Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Тема 19. Системы дифференциальных уравнений

1. Решить следующие системы:

а)	x x 2y,
а)
	y 3x 4y;
в)	x	y,
в)
	y x;
д)	x 4x 3y,			x(0)		2, y(0) 0;
д)			4y;	x(0)		2, y(0) 0;
	y 3x		4y;
ж)	x	4x 8y,			x(0) 1, y(0)		2;
ж)			4y;		x(0) 1, y(0)		2;
	y 8x		4y;
и)	x 4x		y,
и)
	y x 4y;

б)	x 2x y,
б)
	y 3x 2y;
г)	x	x y,
г)		x y;
	y	x y;
		5x	3y 2e	3t	,
е)	x	5x	3y 2e		,
е)		x	y;
	y	x	y;

з)	x y,
з)
	y x 3t ;
к)	x	y cost,
к)
	y x.

Ответы к теме 19.

1. а) x C et C		e2t ,	y C et	3C		e2t ;
1	2		1	2	2

б)

x C et

C e t ,

y 3C et C e t

;

в)

x C1 cost C2 sint,

y C1sint C2 cost ;

г)

x C et

cost C

et sint,

y C et sint C et

cost ;

д) x et e7t ,

y et e7t ;

е) x C e2t C

e4t

4e3t , y C

e2t

e4t 2e3t ;

1 12t

12t

ж) x 2e

, y

;

з)

x C et

C e t 3t,

y C et C e t 3;

и)

x C e3t C e5t

y C e3t C e5t ;

к)

x C cost C

sint 1 t cost,

1 cost .

y C1 sint C2

cost

t sint

181

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Задание 1. Найти неопределенные интегралы:

а)

sin

dx;

б)

4 8x

dx;

в)

x ln

dx.

sin3x ecos3x dx;

а)

x e

dx;

б)

в)

x3 8

а)

sin2x dx;

б) x9x dx;

в)

2x 1

dx.

3x 1

cos3 x

а)

cos

x dx;

б)

2x 7

dx;

в) arcsin2x dx.

x2 2x 3

а)

arctg

dx;

б)

cos

dx;

в)

x4 16

6. а)

tgx dx;

б) x e

dx;

в)

7.а) x2 ex3 dx;

8.а) arccos3x dx; 1 9x2

9.а) lnxx dx;

10.а) x2 d6xx 1; 1 а) xdlnxx;

б) 5x 32x dx;
б)	x sin			x dx;
					2
б)		x	2		dx;
б)		2	x		dx;
		x	x
б)			x2dx			;
б)		cos2(4 x3)				;
		cos2(4 x3)

б) arctg2x dx;

12. а)		ex dx	;	б)		lnx	dx;
		e2x 4				x3

13. а)	x2 cos(x3 6)dx;			б)	x 3x dx;

182

в)		x lnx dx.
в)		dx					.
в)		(x 3)(x			5)		.
		(x 3)(x			5)
в)		cos3 2x dx		.
в)		3 sin2 2x		.
		3 sin2 2x
в)		3x 2	dx.
в)		x2(x 4)	dx.
		x2(x 4)
в)		x dx				.
в)		x2 4x 13				.
		x2 4x 13
в)	sin2 x cos2 xdx.
в)	cos5x sin3xdx.

		x
14. а)	e	2	dx	;
14. а)	16		ex	;
	16		ex

15. а) cos(sinx) cosxdx;

16. а) x3dln3xx;

17. а) sin3 x dx;

3 x2

5x3

18.а) (x4 4)6 dx;

19.а) arctgxdx(x2 1);

20.а) x arcsinx dx; 1 x2

2 а) esin2 x sin2x dx;
22. а)	sinx		)dx;

	3 cos2 x
23. а)		dx		;
	1 x2	arccos2 x

24.а) (1 x)dx; 1 x2

25.а) x(1 x42)dx; 1 x

26.а) x dx x ;

б)	arcsin	x	dx;

	2
б)	x2 ex dx;
б) x cos4x dx;
б)	(x2 1)lnx dx;
б) arccosx dx;
б)	lnx dx;
	4 x
б)	x3 lnx dx;
б)	lg2x dx;
	x
б) x2 e x dx;
б)	x arctgx dx;
б) arcctgx dx;
б)	x2 sinx dx;

б) x cos 3x dx;

в)		x 2	dx.
в)	x2 4x 5		dx.
	x2 4x 5
в)		x dx		.
в)				.
	3	2x x2

в) sin3x cos2xdx.

в)		2x dx	.
	x2 2x 5

в)		2x 1		dx.
	x	2
		4x 5

в) sin2 x cos3 xdx.

