Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

5. eudu eu C;

6. sinudu cosu C;

7. cosudu sinu C;

8. tgudu ln|cosu | C;

9. ctgudu ln|sinu | C;

10.

tgu

sinu

11.

12.

ctgu C;

cosu

sin2 u

13.

tgu C;

14.

1arctgu C;

cos2 u

a2 u2

15.

arcsin u

16.

a u

a2 u2

a u

17.

u u2 a2

u2 a2

В приведенной таблице буква u может обозначать как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую функцию

u x аргумента x.

Интегралы в приведенной таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения основных правил интегрирования сводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется

непосредственным интегрированием.

Пример 5.1. Использование алгебраических преобразований и таблицы интегралов (пункты 1, 6) позволяет вычислить интеграл

	(3x 7		x5 2sinx 3)dx 3							5
	(3x 7		x5 2sinx 3)dx 3		xdx				x7dx			2	sinxdx 3	dx

		x2	12								12
3		x2	x 7	2cosx 3x C		3		2		7	12	2cosx 3x C.
							x				x 7
		2	12			2	x			12	x 7
		2	12			2				12
			7

Пример 5.2. Найдем

пункты 4, 5, 7 таблицы интегралов

32x ex cos2x dx

и пункты 2, 4 правил интегрирования

cos2xdx

sin2x C.

ln9

Пример 5.3. Найдем

tg2 udu

вспомним, что 1 tg2 u

cos

1du

пункты 1, 13 таблицы

u tgu C.

cos2 u

Пример 5.4. Вычислить

x4 x2

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

1 x2 x2

x2 x2 1

x4 x2

x2 x2 1

1 x2

x2 x2 1

x2 1

Тогда

применим пункты 2, 16 таблицы

1 x

x 2 1

1 x

2 1

1 x

1ln

1 x

	Пример 5.5. Вычислить																		1
																			1
												x			x							dx.
												x			x		x2 7					dx.
Решение																	x2 7
Решение
			1			1											3					1
	1					1																1
	x		x2								dx					x	2								dx
	x		x2		2			7	2		dx					x	2				2		7	2	dx
				x	2															x	2
				x																x
															3 1				1
		пункт. 2, 14 таблицы													x2							arctg	x		C
															x2								x
															3 1				7				7
															3 1				7				7
					2					1				2		x
					2	x	5			1			arctg			x		C.
					5	x					7		arctg			7		C.
					5						7					7

5.3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле

При вычислении неопределенных интегралов во многих случаях полезно введение новой переменной интегрирования, что позволяет свести нахождение данного интеграла к табличному. Метод замены переменной (метод подстановки) основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть на интервале a,b определена сложная функция f x , а функция t x непрерывна на этом интервале

и имеет производную во всех его внутренних точках и известно, что f t dt G t C. Тогда справедлива формула

f x x dx f t dt t x G x C.

Пример 5.6. Вычислить 2x x2 3dx.

Решение. Обозначим x2 3 u, тогда 2xdx du. Запись вычислений можно осуществлять так:

2x x		2	u x2		3,	1	2	2
2x x			3dx			u 2du	3	u 3 C
			du 2xdx				3
	возвращаемся к исходной переменной
	возвращаемся к исходной переменной
2			3	2	x2	3 3 C.
2			x2 3 2 C	2	x2	3 3 C.
3				3

В отдельных случаях вместо введения новой переменной приме-

няется метод подведения (поднесения) функции под знак диффе-

ренциала, который основан на следующих соотношениях:

xdx

1d x2

;

x2dx

1d x3

;

1dx dlnx;

dx 2d

x ;

sinxdx d cosx ;

dx d tgx

и т. д.

cos2 x

Подстановку и поднесение под знак дифференциала можно проводить одновременно.

