Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

1 k n

6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1.Определенный интеграл и его свойства. Понятие определенного интеграла

Пусть дана функция	y f	x , определенная на отрезке a,b ,
a b. Разобьем отрезок	a,b	точками a x0 x1	xn b на n
элементарных отрезков	a, x1 , x1, x2 , , xk 1,		xk , , xn 1, xn ,

длины которых обозначим через xk , то есть xk xk xk 1, k 1,n. На каждом из элементарных отрезков xk , xk 1 выберем произвольную точку k и составим интегральную сумму для функции

y f x	на отрезке a,b :
	n
	n f n xk .	(6.1)
	k 1

Обозначим через длину наибольшего из элементарных отрезков xk , xk 1 , то есть max xk .

Определение. Определенным интегралом от функции y f x

на отрезке a,b называется конечный предел ее интегральной

суммы (6.1), когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.

Следовательно, по определению

	n	b
lim	f n xk f x dx.		(6.2)
0k 1		a

Символ в правой части (6.2) читается так: определенный ин-

теграл от a до b; f x называется подынтегральной функцией, x –

переменной интегрирования; a – нижним пределом интегрирования; b – верхним пределом интегрирования.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования

b	b
f x dx f u du.
a	a

Определение. Функция, для которой существует предел (6.2), называется интегрируемой на отрезке a,b .

С геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции

(рис. 6.1): S f x dx.

Рис. 6.1

Основные свойства определенного интеграла:

1. Если a b,		a	f x dx 0.
1. Если a b,	то		f x dx 0.
		a
b	a	x dx.
2. f x dx f		x dx.
a	b
b
3. dx b a.
a
			b	x g x
4. Для , R			f	x g x

b	b
dx f x dx g x dx.
a	a

	b	c	f x dx
5. Для a,b,c справедливо равенство		f x dx	f x dx
	a	a

f x dx, если все три интеграла существуют.

6.2. Вычисление определенного интеграла

Фундаментальной для математического анализа является формула Ньютона–Лейбница, связывающая определенный интеграл с первообразной подынтегральной функцией:

	b
	f x dx F b F a ,	(6.3)
	a
где f x	– функция, непрерывная на отрезке a,b ;
F – любая первообразная функция.
Часто	разность F b F a записывается символом	F x	b .
Часто	разность F b F a записывается символом	F x	b .
			a
			a

Выражение ba читается как знак двойной подстановки. В этих обозначениях формула Ньютона–Лейбница приобретает вид:

b f x dx F x ba F b F a .


		2
	Пример 6.1.						cos0

		sinxdx cosx		02	cos	2		0	1 1.
		0				2
Ответ: 1.
	6.3. Интегрирование заменой
	переменной (подстановкой) и интегрирование
	по частям в определенном интеграле
Теорема. Пусть		y f x	– непрерывная на отрезке a,b функ-

ция, а x t – непрерывно дифференцируемая функция на отрез73

ке , , так, что a, b b. Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

b
	f x dx		t dt.	(6.4)
	f x dx	f t	t dt.	(6.4)
a

Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется.

		Пример 6.2. Вычислить										9			dx					.
												9			dx
												0
												0		1			x
	Решение. Вводим замену											x t2, t 0.											При x 0						имеем t 0,
при x 9 получим t 3,										dx 2tdt. По формуле (6.4)
	9			dx		3	2tdt			3						1							t ln						3
	9			dx		3	2tdt			3						1													3
									2		1							dt 2								t 1
							1 t		2		1				1			dt 2								t 1
	0		1 x			0	1 t			0					1	t													0
						2 3 ln4							0 ln1						6 2ln4.
						2 3 ln4							0 ln1						6 2ln4.
	Ответ: 6 2ln4.

		Пример 6.3. Вычислить 2 cos3 x sin6 xdx.
		Пример 6.3. Вычислить 2 cos3 x sin6 xdx.
	Решение. Сделаем											0
	Решение. Сделаем							замену						sinx t,								cosxdx dt.						Заметим, что
cos2 x 1 sin2 x. При								x 0			имеем t 0,											при		x получим t 1.
По формуле (6.4)																									2
По формуле (6.4)
						1							1										t7		t9		1
2						1							1										t7		t9		1			1	1	2
	cos3 x sin6 xdx					1 t2				t6dt					t6 t8						dt												.
	cos3 x sin6 xdx					1 t2				t6dt					t6 t8						dt				9					7	9	63	.
																							7		9					7	9	63
0						0							0														0
	Ответ:			2	.																						0
				2
			63
			63
74

			Пример 6.4. Вычислить																	64		1			dx.
																				64		1
																				1
																				1		x 3 x
	Решение.								Сделаем замену												x t6,			dt 6t5dt.			При		x 1		имеем
t 1, при x 64											имеем t 2. По формуле (6.4)
64	1									2	6t5dt							2 t3dt				выделим целую часть удроби
64	1									2	6t5dt							2 t3dt
								dx									6					путем деления числителя
		x			3	x		dx				3				2	6			2		путем деления числителя
1		x				x				1 t			t					1 t 1
																						на знаменатель
				2			2							1					t3			t2					2		4		2
																											2

		6				t		t 1										dt 6					t ln			t 1		6		ln		.
		6				t		t 1										dt 6					t ln			t 1		6		ln		.
													t 1							3		2							3
				1									t 1							3		2					1		3		3
	Ответ:								4	ln				2													1
									4					2
								6	3					3	.
									3					3
	Теорема. Если функции u u x ,																							v v x имеют непрерывные

производные на отрезке a,b , то справедлива формула интегриро-

вания по частям в определенном интеграле:

b			ba	b
u x v x dx u x v x				v x u x dx


a				a
или
b			b
udv uv	ba	vdu.			(6.5)
udv uv	ba	vdu.			(6.5)
a			a

ln3

Пример 6.5. Вычислить xexdx.

Решение. По формуле (6.5) u x, dv ex dx. Следовательно, du dx,v ex .

ln3		xexdx xex						ln3			ln3		exdx ln3 3 ex					ln3	3ln3 3			1 3ln3 2.
ln3								ln3			ln3							ln3
							0											0
	0						0			0								0
	0									0
	Ответ: 3ln3 2.

			Пример 6.6. Вычислить											4	x
														4	x
																dx.
															sin2 x	dx.
														6
	Решение. Применим формулу (6.5)
									u x					du dx

		4		x																4		4
		4		x																4		4
						dx							dx					x ctgx				ctgxdx
						dx							dx					x ctgx				ctgxdx
			sin2 x						dv					v ctgx
			sin2 x						dv			sin2 x		v ctgx						6
		6															2		ln 1			6

					3 ln			sinx			4				3 ln							3	ln 2.



	4			6									4	6			2		2		6		4
	4			6									4	6			2		2		6		4
											6
	Ответ:					3			ln				2.
					6				4

Пример 6.7. Вычислить lnx2dx.

Решение. По формуле (6.5)

2							2			1		2
lnx		2	dx			u lnx		du			2x dx	x	dx
lnx			dx							x2		x
1						dv dx		v x
						dv dx		v x
x lnx2	2		2	2	xdx 2ln4			2x	2	2ln4 4 1 2ln4 3.
	2		2	2					2
									1
	1		1 x

Ответ: 2ln4 3.

6.4.Приложения определенного интеграла

6.4.1.Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Исходя из определения определенного интеграла, площадь плоской фигуры, ограниченной кривой y f x , f x 0 и прямыми x a; x b; y 0, вычисляется по формуле (в соответствии с рис. 6.2):

b	f x dx.	(6.6)
S

Рис. 6.2

Если f x 0	при x a,b ,		b	x dx 0,
Если f x 0	при x a,b ,		то f	x dx 0,	значит площадь
			a	y f x ,	f x 0 и пря-
плоской фигуры,	ограниченной кривой			y f x ,	f x 0 и пря-
мыми x a; x b;	y 0, вычисляется по формуле (в соответствии
с рис. 6.3):
	S	b	f x dx	.	(6.7)
		b

		a
					77

Рис. 6.3

Пример 6.8. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривой y 4 x2 и прямой y 0.

Решение. y 4 x2 – график параболы; a 1 0 – ветви параболы направлены вниз; 0;4 – вершина параболы, y 0 – ось Ox.

Найдем точки пересечения y 4 x2 и y 0: 4 x2 0; x2 4, x 2. Следовательно, точки пересечения 2;0 ; 2;0 . Сделаем чертеж (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Значит,
2	4 x2		4x	1	x3	2		8	8	8	16	16	10	2	кв.ед.

S		dx		3			8	3		3		3		3
2						2

Ответ: 1023 кв. ед.

Пример 6.9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограни-

ченной кривой y cosx и прямыми x		; x	3	;	y 0.
	2		2				3
Решение. Построим график кривой	y	cosx на отрезке					3
Решение. Построим график кривой	y	cosx на отрезке				0;	2
							2

(рис. 6.5).

Рис. 6.5

3				3
Значит, 2 cosxdx sinx				3	sin3 sin
				2			2.
				2			2.
					2	2
		2			2	2
2		2
2
Следовательно, S	2		2		(кв. ед.)
Следовательно, S	2		2		(кв. ед.)
Ответ: 2 кв. ед.			пересекает отрезок a; b
Если кривая y f x			пересекает отрезок a; b					в точке c;0 ,

то в этом случае площадь плоской фигуры, ограниченной кривой

y f x	и прямыми x a;	x b;	y 0, вычисляется по формуле
(в соответствии с рис. 6.6):
	c	x dx		b	f x dx	.	(6.8)
	c			b
	S f
	a			c

Рис. 6.6

Если известно, что f x g x 0	при x a,b ,	то площадь
плоской фигуры, ограниченной кривыми	y f x , y g x и прямы-
ми x a; x b, вычисляется по формуле (в соответствии с рис. 6.7):
b
S f x g x dx.		(6.9)

Рис. 6.7

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf