биномиальный закон распределения может быть представлен в виде таблицы:

Пример 1. Производится 3 независимых испытания, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. СВ Х – число появлений события А. Требуется составить закон распределения и вычислить числовые характеристики.

Решение. СВ Х принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 и распределена по биномиальному закону. Определим вероятности:

M (X ) = np = 4 × 0,4 = 1,6 ,

D(X ) = np q = 4 × 0,4 × 0,6 = 0,96 , s(X ) = D(X ) = 0,96 = 0,98 .

Пример 2. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.

Решение. По условию задачи п = 400; р = 0,01; т £ 2; λ = 4.

21

7.2. Законы распределения непрерывных СВ. СВ Х называется равномерно распределенной на отрезке [a; b], если плотность распределения СВ на этом от-

Непрерывная СВ Х, принимающая значения с плотностью распределения

0, x ≤ 0,

p(X ) = λ −λx >

e , x 0,

называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с па-

раметром λ > 0 . Для СВ, распределенной по показательному закону, справедливы следующие соотношения:

P (α ≤ x ≤ β) = e−λα − e−λβ .

СВ Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

22