Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

3.	6 6					x	5				12		12			x		5			12				ln				x	5		1			C;
	6 6						5				12		12					5			12						12			5
	5										5											5
	5										5											5
4.		3 3				(x 2)2							33						x 2 3ln												3 x 2 1					C;
4.		3 3				(x 2)2							33						x 2 3ln												3 x 2 1					C;
		2
		2
5.		6 6				(x 1)7									12 6 (x 1)5																3 3			(x 1)2			8		x 1 486 x 1
	7															5												6			2
16ln			3			x 1 2							48							2arctg									x 1					C;
																													x 1
																															2
6. arcsin(x 2) C;																															2
6. arcsin(x 2) C;

7.	2					x2 2x 1 7ln																	x 1								x2 2x 1						C;
8.	1					3x			2	12x					2								2			ln			3(x 2)							3x		2	12x 2	C;
	1								2														2															2
	3																							3


9.	1 x							5sin2x C;
		2						4									x
																	x
					2							tg
												tg				2
10.							arctg									2				C;
10.						3	arctg									3				C;
						3										3

11.						2						C;
11.			1 tg							x		C;
										x
										2
										2
12. 2						3arctg(									3(2tgx 1)) C;
13.						1	cos2x								1			cos			3		2x						1				C;
13.						2	cos2x								6			cos					2x					sinx					C;
						2									6													sinx
14.						1							1						C;
14.				sin x							3sin3 x								C;
				sin x							3sin3 x
15.						1		cos2x										1		cos				3		2x		C;
15.						16		cos2x								48				cos						2x		C;
						16										48
16. 4x ctgx C;
17.		1				tg		2		x	ln			cosx							C;
		1						2
		2
		2

171

18.

cos6x

1cos2x 1sin2x

1sin4x C.

Тема 9. Определенный интеграл, его вычисление

Вычислить определенные интегралы:

в) 2 sin2dx;

а)

;

б)

x e x2 dx;

1 x2

г)

;

д)

2 lnx

dx.

2 (x 1)2

1 x

Вычислить интегралы методом подстановки:

9 x2 dx;

5/3

;

а)

б)

в)

1 3x 4

1 x x2 x 2

3 2

ln2

ex 1dx.

г) lnx

dx; д)

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

а) 2 x2 sinx dx;

г) 18 cosx d2x6x;

2	1
б) ln3xdx;	в) e2x x dx;
1	0

д) arctgxdx.

Ответы к теме 9.

1. а)	;	б)	1	1			1 ;		в)			1	;	г)	1;д) ln2 2.
	3		2	e								2			2
2. а)	9	; б)	2		1	ln		3		;	в)			1		3	2		г)	33	3	;д) 2		.
															ln			;
															ln			;
	4		3					4						2		4	2			8			2
	4		3					4						2		4	2			8			2

172

3. а) 12;		б) 2ln6 ln3; в)		14 e2 1 ; г)	3	( 9 3);
					162
д)	3		1ln4.
	3
			2

Тема 10. Приложения определенного интеграла

1. Найти площадь криволинейной фигуры, ограниченной следующими кривыми:

а) y 4 x2, y 0;

б) y (x 2)3, x 0, x 3, y 0;

в) y 3 x2, y x2 5;
г)	x cos2t							;
г)					t 0;	2		;
	y sin2t					2
	x t
д)					t 0;2 ;
д)		2			t 0;2 ;
	y t2	2

е) 2sin ;					0; .
ж) 2 cos ,					0; .
2. Найти длину дуги кривой:
			3	t,		3
а)	x 5cos			t,		3			;
а)					t	2	;2		;
	y 5sin3 t,					2

б) 2 2cos ;
в) y chx 4, x 0, x 1;
г)	x2 y2	16 от точки А(0; 0) до точки В(2; 2 3 ).

3. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми:

а) y 2x3, x 1, x 2, y 0 вокруг оси Ох; б) y x3, y 8, x 0 вокруг оси Оу;

в) y x2, y 8 x2 вокруг оси Оу;

173

г) y 1 x1 1, x 2, x 4 вокруг оси Ох; д) y (x 2)2, y x вокруг оси Ох.

Ответы к теме 10.

1. а) 2113; б) 15214; в) 13; г) 2; д) 113; е) ; ж) 94 . 2. а) 152 ; б) 16; в) sh1; г) 23 .

3. а) 72	4	;	б) 23 4 ;	в) 24 ;	г) 2	2	2ln3;	д) 18	2	.
	7					3			3

Тема 11. Дифференциальные уравнения

сразделяющимися переменными

1.Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) (x2 1)dy 2xy dx 0;

б) y x2 cos2 y;

в) y x3y 0;

г) (3 2cos3 x)dx cos2 xdy 0; д) x dy (1 x)2 dx 0.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения:

а) (xy x)dx dy 0, y(0) 2;

б)

y x ex y , y(0) 0;

в)

y y, y(0) 1.

Ответы к теме 11.

y arctg

1. а) y C(x

1);

б)

в)

y e

n Z

y 0

174

y 3tgx 2sinx C ,
г)		n,	n Z
x	2

д)		x x C,
д)	y lnx 4	x x C,
	x 0

x2	б) ey ex (x 1) 2;	в) y ex .
2. а) y e 2 1;

Тема 12. Однородные дифференциальные уравнения

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) xdy (y x)dx 0;

б) (x2 2y2)dx 2xy dy 0;

в) y x x2y ; г) y x y y .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения:

а)

б)

в)

г)

x ,

y(1) 0;

x2y xy x2

y(1) 0;

2 x2

x ,

y(1) 1;

xy y

y(1)

Ответы к теме 12.

y x ln

x C

;

1. а)

б)

x C e

;

x 0

в) y Cx2 x;

г) C y e y .

x 0

175

2. а) e

1 ln

;

б)

в)

2ln

г) ln

Тема 13. Уравнения в полных дифференциалах

1. Найти решения уравнений:

а) y2dx (2xy 3)dy 0;

б) (x y 1)dx (ey x)dy 0;

в) (x2 y2 y)dx (2xy x ey )dy 0;

г) y ex dx (y ey )dy 0;

д) (y xln y)dx

x 1 dy

Ответы к теме 13.

1. а)

б) e

xy x

C ;

в)

xy e

C ;

г) y e

C ;

д) x2 ln y 2y(x 1) C.

Тема 14. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

1. Найти решения линейных уравнений:

а) y

2xy x e x

б) y

;

x y xsinx;

в) y

;

г) xlnxy y 5x;

y x

x lnx

д) (1 x2)y xy 1.

176

2. Найти решение уравнений Бернулли:
	1		1
а)	y x y xy2 ;	б) y		y e2 x y2 ;
а)	y x y xy2 ;	б) y	x	y e2 x y2 ;
в)	y 7y e3x y2 ;	г) y 2y tgx sin2 x y;
д) 4xy 3y ex x4y5 ;

Ответы к теме 14.

1.а)

в)

2.а)

в)

y e x	2		x	2	;	б) y x(C cosx);
		C	x
		C
			2
			2
y (lnx C)ln(lnx);						г)	y C 5x	;	д) y arcsinx C .
							lnx		1 x2

y(x2 Cx) 1;

y 10e7x ;

e10x C


		x
б) y e2 x		x	e4 x	1e4 x C		;
б) y e2 x			e4 x	1e4 x C		;
		2		8
		2		8
г) y	sec2 x		; д)	y 4	x3(ex C).
г) y	tgx x C		; д)	y 4	x3(ex C).
	tgx x C

Тема 15. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

1. Найти общие решения дифференциальных уравнений, где даны начальные условия – решить задачу Коши:

а)

x 2sinx;

б)

ex (y ex ) 1;

в)

2; г)

1 x;

x , y(1)

1, y (1)

д)

, y(1)

;

е)

ln y

y (1) e;

ж)

з)

, y(0)

2yy

y (0)

, y( 1)

и) 1 y y (y )

1, y ( 1)

177

Ответы к теме 15.

1. а)

2sinx C x C

;

б)

y ex e x C x C

;

в) y x lnx 2;

г) y

x C ln

;

C x

д)

е)

y e

;

C y2

x)2;

ж)

(C2

з)

;

и) y x.

2C12

Тема 16. Однородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

1.Найти общее решение заданных дифференциальных уравнений, где даны начальные условия – решить задачу Коши:

а)

y 0;

б)

0, y(0) 1, y (0) 2;

в)

y 0;

г)

y 0, y(0) 0, y (0)

д)

4y 0;

е)

0, y(0) 0, y (0)

Ответы к теме 16.

y C ex C e

б) y 5 4e

1. а)

;

в) y e x (C C

x);

г) y 2x e

3 ;

е) y 3 1e x .

д)

y e

2 (C

cos

x C

sin

;

Тема 17. Неоднородные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

1. Найти общее решение уравнения:
а) 3y 4y y 5 3x;	б) y 9y 6x 2;
178

в) y 4y x2 3x 7;															г) y 2y 3 x2 ;
д) y 3y x 5;															е) y y 2y e3x 4x;
ж)	2y 5y 3y ex (x 5);														з)		y y 2cosx 3sinx;
и)	2y y e2x (cos3x x sin3x);														к)		y y e3x x x2 ex .
Ответы к теме 17.
									1
1. а)		y C ex C e3x 3x 2;
		1						2				2 x 2;
	б)	y C	e 3x C							e3x		2 x 2;
		1						2				3	9
												3	9
	в)	y C	e 2x C							e2x		1 x2 3 x 13;
		1						2				4	4		8
												4	4		8
	г)	y C C				2		e 2x 1 x3 1 x2 5 x;
		1				2				6			4		4
										6			4		4
	д)	y C C						e3x	1 x2 16 x;
		1				2				6			9
										6			9
	е) y C		e 2x C							ex e3x			2 x		2 ;
		1						2
													5		5
	ж) y C			ex C e23x ex									1 x2		7x		;
		1						2					2
													2
	з)	y C C						e x	1cosx 5sinx;
		1		2						2			2
										2			2
					x						x
	и)	y C e 2					C
	и)	y C e 2					C			e		2 e2x (( 0,03x 0,35)cos3x
		1						2
( 0,01x 0,11)sin3x);
												x		5				3
	к) y C C ex e3x											x		5	ex	x			x2 2x .
	к) y C C ex e3x														ex				x2 2x .
		1				2											3
												11		33			3

179

Тема 18. Метод вариации произвольной постоянной

1. Решить уравнения:

а)

9 x2 ;

б)

16y

cos4x ;

e x

в)

10y

sin3x ;

г)

4y sin2 2x ;

д)

1, y(0)

0, y (0)

е)

y 4y e5x sinex ;

ж)

y 4y tg2 2x.

Ответы к теме 18.

1. а)

y C

ex C x ex

9 x2

ex arcsin

x ex ;

б)

y C cos4x C

sin4x

cos4x

cos4x;

в)

y C

e x cos3x C

e x sin3x 1 xe x cos3x

1ln

sin3x

e x sin3x;

sin2x 3ln

cos2x 3;

г)

y C cos2x C

tgx

д)

x e

4(x 1)2 x e x ;

y C C e4x e3x sinex 3e2x cosex 6ex sinex 6cosex ;

е)

ж)

y C cos2x C

sin2x

1cos2x

cos2x

4cos2x

tgx 1

sin2x.

tgx 1

sin2x

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf