Математика. Ч. 2_1

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение функции z и ее полный дифференциал dz связаны равенством z dz , где – бесконечно малая более высокого

порядка малости по сравнению с x2 y2 . При достаточно малых приращениях аргументов можно величиной пренебречь и

Этой формулой можно пользоваться для приближенного вычисления значения f x x,y y по известным значениям функции

Его значение в точке P 1;2 при данных приращениях

22

12 2 12 1 0,04 12 ln1 0,03 1 2 1 0,04 1 0 0,03

1 0,08 0 1,08.

Ответ: 1,04 2,03 1,08.

Пример 4.10. Высота конуса H 10см, радиус основания H 10см. Как изменится объем конуса при увеличении высоты

на 2 мм и уменьшении радиуса основания на 2 мм?

Решение. При данном условии объем конуса надо рассматривать как функцию двух переменных R и H. Объем конуса V 13 R2H. Изменение объема приближенно заменим его дифференциалом

V dV VR R HV H 23 RH R 13 R2 H13 2RH R R2 H .

Подставив значения (в см) R 5, H 10, R 0,2, H 0,2, получим

V 13 2 5 10 0,2 25 0,2 5 15,7.

Таким образом, объем конуса уменьшится примерно на 15,7 см3.

Ответ: V 15,7 см3.

23

4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть функция z f (x,y) дифференцируема в точке (x0,y0) некоторой области D R2. Геометрическим образом функции двух независимых переменных z f x, y в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем на ней точку M0 x0,y0,z0 .

Определение. Касательной плоскостью к поверхности Q в дан-

ной точке M0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Уравнение касательной плоскости в точке M0 x0,y0,z0 к поверхности Q, заданной явной функцией z f x, y , имеет вид

z z0 fx x0, y0 x x0 f y x0, y0 y y0 .

Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности

Точка, в которой Fx Fy Fz 0 или хотя бы одна из этих про-

изводных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости.

Определение. Нормалью к поверхности Q в данной точке

M0 x0,y0,z0 называется прямая, проходящая через эту точку пер-

пендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

24

Уравнение нормали к поверхности Q, заданной явной функцией

Если поверхность Q задана неявной функцией F x, y,z 0, то уравнение (4.10) принимает вид

Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, то есть не особых точек поверхности.

Пример 4.11. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z 5 x2 y2 в точке M0 1;1; 3 .

Решение. Уравнение поверхности задано явной функцией. Уравнение касательной плоскости находим по формуле (4.8). Для

этого вычислим частные производные функции в точке M0:

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид: z 3 2 x 1 2 y 1 2x 2y z 7 0.

Уравнение нормали находим по формуле (4.10):

Пример 4.12. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 2y2 3z2 5 в точке M0 0;1;1 .

Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Уравнение касательной плоскости находим по формуле (4.9). Вычислим частные

производные функции в точке M0 0;1;1 :

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид

4 y 1 6 z 1 0 2y 3z 5 0.

Уравнения нормали находим по формуле (4.11):

Так как проекция направляющего вектора n 0;2;3 нормали на ось Ox равна нулю, то нормаль перпендикулярна к оси Ox, а касательная плоскость параллельна этой оси.

4.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция z f x, y имеет непрерывные частные произ-

водные fx x, y , f y x, y в точке P x;y D. Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных x и y. Будем называть fx x, y и f y x,y частными производными первого по-

рядка. Частные производные по x и y от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными произ-

водными второго порядка от функции z f x, y в точке P x;y

и обозначаются

26

вательно два раза по y).

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по x, так и по y. В результате получим восемь частных произ-

Таким образом, частная производная от производной n 1 -го порядка называется частной производной n-го порядка и обознача-

Частные производные высших порядков функции z, взятые по

называются смешанными производными.

Среди частных производных второго порядка функции z f x, y

зано ранее, называют дифференциалом первого порядка функции z f x, y .

Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке P x, y D, если он существует, называется дифференциалом

второго порядка и обозначается d2z d dz . Найдем аналитическое выражение для d2z, считая dx и dy постоянными:

d2z d fx x, y dx f y x, y dyd fx x, y dx d f y x, y dy dy

29

Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для

дифференциала третьего порядка d3z :

вают в виде следующих формул:

dz x dx y dy z, d2z x dx y dy 2 z, d3z x dx y dy 3 z.

вается формально по биномиальному закону.

Полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z f (x,y) являются независимыми.

Пример 4.15. Найти полный дифференциал второго порядка функции z x3 y3 x2 y2.

Решение. Найдем частные производные:

Следовательно, d2z (6x 2y2) x2 8xydxdy (6y 2x2) y2.

30