в)	cos4 x sin3 xdx.
в)			x 4		dx.
в)		x2 7x 10			dx.
		x2 7x 10
в)			2 x		dx.
в)		x x2 2,5			dx.
		x x2 2,5
в)			dx			.
в)		8 6x 9x2				.
		8 6x 9x2
в)	sin3 x cos3 xdx.
в)			xdx				.
в)		(x	1)(2x		3)		.
		(x	1)(2x		3)
в)			dx	.
в)		x(x2 7)		.
		x(x2 7)

183

27.

а)

;

б) 7x162 dx;

2x2

28.

а) ctg3x dx;

б)

3x 7

dx;

3 4x 5

29.

а) cos

x dx;

б) sin(cosx)sinxdx;

30.

а) sin4x sin

dx;

б)

;

x3 64

в)

cosx dx. 5 sin2 x

sin2x(53 dxx4).

x 52 dx.

x3dx5x.

Задание 2. Приложения определенного интеграла. В номерах 1– 10 вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

1.y sinx, x ; , y 0.

2 2

2.y cosx, x 0; , y 0.

3.y 4x x2,y 0.

4.y 6x x2,y 5.

5.y ex , y e x , y 1.

6.y ex , y e 2x , y e.

7.	x 2cost,	t 0;2 .
7.		t 0;2 .
	y 3sint;
8.	x 1 cost,	t 0;2 .
8.		t 0;2 .
	y 2sint;
9.	2sin ..

10. 2(1 cos ).

В номерах 11–16 найти длину дуги кривой.

11.y lncosx, x ; .

4 3

184

12.y lnsinx, x ; .

4 2

x cos3 t,

13.y sin3 t; t 0;2 .

14.x t2,t 1;2 .

y t3;

15.1 sin , ; .

2 2

16.1 cos , 0; .

В номерах 17–23 найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

17.y sinx, y 0, x 0; .

18.y 2cosx, y 0, x ; .

2 2

19.y x2 4,y 0.

20.y 6x x2,y 0.

21.y 1x , x 1, x 2, y 1.

22.y 2x , x 1, x 4, y 0.

23.y e 2x , y 0, x 1, x 0.

В номерах 24–30 найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу, фигуры, ограниченной линиями:

24.x 4 y2, x 0.

25.x 1y , x 0, x 1, y 2.

26.x 2y y2, x 0.

27.x 2y , y 1, y 2, x 2.

185

28.x 1y , y 1, y 2, x 1.

29.x 9 y2, x 0.

30.x 7 y2, x 2.

Задание 3. Найти полный дифференциал первого порядка ука-

занных функций:
1.	z (x2 xy y3)4.						2.	z x2y3 sin(xy).
3.	z xy tg			x	.		4.	z x2y2 exy .

				y
5.	z ex y sin(xy).						6. z xy ln(x2 y2).
7.	z (x3 2y2					x2y2)5.	8.	z (x2 y2)tg(x3y2).
9.	z xy ctg(x2 y).						10.		z (x2 y3)exy .
11.		z ln(x2 ey ).					12.		z arctg(x2 y3).
13.		z arcsin				xy.	14.		z tg(x4 y3).
15.		z ex2 xy y2 .					16.		z ln(4x3 y5).
17.		z tg	x2	.			18.		z cos2(x y).

			y

19.	z xy ex2 y2 .
21.	z (x3 y2 x2y2)5.
23.	z (x y)ex2y3 .
25.	z xy2 ln(x2 y2).
27.	z xy sin2(x2 y2).
29.	z x2y3 arcsin(xy).

20.	z sin3(x2 y2).
22.	z xy sin(x2y3).
24.	z (x4 y2)ctg(xy).
26.	z exy sin(xy).
28.	z (x y)2 exy .
30.	z x y y x.

Задание 4. Исследовать на экстремум следующие функции: 1. z 2x3 6xy2 60x 36y.

186

2.z 2x3 2y3 6xy.

3.z x3 8y3 6xy 5.

4.z x3 3xy2 51x 24y.

5.z 2x3 6xy2 156x 60y.

6.z 3xy x3 y3.

7.z 2x3 6xy2 222x 72y.

8.z x3 y2 6xy 39x 18y 10.

9.z 3x3 3y3 9xy 10.

10.z x3 8y3 6xy 10.

11.z 2x3 6xy2 300x 84y.

12.z 2x3 6xy2 78x 72y.

13.z 6xy x2y xy2 10.

14.z 2x3 6xy2 174x 120y 20.

15.z 2x3 xy2 5x2 y2 1.

16.z 2x3 6xy2 60x 36y.

17.z 6xy 2x3 2y3.

18.z 6xy x3 8y3.

19.z x3 3xy2 51x 24y.

20.z 2x3 6xy2 156x 60y.

21.z x3 y3 3xy.

22.z 2x3 6xy2 222x 72y.

23.z 6xy 39x 18y 10 x3 y2.

24.z 9xy 10 3x3 3y3.

25.z 6xy 10 x3 8y3.

26.z 300x 84y 2x3 6xy2.

187

27.z 78x 72y 2x3 6xy2.

28.z x2y xy2 6xy 10.

29.z 174x 120y 2x3 6xy2 20.

30.z xy2 2x3 5x2 y2 1.

Задание 5. Найти общее решение (общий интеграл, где нужно) дифференциальных уравнений первого порядка.

1.y x21 1.

2.(x y)dx (x y)dy 0.

3.y 2xy x e x .

4.(xy 1)dx 1 x2 2 dy 0.

5. (y yx)dx y dy 0.

6. (2x y)dy (x 3y)dx 0. 7. y ctgx y cos1 x .

8. (cosx 2xy)dx (x2 sin y)dy 0.

9. y sin y sinx . cos y

10.2xy dx (x2 y2)dy 0.

11.y xy xy2.

12.(y e x )dx (x 2y)dy 0.

13.y dx (x yx)dy 0.

14.(2x 5y)dy (x 4y)dx 0.

15.y 2y ex x.

16.y x42 dx x y52 dy 0.

188

17. ex sin y dx cos y dy 0.

18. (y 2x)dx (3y 5x)dy 0. 19. 2xyy y2 x2 2x.

20. (3x 4yx 1)dx (2x2 3y 2)dy 0. 21. y x tg y.

22. (2x 4y)dx (4x y)dy 0.

23. y 2xy x3y2.

24. (ey cosx)dx (x ey sin y)dy 0.

25. 1 y2 xdx x2 dy 0.

26. (x 4y 3)dx (y 4x 5)dy 0. 27. xy y ex 0.

28. (cosx sin y 4)dx (5 x cos y x)dy 0.

29. y ex 1. ey 1

30. (3x 5y)dx (y 5x)dy 0.

Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.		y xlnx.																2.	xy y 0.
3.	xy				2y		x						2		.			4.	yy													2	.
3.	xy				2y		x								.			4.	yy					1 (y )									.
5.	x		2	y								2		.				6.	y		x sin									2		3x.
5.	x			y		4(y )								.				6.	y		x sin											3x.
7.	yy										1).							8.	xy					2y			x					3	.
7.	yy				y (y						1).							8.	xy					2y			x						.
9.		yy						2		.								10.
9.		yy			(y )					.								10.		y x lnx y .
																													2
11.			xy			4.												12.		y					3(y )							0.
																2									x2				2
																									x2
13.			(y 1)y														.	14.		yy
13.			(y 1)y						3(y )								.	14.		yy			(y )								y .
15.			(1 sinx)y															16.		y		x e				x			.
15.			(1 sinx)y											cosx y .				16.		y		x e							.
17.			y		tg y										2	.		18.		xy			4y					0.
17.			y		tg y			(y )								.		18.		xy			4y					0.

189

19.	y					2	.	20.	xy		y	x		5	.
				1 (y )
21.	xy ctg y 0.							22.	y (x 1)e2x .
23.	y							24.	xy		y	x 1.
		y (1				y ).
25.	xy							26.	y
			y		ln y .					2yy .
27.	x(y							28.	(y 1)y							2	.
				x) y .									3(y )
29.	y			2y		x2.		30.	y (x 1)cos2x.
				x

Задание 7. Решить задачу Коши для уравнений со специальной

правой частью.

4y 2x

если y(0) 0, y (0) 1.

2x 1, если

y(0) 1, y (0) 1.

4y 4e

, если

y(0) 2, y (0)

3y 2e

, если

y(0) 3, y (0)

5. 4y

14x, если

y(0)

2, y (0) 0.

3x e

, если

y(0) 0, y (0) 3.

6y (1 x)e

, если y(0) 3, y (0) 1.

2y 4 x, если

y(0)

3, y (0)

2y 2x e

если

y(0)

1, y (0)

10.

2y 3x

если

y(0) 1, y

(0) 1.

11.

4)e

если y(0) 0, y (0)

12.

y 2x 3, если

y(0) 3, y (0)

13.

5y (2x

1)e

, если y(0) 0, y (0)

14.

, если

y(0) 0, y (0)

15.

2x e

если

y(0) 1, y (0)

16.

4y 3x e

если y(0) 3, y (0) 2.

17.

6y x e

, если

y(0)

0, y (0)

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf