Математика. Ч. 2_1

3. ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» НА II СЕМЕСТР

Интегральное исчисление функции одной переменной

Комплексные числа и действия с ними. Модуль и аргумент; алгебраическая, показательная и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение рациональной дроби в сумму простейших дробей. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов, замена переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, тригонометрических выражений и простейших иррациональностей.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Вычисление площади плоской фигуры, длины кривой, объемов тел вращения и с известной площадью поперечного сечения.

Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных (ФНП). Область определения, предел, непрерывность ФНП. Частные производные и дифференцируемость ФНП; полный дифференциал. Производные от сложной и неявной ФНП. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум ФНП. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значение ФНП в замкнутой области.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ первого порядка; постановка задачи Коши; теорема существования

11

и единственности решения задачи Коши. Решение ДУ первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, Бернулли, в полных дифференциалах.

ДУ высших порядков; задача Коши. ДУ, допускающие понижение порядка. Линейные ДУ высших порядков. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные однородные и неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами; со специальной правой частью. Нормальные системы ДУ; задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Методы решения систем ДУ.

4.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1.Функции нескольких переменных. Определение. Предел

Определение. Переменная величина z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре значений x,y из данной об-

ласти D соответствует определенное значение z. Переменные x, y

называются независимыми переменными, или аргументами. Область D называется областью определения функции. Обозначе-

ние функции двух переменных: z f x,y или z z x,y .

Частным значением функции z f x,y называется ее значе-

ние, соответствующее какой-либо определенной паре значений аргументов. Если, например, при x a и y b функция принимает

частное значение c, то пишут c f a,b . Каждая пара значений аргументов x,y геометрически определяет точку P x,y на плоскости xOy, а значение функции в этой точке есть аппликата z пространственной точки M x,y,z . Геометрическое место всех то-

чек M есть поверхность, взаимно однозначно проектирующаяся в область D на плоскости xOy (рис. 4.1). Эта поверхность служит гео-

метрическим изображением функции f x,y .

12

Рис. 4.1

Определение. Переменная величина u называется функцией n независимых переменных x1, x2, , xn , если каждой системе значе-

ний x1, x2, , xn этих переменных из данной области их измене-

ния соответствует единственное значение величины u. Обозначение: u f x1, x2, , xn или u u x1, x2, , xn . В случае функции трех переменных пишут u f x,y,z ; каждая система x,y,z

чающее этой точке. Область определения функции трех переменных представляет собой некоторую пространственную область, под которой понимается часть пространства, ограниченная одной или несколькими поверхностями.

лым, значение функции z в точке P будет отличаться от числа A меньше, чем на , где может быть выбрано сколь угодно малым.

Решение. Данный предел находится при условии P x,y 0,2 .

Ответ: 12.

14

y z y f (x0,y0) f (x0,y0 y) f (x0,y0).

Полным приращением функции z f (x,y) в точке P0(x0,y0)

называют приращение z, вызываемое одновременным приращением обеих независимых переменных х и у:

z f (x0,y0) f (x0 x,y0 y) f (x0,y0).

15

Частные производные функции z f x,y определяются следующим образом:

то есть частная производная функции z f x,y по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении y.

положении, что x является постоянным. Обозначаются частные производные одним из символов:

xz , fx , zx , fx , fx x,y ;

yz , fy , zy , f y , fy x,y .

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными. Например,

производная функции u f x,y,z по x определяется формулой

Частные производные функции z f x,y сами представляют

собой некоторые функции переменных x и y. Поэтому, если нас интересуют значения частных производных в какой-либо точке

затем подставить в полученные функции координаты точки P0. 16

формулу дифференцирования сложной функции (eu ) eu u :

17

Пример 4.5. Найти частную производную по переменной z от функции трех переменных u arctg xyz .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, считая x и y постоянными, получим

влетворяет уравнению x xz y yz 2. 18

Решение. Находим частные производные:

полученное тождество показывает, что функция удовлетворяет данному уравнению.

4.3. Полный дифференциал функции двух переменных

z f P1 f P f x x,y y f x,y .

Если приращение z можно представить в виде z A xB y , где – бесконечно малая более высокого порядка по срав-

нению с расстоянием x2 y2 между точками P и P1 (то есть

0 при 0), то функция z называется дифференцируемой

в точке P, а главная линейная часть ее приращения dz A x B y

называется полным дифференциалом функции z f x,y в точке P.

19