Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Числа k1, k2, , kr называются кратностями действительных корней x1, x2, , xr соответственно многочлена Pn x .

Доказано, что всякую правильную рациональную дробь Qm x ,

Pn x

знаменатель которой разложен на множители по формуле (5.4), можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы дробей:

Pn x

x x1

x x

x 2

x k2

(5.5)

C x D

x2 p1x q1

x N

x Ns

x2 pt x qt

x2 pt x qt st

где A1, A2, , B1, B2 , C1, D1 , M1, N1 – некоторые действительные числа.

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию четырех типов простейших рациональных дробей:

	A				A			Mx N		Mx N
I)		;	II)			;	III)		; IV)		,
I)	x a	;	II)		x a k	;	III)	x2 px q	; IV)	x2 px q k	,
где A, a, M , N,				p, q – действительные числа;
k 2,		k	– натуральное число, квадратный трехчлен x2 px q
не имеет действительных корней ( p2 4q 0).
											51

Простейшие рациональные дроби интегрируются следующим образом:

dx A

d x a

Aln

x a

x a k 1

II)

dx A x a k d x a A

k 2.

a k

k 1

III)

Mx N

dx.

px q

Учтем,

что квадратный трехчлен

x2 px q не имеет действи-

тельных корней,

то есть p2 4q 0.

Тогда q

0. Выделив в

числителе производную квадратного трехчлена знаменателя, получим:

Mx N

2x p N

px q

2x p

dx N

x2 px q

d x2 px q

x2 px q

p 2

ln x2 px q

d x

M ln x2

px q

arctg

Mx N

IV) x2 px q k dx.

После выделения в числителе производной квадратного трехчлена знаменателя и выделения полного квадрата в этом трехчлене

интегрирование сводится к вычислению интеграла Ik

2 a2 k

по рекуррентной формуле:

2k 3 Ik 1

. (5.6)

k 1 a

k 1

Таким образом, для интегрирования правильной рациональной дроби необходимо:

1)разложить знаменатель дроби на линейные и квадратные множители в виде (5.4);

2)представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами (согласно (5.5));

3)найти эти коэффициенты;

4)проинтегрировать простейшие дроби.

Пример 5.15. Найти xx42dx1.

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель дроби на множители:

x4 1 x2 1 x2 1 x 1 x 1 x2 1 .

Тогда дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей:

x2	x2	A	B	Mx N
				x2 1 .
x4 1	x 1 x 1 x2 1	x 1	x 1

Приведем к общему знаменателю сумму трех простейших рациональных дробей:

x2	A x 1 x2 1 B x 1 x2 1 Mx N x2 1	.

x4 1	x 1 x 1 x2 1

Приравняем числители левой и правой частей записанного равенства:

x2 A x 1 x2 1 B x 1 x2 1 Mx N x2 1 , или

x2 A x3 x2 x 1 B x3 x2 x 1 M x3 x N x2 1 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа последнего равенства, имеем:

x3 : 0 A B

M ,

: 1 A B

: 0 A B M ,

: 0 A B N,

откуда A

1; B 1

;

M 0;

N 1.

Тогда:

. Окончательно интегрируем:

x4 1

x 1

x2 1

1ln

x 1

x4 1

x 1

x2 1

1arctgx C

1arctgx

1ln

x 1

Пример 5.16. Найти x4x5 2xx33 21x2 dx.

Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь:


	x5 x3 1	x 2		3x3 4x2	1	.
	x4 2x3 2x2			x4 2x3	2x2

Эту дробь	3x3 4x2 1		3x3 4x2 1		представим в виде
	x4 2x3 2x2		x2 x2 2x 2

суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

3x3 4x2 1	A B		Cx D
				.
x2 x4 2x3 2x2	x	x2	x2 2x 2

Приведя дроби к общему знаменателю и приравняв числители дробей в левой и правой частях записанного равенства, получим:

3x3 4x2 1 A x3 2x2 2x B x2 2x 2 Cx3 Dx2.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем:

						x3 :	3 A C,

						x2 : 4 2A B D,
						x1 : 0 2A 2B,
						x1 : 0 2A 2B,
						x0 :		1 2B,
						x0 :		1 2B,
откуда	A	1	;	B	1	; C	5	; D 7.
		2			2		2	2

В итоге получаем:
				5			3																	1						1		5			x	7
		x		5	x		3		1																					2		2			x	2
		x			x				1				dx x 2 dx												2					2		2				2		dx
	x4 2x3 2x2												dx x 2 dx																x2		x	2 2x 2						dx
	x4 2x3 2x2																							x					x2		x	2 2x 2

								x		2					1						1		1	5			2x 2 1
																								4
																								4
									2			2x			2ln			x		2			x			x2 2x 2								dx
									2						2ln			x		2			x			x2 2x 2								dx
			x2								1					1					5		2x 2												dx
						2x							ln	x																dx
				2		2x					2		ln	x			2x				4		x2 2x					2		dx			x 1 2
		x2																																			1
																																					1
				2x					1ln				x		1				5ln			x2 2x 2							arctg x 1 C.



	2								2						2x				4
	2								2						2x				4

5.6.Интегрирование простейших иррациональностей, дифференциального бинома (интегрирование некоторых иррациональных функций)

Определение. Будем называть иррациональной функцию, которая получена из рациональной дроби заменой некоторых слагаемых в числителе или знаменателе корнями от рациональных дробей (в том числе от многочленов).

Это определение иррациональной функции не совсем строгое, но для наших целей оно подходит. Например, иррациональная


функция f x	x 3 x2 1 2		является в то же время рациональ-

	x	x2 1
ной функцией от x и радикалов			x; 3 x2 1;	x2 1:
	f x R x;		x; 3 x2 1;	x2 1 .

Определение. Будем говорить, что интеграл от рассматриваемого выражения рационализируется данной подстановкой, если с по-

мощью этой подстановки исходный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби.

Рассмотрим некоторые типичные интегралы от иррациональ-

ных функций, которые сводятся к интегралам от рациональных функций.

I. Интегралы вида

, x

, , x

R x,

dx,

где R – рациональная функция;

ri , si – целые положительные числа, i

1,l

Пусть k – общий знаменатель дробей

, ,

то есть

k НОК s1, s2, , sl .

Сделаем подстановку

x tk

(5.7)

откуда

dx k tk 1dt.

(5.8)

Тогда каждая дробная степень x и dx выразятся через целую степень переменной t. Следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t:

R* t R tk ,t p1, ,t pl k tk 1,

и мы приходим к вычислению интеграла R* t dt, от рациональ-

ной дроби.

Для того, чтобы найти выражение для исходного интеграла, надо после вычисления интеграла R* t dt, сделав обратную замену

переменной t k x xk , вернуться к первоначальной переменной x. 57

В дальнейшем в аналогичных ситуациях мы не будем каждый раз оговаривать необходимость обратного перехода к исходной переменной x.

Пример 5.17. Вычислить

3 x2

dx.

1 3 x

Решение. Применим формулы (5.7, 5.8):

3 x2

k НОК 3,6 6;

x x3

x 1 3 x

x t6;

dx 6t5dt

x 1 x3

t6 t4 t

6t5dt 6

t6 t5 t3 1

dt 6

t5 t3 1

t6 1 t2

t2 1

t5 t3 1

t2 1

arctgt C

t 6

3 x32

6arctg6

x C

3 3

x2 6arctg6

x C.

II. Интегралы вида

ax b

;

R x,

dx,

cx d

где R – рациональная функция;

ri , si – целые положительные числа, i 1,l.

В частности, при b 0; a 1; c 0; d 1 получаем случай I. Этот

интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки:

tk ax b , где	k НОК s		, , s	(5.9)
cx d		1	l
cx d
Отсюда получаем:
x	dtk b	.		(5.10)
x	a ctk	.		(5.10)
	a ctk

Следовательно, x является рациональной функцией переменной t, поэтому и x t также будет рациональной функцией от t. Подстав-

ляя (5.9), (5.10) и dx, найденный из формулы (5.10), в подынтегральное выражение рассматриваемого интеграла II, получим инте-

грал вида

t dt,

где

– рациональная функция переменной t.

Пример 5.18. Вычислить

2x 3

dx.

2x 3 1

Решение. Применим формулы (5.9, 5.10):

k НОК 2;3 6

2x 3 1/2

t6 2x 3

3t5dt

t6 3

1/3

2x 3

x 2

dx 3t5dt

t2 1

t8 t6

t6 t4 t2 1

t6 t4

3 t

t2 1

t4 t2

t2 1

3			7	t	5	t	3		C	3	7	3	5	1
3	t			t		t		t arctgt	C	3	2x 1 6	3	2x 1 6	2x 1 2
		7		5		3				7		5
		7		5		3				7		5

3 2x 1 6 3arctg4 2x 1 C.

III. Интегралы от дифференциальных биномов, то есть

xm a bxn p dx,

где a 0;b 0;m, n, p – некоторые рациональные числа; a и b – действительные числа.

Определение. Выражение вида xm a bxn p a 0;b 0 назы-

вается дифференциальным биномом. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби только в трех случаях:

Первый случай: p – целое число. Данный дифференциальный бином представляет собой иррациональность вида R x, k x , где

k – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n (общий знаменатель), (см. вид I). Подстановка, рационализирующая интеграл, в этом случае имеет вид:

tk x,

(5.11)

где k – общий знаменатель рациональных чисел m и n. Второй случай: пусть mn 1 − целое число. Рационализирующая подстановка имеет вид:

ts a bxn ,

(5.12)

где s –знаменатель рационального числа p.

Третий случай: пусть	m 1	p − целое число.
	n

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf