Математика. Ч. 2_1

В этом случае интеграл рационализируется с помощью подстановки

где s –знаменатель рационального числа p.

3

t 6 t2 1 2 tdt 6 t2dt 2t3 C 2 1 3 x 2 C.

t2 1 2

рые постоянные, а квадратный трехчлен не имеет равных корней, так как иначе корень из этого квадратного трехчлена может быть заменен рациональным выражением.

IV.1. Рассмотрим сначала интеграл (M 0; N 1):

61

Преобразуем подкоренное выражение, выделив в нем полный квадрат:

Здесь возможны три случая (они определяются необходимостью существования квадратного трехчлена):

t x b2. Получим:

IV.2. Рассмотрим теперь интеграл I Mx N dx . ax2 bx c

Технически вычисление таких интегралов повторяет способ интегрирования простейших дробей третьего вида (п. 5.5; III).

Решение. Сначала мы получим в числителе дроби с помощью слагаемого x производную подкоренного выражения. Затем разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим поднесением под дифференциал, а второй преобразуем по пункту IV.1.

63

V. Интегралы вида

I R x, ax2 bx c dx,

где R – рациональная функция от x и ax2 bx c; a, b, c – некото-

рые константы, причем квадратный трехчлен не имеет равных корней, так как в противном случае корень из этого квадратного трехчлена может быть заменен рациональным выражением.

Интегралы данного вида рационализируются либо одной из трех подстановок Эйлера, либо с помощью тригонометрических подстановок.

Рассмотрим применение тригонометрических подстановок для вычисления рассматриваемых интегралов, то есть приведения их к интегралу вида

Преобразуя подкоренное выражение исходного интеграла, как и в случае IV.1, мы сведем рассматриваемый интеграл к одному из следующих трех видов (см. (5.14), (5.15), (5.16)):

1.

64

при этом подстановка, приводящая данный интеграл к (5.12) такова:

Решение. Выделим в квадратном трехчлене полный квадрат: x2 2x 5 x2 2x 1 1 5 x2 1 2 4.

Тогда

65

5.7 Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

I. Интегралы вида R sinx, cosx dx, где R – рациональная

функция от sin x и cosx. Подстановка

которая называется универсальной тригонометрической, сводит рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональной дроби, если использовать следующие соотношения:

66

Следовательно, получен интеграл от рациональной функции. Следует, однако, иметь ввиду, что хотя с принципиальной точки

зрения рассматриваемые интегралы всегда можно привести к интегралу от рациональной дроби указанным методом, при практическом применении он часто приводит к громоздким вычислениям. Тогда удобнее использовать более эффективные подстановки, которые мы рассмотрим в следующих пунктах. Тем не менее, некоторые интегралы быстро находятся с помощью универсальной подстановки.

Пример 5.22. Вычислить 1 2cosdx x.

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

1tg x 3

3 ln tg 2x 3 C. 2

67