Пример 5.7. Вычислить sin 5x 2 dx. Решение. Сделаем преобразования:

sin 5x 2 dx sin 5x		2 dx	1d 5x 2	1	sinudu
			5	5
	u		u
	1cosu C	1cos 5x 2 C.
	5	5


	Пример 5.8. Найти			dx		.
				dx
			100x2		1
Решение. Заметим, что:
		dx				dx
	100x2				10x 2
	100x2			1	10x 2		1

	делаем поднесение								10x												1					d 10x
																					1
	под знак дифференциала: dx														1	d 10x
															1								10						2
																							10						2	1

													10													10x
													10
		таблица интегралов:									1			du					1	ln		u u2 1						C
		таблица интегралов:

					10x;
		u								10				u2 1					10
		u								10				u2 1					10
			1			ln10x		10x 2	1	C				1	ln10x					100x2				1			C.
			1											1
		10											10
									3	4 5lnx
									3	4 5lnx
		Пример 5.9. Найти													dx.
		Пример 5.9. Найти									x				dx.
Решение. Применим несложные преобразования:
								заметим, что
																					1d 4			5lnx
	3 4				5lnx			dx d lnx 1d 5lnx													1d 4			5lnx
							dx x						5								5
						x	dx x						5								5
						x		поднесение под знак дифференциала;
									4 5lnx;
								u	4 5lnx;

				1				1
				1		4 5lnx 3 d 4 5lnx таблица интегрирования
				5							1 1
						1					1 1													4
				1				1 4 5lnx 3									3							4
				1		u3du						C					3	4 5lnx 3							C.
				5		u3du						C						4 5lnx 3							C.
				5				5	1 1						20
									3

5.4. Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле:

udv uv vdu,

(5.1)

где u u x ,v v x – непрерывно дифференцируемые функции.

Формула (5.1) называется формулой интегрирования по частям.

Она используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение f x dx можно представить в виде udv так, что интеграл в правой

части равенства (5.1) vdu будет проще исходного интеграла. При

этом к u следует отнести множители, которые упрощаются при дифференцировании. Иногда формулу (5.1) приходится использовать несколько раз.

Рассмотрим основные классы функций, интегрируемых по частям.

x e xdx,

x a xdx,

x sin xdx,

x cos xdx,

где Pn x – многочлен степени n, R. Следует принять u Pn x ,

аза dv обозначить остальные сомножители.

2.Pn x arcsin xdx, Pn x arccos xdx, Pn x ln xdx,

Pn x arctg xdx, Pn x arcctg xdx.

Вэтом случае через u обозначают обратные тригонометрические или логарифмические функции.

3. e x sin xdx,

e x cos xdx,

a x sin xdx,

a x cos xdx

и другие (здесь , R ). Это, так называемые, циклические интегралы. За u можно принять функцию e x a x или тригонометри-

ческую функцию. В этом случае после двукратного применения формулы интегрирования по частям приходим к выражению, содержащему исходный интеграл, то есть получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного.

Пример 5.10. Найти x 1 e2xdx.

Решение. Применим формулу (5.1):

x 1 e2xdx			u x 1;		dv e2xdx;			x 1 1e2x
			u x 1;		dv e2xdx;
			du dx;		v e2xdx	1e2x
			du dx;		v e2xdx	1e2x			2
						2
1e2xdx	1e2x	x 1		1	e2xdx 1e2x x		1		1e2x C.
2	2			2	2				4

Пример 5.11. Найти

ln2 x

x dx.

Решение. По формуле (5.1):

ln2 x

u ln2 x;

;

du 2lnx

dx;

2 x

ln2 x 2

x 2

x 2lnx

1dx 2

x ln2 x

4 lnx dx

u lnx;

;

(ещераз применим 5.1)

x ln2 x

du 1dx;

v 2 x

2 x ln2

lnx 2

x 4

x lnx

2 x ln2 x 8

x lnx 16

x C.

Пример 5.12. Найти e3x sinxdx.

Решение. Интегрируем по (5.1):

e3x sinxdx	u e3x ;	dv sinxdx;

	du 3e3x ;	v sinxdx cosx

e3x cosx cosx 3e3xdx e3x cosx 3 e3x cosxdx

u e3x ;	dv cosxdx;
(ещеразприменяем (5.1)) du 3e3x ;	v cosxdx sinx

e3x cosx 3 e3x sinx sinx 3e3xdx

e3x cosx 3e3x sinx 9 e3x sinxdx C.

Получаем уравнение относительно искомого интеграла:

e3x sinxdx e3x cosx 3e3x sinx 9 e3x sinxdx C.

Из уравнения получаем: 10 e3x sinxdx 3e3x sin x e3x cosx C.

Тогда e3x sinxdx														e3x 3sin x cosx																C.
Тогда e3x sinxdx																						10								C.
																						10
				Пример 5.13. Найти x arctg2xdx.
				Пример 5.13. Найти x arctg2xdx.
Решение. Интегрируем по частям:
								x arctg2xdx								u arctg2x;															dv xdx;						x2
																u arctg2x;															dv xdx;
																du						1					2dx; v xdx
																du					1			4x2			2dx; v xdx										2
																					1			4x2													2
											x2						x2					2dx						x2								x2dx
							arctg2x																							arctg2x
							arctg2x					2				2				1		4x2					2			arctg2x					1 4x2
												2				2				1		4x2					2								1 4x2
							x2	arctg2x				1			4x2dx								x2		arctg2x							1		4x2		1		1		dx
								arctg2x				4		1 4x2											arctg2x							4		1 4x2						dx
						2						4		1 4x2										2								4		1 4x2						d 2x
	x2				arctg2x 1					dx				1					dx							x2		arctg2x						1 x		1	1			d 2x
					arctg2x 1					dx					4			1	4x2									arctg2x						1 x		4	1		1 4x2
		2						4							4			1	4x2						2									4		4	2		1 4x2
			x2						1				1															x2				1						1
						arctg2x					x				arctg2x C																		arctg2x						x C.
						arctg2x					x				arctg2x C																		arctg2x						x C.
		2							4				8																2			8						4
		2							4				8																2			8						4

5.5. Интегрирование рациональных дробей

Определение. Рациональной функцией (или рациональной дро-

бью) называется функция, равная отношению двух многочленов:

R x

b xm b xm 1

(5.2)

Pn x

xn a xn 1

где m, n – целые положительные числа;

ai , bj R, i 0,n, j 0,m, a0 0, b0 0.

Если m n, то R x называется правильной дробью, если m n –

неправильной дробью.	Qm x
Всякая неправильная рациональная дробь		путем деления
	Pn x

числителя на знаменатель может быть представлена в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби:

Qm x	K		x	M l x	,	(5.3)
Pn x	K	m n	x	Pn x	,	(5.3)
Pn x				Pn x

где Km n x , Ml x – многочлены степеней m n, l соответственно;

Ml x – правильная рациональная дробь, l n.

Pn x

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей.

Выделение целой части неправильной рациональной дроби

Qm x производится делением числителя на знаменатель «уголком».

Pn x

x3 1 x2 2

Пример 5.14. Выделить целую часть дроби x2 x 6 .

Решение. Представим числитель в виде:

x3 1 x2 2 x5 2x3 x2 2.

Получим:

2x3 x2 2

– неправильная рациональная дробь

x2 x 6

(m 5 n 2 ).

Разделим числитель на знаменатель «уголком»:

2x3 x2 2

x 6

x3 x2 7x

x5 x4 6x3

x4 8x3 x2 2

x3 6x2

7x3 5x2 2

7x3 7x2 42x

12x2 42x 2

12x2

12x 72

30x 70.

Получаем целую часть от деления x3 x2

7x 12 и остаток

30x 70.

x5 2x3 x2 2

Таким образом,

30x 70

x x

x2 x 6

Рассмотрим интегрирование правильных рациональных дробей.

Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с дей-

ствительными коэффициентами, то есть многочлен	Pn x можно
представить в виде
Pn x a0 x x1 k1 x x2 k2 x xr kr x2 p1x q1 s1
x2 pt x qt st .	(5.4)
x2 pt x qt st .
При этом k1 k2 kr 2 s1 s2 st n	и все квадрат-
ные трехчлены не имеют действительных корней.
50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf