Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>


		Воспользуемся формулой: прa																				4a		3b	a
																			4a	3b						.
																			4a	3b						.
																							b
		Найдем скалярное произведение векторов:
		Найдем скалярное произведение векторов:
									25			4	0	0	20				2	140 .
		4a 3b a							25			4	0	0	20				2	140 .
		Найдем модуль вектора:
			42			02		22				2	5.
	a		42			02		22				2	5.
пр									140
			4a			3b							14		5.
			4a			3b							14		5.
		a							2		5
									2		5
		б)		Направляющие										косинусы					вектора			a		по			формулам
cos					х							y					z будут равны:
					а							a					a
cos							4						2	5	, cos					0	0,	cos			5		.
cos															, cos						0,	cos					.
			4			2	0	2		2		2		5						20					5
			4				0			2
Аналогично, направляющие косинусы вектора b
cos									3							3		,	cos		0	0,		cos				4	.
cos						3	2		0	2			4	2	5			,	cos		25	0,		cos		5			.
							2			2				2	5						25					5

Скалярное произведение векторов в координатной форме имеет вид:

a b = x1x2 y1 y2 z1z2 4 3 0 0 2

20.


	в) Если векторы a				u a		2b перпендикулярны, то есть,					,
	в) Если векторы a				u a		2b перпендикулярны, то есть,				2	,
тогда cos		0 и скалярное произведение равно нулю.
Найдем координаты векторов:
		4,0,2	3,0,	4		4	3	,0,2	4	,
a		4,0,2	3,0,	4		4	3	,0,2	4	,
		4,0,2	2 3,0,	4			2,0,	6 .
a	2b	4,0,2	2 3,0,	4			2,0,	6 .
							41

Скалярное			произведение						имеет	вид:
			4 3	2	0 0 2 4				6	20 30 .
a	b a 2b		4 3	2	0 0 2 4				6	20 30 .
Решим уравнение			20 30	0,			2	.
Решим уравнение			20 30	0,		3		.
						3
8.	Даны векторы				1,3,				4,7,8 .
8.	Даны векторы	a	5,6,1 , b		1,3,	1 u с			4,7,8 .

а)Являются ли векторы a,b u с линейно независимыми?

б) Найдите площадь треугольника, построенного на векторах a u b .

в) Найдите объем пирамиды, построенной на векторах a,b u с .

Решение.

а) Для проверки, Являются ли линейно независимыми, необходимо составить матрицу системы векторов и вычислить еѐ определитель

5	1	4
A 6	3	7	; det A 160 0 .
1	1	8

Так как определитель не равен нулю, то система векторов является линейно независимой.

б) Из определения векторного произведения следует, что площадь


треугольника,							построенного					на	векторах				а	и b ,	равна
		1
S		1	\| a	\| .
S	2		\| a	\| .
	2
					i	j	k		6	1		5 1			6	3		9i 4 j 9k .


	a				5 6		1	i			j			k
					1	3	1		3	1		1	1		1	1
					1	3	1

Итак, S	1	\| a \| или	S	1	9 2 42	9 2	178	ед.2
	2			2			2

				42

в) Объем пирамиды равен Vпир	1	abc
	1		, где	abc	- смешанное
	6		, где	abc	- смешанное
произведение векторов.

Найдем смешанное произведение:

									5	6		1

				a b c					1	3		1		160
									4	7		8
	Следовательно, объем пирамиды
		1			1		\|			160		26	2	ед3 .
	Vпир	1	\| abc \|		1			160 \|		160			2
	Vпир	6	\| abc \|		6			160 \|			6
		6			6						6	3
9.	Даны		точки			M0 1;0 , M1 3; 1 , M 2 5;1 . Составить уравнение
прямой:

а) проходящей через точку M 0 , перпендикулярно вектору M1M2 ; б)
проходящей через две точки M1												и M 2 ;
в) в треугольнике M 0 M1M 2											найти уравнение стороны M 0 M1 ;
г) угол при вершине M 0 ;
д) уравнение и длину высоты M1D ;
е) уравнение и длину медианы M1N ;
ж)	составить уравнение прямой, проходящей через точку M 2
параллельно стороне M 0 M1											треугольника, и найти расстояние между
этими прямыми.
												43

Решение.

а) Воспользуемся формулой уравнения прямой:

					A x x0	B y y0		0.
Здесь x0 , y0			- координаты точки, через которую проходит прямая. В
нашем случае это точка M0 1;0						. Вектор		A; B перпендикулярен
нашем случае это точка M0 1;0						. Вектор	n	A; B перпендикулярен

прямой.		По условию это вектор M1M2 .						Найдем его координаты:
M1M 2		5	1;1	( 1)	4; 2 .
Подставим в формулу:
4 x	1	2 y	0	0.	Выражая	переменную y, получим уравнение
y	2x	2 .

б) Воспользуемся формулой уравнения прямой:

																				x		xM			1				y		yM		1			.
																			xM		2		xM				1		yM	2	yM				1	.
																			xM				xM						yM		yM

Подставим в формулу координаты точек:
	x	3			y				1		;			x			3				y		1	.				Выражая					переменную y,						получим
5		3		1					1		;					2					2			.				Выражая					переменную y,						получим
5		3		1					1							2					2
уравнение y										x			4 .
г)		Угол при вершине M0																				треугольника M 0 M1M 2																равен углу между
векторами								M 0 M1									и					M 0 M 2 .							Найдем								координаты		векторов
M 0 M1				2;				1 ,			M 0 M 2 4;1 .															Воспользуемся											формулой		косинуса
угла между векторами:
cos					M 0 M1 M 0 M 2																						x1 x2			y1 y2					z1 z2
					M	0	M		1			M		0	M		2					x	2				y 2		z	2		x		2			y 2	z 2


																					1						1		1					2			2	2
				2 4							1		1									7			.
		2	2			1		2			4		2			1		2			85				.
			2					2					2					2			85

																											44

д) Высота M1D перпендикулярна стороне M 0 M 2 . Поэтому можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через данную

точку, перпендикулярно данному вектору A x																																				x0 B y y0 0.
Здесь x0 , y0														- координаты точки M1 3; 1 . Вектор M 0 M 2																										4;1 .
Подставим в формулу:
4				x			3			1				y	(	1)			0.							Выражая								переменную					y,		получим
уравнение y															4x	11 .
			Чтобы найти высоту M1D ,																									воспользуемся формулой расстояния
от точки M1														до прямой M 0 M 2 :
				d				A xM						1	B	yM		1			C			.		Для этого составим уравнение прямой
								A xM						1	B	yM		1			C

														A2		B 2
														A2		B 2
	M 0 M 2							с помощью уравнения прямой, проходящей через две точки:
		x xM 0												y yM 0					,				x 1 y 0										.		Получим					уравнение
	xM			2			xM		0					yM	2	yM		0	,				5			1			1			0	.		Получим					уравнение
				2					0						2			0
	x			4 y				1		0.
Подставим в формулу:																				M1 D													4		1	1	6		.
																											1 3
																											1 3

																																2		4	2		17
																																2			2		17
																															1
е) Чтобы составить уравнение медианы																																		M1 N , найдем координаты
точки N – середины отрезка M 0 M 2 .
	xN					xM0						xM 2			1 5				3,						yN					yM0			yM 2			0 1 1		.
	xN									2						2			3,						yN								0			2	2	.
										2						2																	0			2	2
	x				xM			0						y	yM	0	,				x	1					y				0	.			Получим					уравнение
								0								0
																										1
	xN					xM 0							yN		yM 0				3 1							1					0
																			3 1
																										2
																										2
	1	x				2 y					1			0 или x							4 y					1		0 .
2		x				2 y				2				0 или x							4 y					1		0 .
2										2
			Длину медианы M1 N найдем по формуле:
	M1 N									xM				1	xN	2				yM		1				yN		2					3 3 2			1	1				3	.
																2												2									1				3
																																					2			2
																												45
																												45

10. а) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0

перпендикулярно вектору M1M2 ;

б) уравнение полученной плоскости привести к уравнению в отрезках и построить еѐ;

в) M 0 M1M 2 , проходящей через три точки и проверить, лежит ли точка M3 в этой плоскости, если не лежит, то найти расстояние от этой точки до плоскости;

г) M1M 2 M 3 , проходящей через три точки, и найти угол между этой плоскостью и плоскостью M 0 M1M 2 ;

д) найти объѐм пирамиды M 0 M1M 2 M3 , и длину высоты пирамиды, опущенной из точки M 0 ;

е) проходящей через точку M 0 (следующего варианта) параллельно плоскости M1M 2 M 3 и найти расстояние между этими плоскостями.

Решение.

а) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 .

Здесь	x0 , y0 , z0 - координаты				точки,		через	которую проходит
плоскость. В нашем случае это точка M 0								. Вектор
плоскость. В нашем случае это точка M 0						1;2;0		. Вектор		n	A; B;C

перпендикулярен плоскости. По условию это вектор M1M2 .											Найдем
его координаты: M1M 2			2	3; 2	7; 0 4		1;	5;	4 .
Подставим в формулу:			1 x	1	5	y	2	4	z	0	0 .
Упрощая		выражение,	получим		общее		уравнение			плоскости:
x 5y	4z	9 0 .

в) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x	x1	y	y1	z	z1
x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 .
x3	x1	y3	y1	z3	z1
			46

Подставим координаты точек M 0 M1M 2 и упростим выражение:

		x			1 y 2 z 0											x	1 y 2 z 0
		3		1		7	2		4	0		0,				4	5	4		0 .
		2		1		2	2		0	0						3	0	0
	Разложим определитель по первой строке:
			x 1					y 2			4 4			z	4 5		0 ,
			x 1		5 4			y 2			4 4			z	4 5		0 ,
					0	0					3	0			3	0
			x 1	0			y	2		12			z			15	0,
	12 y			15 z			24	0.
г) Уравнение плоскости M1M 2 M 3 :
	x 3			y 7				z 4								x 3 y 7 z 4
	x 3			y 7				z 4								x 3 y 7 z 4
	2		3	2		7		0	4	0,						1	5	4	0,
	3		3	3		7		1	4							0	10	3
25x			3y		10 z		56		0 .			Вектор,					перпендикулярный плоскости
	M1M 2 M 3 , имеет координаты n1															25;3; 10 .
	В пункте в) было составлено уравнение плоскости M 0 M1M 2 :
12 y			15z			24	0. Для нее n2							0;12;			15 .

Косинус угла между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами по

		сos			n										.
					n1	n2			A2



										1
										1
Подставим координаты векторов в формулу:
cos				0	3 12				10		15			186	.
			25	0	3 12				10		15			186

	2			2			2		2		2		2	270846
25	2	3		2	10		2	0	2	12	2	15	2	270846
25		3			10			0		12		15
										47

11. Составить уравнение прямой в пространстве R3 :

а) проходящей через точку M 0 , параллельно вектору S(m, n, p) ;

б) проходящей через точки M1 и M 2 и записать его в канонической форме;

в) проходящей через точку M 0 , параллельно прямой M1M 2 ;

г) проходящей через точку M 0 , перпендикулярно прямой M1M 2 ;

д) найти угол между этой прямой M1M 2 и прямой, проходящей через

точку M 0 и параллельной вектору S(m, n, p) .

Координаты точек и

векторов

даны:

M 0 (4,-3,1),

M1 (2,5,2),

M 2 (1,7,4), S (2,5,-3).

Решение.

а) Используем уравнение

y0 z z0

подставим в

него координаты вектора S(2; 5;

3) :

В результате получим уравнение бесконечного числа прямых,

параллельных вектору S .			Чтобы получить единственную прямую,
проходящую через точку				М0 (4;					3;1) ,				подставим в полученное
уравнение координаты этой точки
	x			4			y		3		z		1	.
2							5						3	.
2							5						3
б) Используем уравнение						x		x1		y			y1			z	z1	и подставим в
б) Используем уравнение					x2			x1		y2			y1			z2	z1	и подставим в
					x2			x1		y2			y1			z2	z1
него координаты точек M1 (2,5,2) и M 2 1,7,4):
		x		2				y	5			z	2		.
1				2			7		5	4			2		.
1				2			7		5	4			2
							48

Получим уравнение прямой M1M 2 в каноническом виде:

	x 2		y 5		z 2	.
1		2		2

в) Из канонического уравнения				прямой			M1M 2 возьмем
координаты вектора S 1;2;2		, параллельного прямой. Этот вектор

является направляющим и для искомой прямой. Поэтому воспользуемся уравнением прямой

Подставим в него координаты точки M 0

и вектора

S 1;2;2 :

д) Угол между двумя прямыми

x x1

y y1

z z1

x x2

y y2

z z2

направляющие векторы которых S1 (m1 , n1 , p1 ) и S 2 (m2 , n2 , p2 ) , будет определяться как угол между соответствующими направляющими векторами из условия

		сos			S

					S1		S2			m2	n2		p2	m2	n2		p2


										1	1	1		2	2		2
										1	1	1		2	2		2
Уравнение			прямой			M1M 2 :					x	2 y		5		z	2	.	Уравнение
Уравнение			прямой			M1M 2 :						1		2			2	.	Уравнение
												1		2			2
прямой, проходящей через точку М0 (4;												3;1)		и параллельной вектору
S(2; 5;	3) :	x	4 y 3					z 1	.
S(2; 5;	3) :								.
	2			5		3
В нашем случае векторы S1 и S 2											имеют координаты:								S1 ( 1,2,2) и
S 2 (2,5,	3) . Тогда
										49

cos		1 2		2	5		2		3				2	2	.

	2		2		2		2		2		2	5	38	190
1	2	2	2	2	2	2	2	5	2	3	2	5	38	190
1		2		2		2		5		3
12. Дано уравнение						эллипса						4x2 + 9y2 – 8x + 36y + 4 = 0.
Преобразовать его к каноническому виду и построить линию.

Решение.

Объединяем слагаемые с одинаковой переменной

(4x2 – 8x) + (9y2 + 36y) + 4 = 0,

выносим за скобку коэффициент при переменной во второй степени

4(x2 – 2x) + 9(y2 + 4y) + 4 = 0,

выражения в скобках дополняем до полного квадрата, затем вычитаем те постоянные, которые прибавили в скобках, чтобы не нарушить условия задачи,

4(x2 – 2x + 1) + 9(y2 + 4y +4) + 4 – 4 1 – 4 9 = 0.

у	Получим выражение
		2 + 9(y + 2)	2 – 36 = 0.
	4(x – 1)

Y	Произведем замену координат, тем самым
	Произведем замену координат, тем самым
	х введем новую систему координат:

O 1				X = x – 1; x0 = 1;
				X = x – 1; x0 = 1;
–2 O	Х			Y = y + 2; y0 = –2.
	С новыми переменными уравнение будет
Рис. 1.	иметь вид:
				4X 2 + 9Y 2 = 36
или после деления на правую часть (рис. 1)
		X 2	Y 2
				1 .
	9		4	1 .
	9		4

Это каноническое уравнение эллипса, большая полуось которого а = 3 принадлежит оси Ох, меньшая полуось – b = 2 принадлежит оси Оу, начало координат новой системы координат находится в точке

O (1; –2) (рис. 1).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.35 Mб1Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды.pdf
#
24.11.20252.01 Mб0Математика в примерах и задачах. В 10 ч. Ч. 1. Элементы линейной алгебры.pdf
#
28.12.2025670.74 Кб0Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра.pdf
#
28.12.2025637.69 Кб1Математика в примерах и задачах. Ч. 3. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка.pdf
#
24.11.20253.2 Mб0Математика для первокурсника. Повторение курса средней школы.pdf
#
28.12.20251.53 Mб0Математика-1.pdf
#
24.11.20252.24 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.17 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf
#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf