Математика. Часть 2-1

могут представлять собой только суммы произведений постоянных коэффициентов на переменные решения.

4.7.1. Общая форма задачи линейного программирования

Задана система m линейных ограничений с n переменными:

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ( )b1 ,

a21 x1 a22 x2 ... a2n xn ( )b2 ,

…………………………………,

ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn ( )bk ,

ak 1,1 x1 ak 1, 2 x2 ... ak 1,n xn ( )bk 1 ,

ak 2,1 x1 ak 2, 2 x2 ... ak 2,n xn ( )bk 2 ,

…………………………………,

am1 x1 am2 x2 ... amn xn ( )bm ,

где x1 0 , x2 0 ,…, xn 0 ,

а линейная функция Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn max (min) .

Необходимо найти переменные x1 , x2 ,...,xn , которые удовлетворяют системе ограничений и приводят целевую функцию к максимальному или минимальному значению.

В общей форме задачи линейного программирования система ограничений включает в себя как равенства, так и неравенства, а целевая функция может стремиться как к максимуму, так и минимуму.

4.7.2. Стандартная или симметричная форма задачи линейного программирования

Задача линейного программирования, представленная в форме:

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ( )b1 ,

a21 x1 a22 x2 ... a2n xn ( )b2 ,

…………………………………,

41

стандартной формой задачи линейного программирования.

Особенность данной формы состоит в том, что в ней система ограничений состоит из одних неравенств, переменные решения являются неотрицательными, а

целевая функция может стремиться как к максимуму, так и минимуму.

4.7.3. Каноническая форма задачи линейного программирования

Форма, в которой Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn max ,

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,

a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2 ,

..……………………………, am1 x1 am2 x2 ... amn xn bm ,

все переменные неотрицательные: x1 0 , x2 0 ,…, xn 0 , система ограничений представляет собой систему, а целевая функция может стремиться к максимуму,

называется канонической формой задачи линейного программирования.

Указанные выше три формы записи ЗЛП эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть сведена к другой форме, т.е. если имеется способ нахождения оптимального решения задачи в одной из указанных форм, то тем самым может быть определен оптимальный план задачи в любой другой форме (говорят о страте6гической эквивалентности задачи в любой из форм).

Так, при необходимости задачу минимизации можно заменить задачей максимизации, и наоборот. Очевидно, что минимальное значение функции z(x)

равно максимальному значению функции z(x) , взятому с противоположным знаком, т.е.

42

min z(x) max( z(x)).

Неравенство типа путем умножения левых и правых частей на –1 можно превратить в неравенство типа , и наоборот. Ограничения-неравенства

преобразуются в ограничения-равенства путем прибавления (вычитания) к левым частям дополнительных (балансовых неотрицательных переменных xn 1 0 :

В случае необходимости ограничение-равенство ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn bi

можно записать в виде системы неравенств

ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn bi , ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn bi .

Если в ЗЛП какая-то переменная xk не подчинена условию неотрицательности, ее заменяют разностью двух других неотрицательных переменных xk' 0 и xk'' 0 :

xk xk' xk'' .

Вводимые дополнительные переменные имеют определенный экономический смысл, прямо связанный с содержанием задачи. Так, в задачах об использовании ресурсов они показывают величину неиспользованного ресурса, в

задачах о смесях – потребление соответствующего компонента сверх нормы.

4.8. Графический метод решения задачи линейного программирования

Рассмотрим графический метод решения ЗЛП в стандартной форме с двумя

переменными, т.е. задачи вида:

Найти вектор x1 , x2 T , удовлетворяющий системе ограничений:

43

прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству a1 x1 a2 x2 b , а другой полуплоскости – неравенству a1 x1 a2 x2 b . Следовательно, геометрической интерпретацией множества решений линейного неравенства является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой, включая прямую.

Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-либо точку,

не принадлежащую граничной прямой, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству.

44

Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой эта точка принадлежит, в противном

Рис. 8.1. Геометрическая интерпретация решений линейного неравенства

Прежде всего, в неравенстве 2x1 3x2 6 заменим знак неравенства на знак равенства и построим соответствующую прямую 2x1 3x2 6 . Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Так как точка O (0,0) удовлетворяет неравенству

2x1 3x2 6 , то областью решения данного неравенства является полуплоскость,

которой принадлежит эта точка.

4.8.2. Геометрическая интерпретация множества решений линейного неравенства

Пусть дана система линейных неравенств с двумя неизвестными:

a11 x1 a12 x2 b1 ,a21 x1 a22 x2 b2 ,

am1 x1 am 2 x2 bm

45

Общая часть (пересечение) всех полуплоскостей, соответствующих всем неравенствам, будет представлять собой ОДР системы линейных неравенств.

Возможные случаи области допустимых решений.

На рис. 8.2 представлены возможные ситуации, когда ОДР ЗЛП – выпуклый многоугольник (а), неограниченная выпуклая многоугольная область (б),

единственная точка (в), пустое множество (г), прямая линия (д), луч (е), отрезок (ж).

Рис. 4.8.2. Возможные случаи ОДР

46

Например, при построении ОДР системы линейных неравенств:

Построим полученные прямые, найдем соответствующие неравенствам полуплоскости и их пересечение.

Итак, ОДР системы линейных неравенств является выпуклый многоугольник

ABCDE (рис.4.8.3).

X 2

C

B

D

Рис. 4.8.3. Область допустимых решений системы линейных неравенств

47

ЭТАП 2

Теперь предположим, что ОДР найдена. Перейдем к следующему этапу графического метода решения ЗЛП. Покажем, как среди всех точек ОРД найти такую точку, в которой функция цели имеет максимальное значение. Для этого рассмотрим функцию цели:

Z c1 x1 c2 x2 .

Из курса высшей математики известно, что уравнение Z c1 x1 c2 x2 при фиксированном значении Z определяет прямую, а при изменении Z – семейство параллельных прямых. Для всех точек, лежащих на одной из прямых, функция Z

принимает одно и то же значение, поэтому указанные прямые называются линиями уровня для функции Z .

перпендикулярен линиям уровня и показывает направление наибольшего

(например, c1 x1 c2 x2 0 ) и будем перемещать линию уровня по ОДР параллельно

самой себе в направлении вектора gradZ до тех пор, пока она не пройдет через

последнюю (крайнюю) ее общую точку с ОДР. Координаты этой точки и являются оптимальным решением данной задачи. Будем обозначать оптимальное решение

рис. 4.8.4. Тогда Z принимает максимальное значение в точке M .

48

X 2

Рис. 4.8.4. Функция Z принимает максимальное значение в точке M .

4.9. Симплекс-метод. Понятие о методе искусственного базиса

Симплексный метод – метод последовательного улучшения решения (плана)

и нахождения оптимального решения (плана).

Применяется при решении задач линейного программирования, заданных в канонической форме:

n

L c j x j max (min) ,

x j 0 j 1, n .

Он заключается в том, что сначала находится любое допустимое базисное решение, соответствующее одной из угловых точек многогранника решений, а

затем это решение целенаправленно улучшается, переходя к новому базисному решению в соседней угловой точке, при котором значение целевой функции не уменьшается (не увеличивается) в задаче на максимум (минимум), пока не будет

49

получено оптимальное решение. Этот метод является универсальным, с помощью которого можно решить любую задачу линейного программирования.

Все необходимые базисные решения целесообразно получать с помощью таблиц Гаусса. В первый блок таблицы заносятся данные исходной задачи. При необходимости некоторые уравнения системы ограничений следует умножать на –

1 (чтобы все свободные члены были неотрицательными).

Последнюю строку, которую назовем индексной, заполняем коэффициентами целевой функции, представленной в виде уравнения

Каждая итерация, т.е. переход от одного блока таблицы к другому осуществляется известными элементарными преобразования Жордано-Гаусса для строк. Они сводятся к следующим действиям:

1.Выбирают p -й разрешающий столбец из условия, что cp 0 (в задаче на максимум) и хотя бы один элемент в нем aip 0 .