Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

рое, получим: 4C2 1 C2	3.		Подставляя C2									3		в первое
3		4										4
уравнение системы, получим:	C	3	1 C			3		4		7.
	1	4		1		4		4		4
				y			7e6x				3e2x ,
Итак, решение задачи Коши имеет вид:					1		4				4
Итак, решение задачи Коши имеет вид:							7				1
							7	e	6x		1		e	2x	.
				y2			4	e			4		e		.
							4				4

	Ответ: частное решение системы дифференциальных уравнений
y		7e6x			3e2x ,
	1	4			4
		7			1
		7	e	6x	1	e	2x	.
y2		4	e		4	e		.
		4			4

161

9. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Тема 1. Функции нескольких переменных

1. Вычислить пределы:

а)

lim

x2 y2

;

б)

lim

sin xy

;

в) lim

;

x 0

4 x

x 1

y 0

y 2 x

г)

lim

x3 y3

; д)

lim

x y

x 2

x 0

y 2

y 0 x

Найти частные производные функций:

а)

z 2x2y 3xy 2

x3;

б)

z sin

cos

;

в) z

;

г) z tg

x2 y2

Вычислить значения частных производных функции в указан-

ной точке:

а)

x y

, M

0 3,2 ;

б)

, M0 4;

5 ;

x y

в) u

x2 y2

z2 , M0 1;

2,2 .

Найти полные дифференциалы функций:

а)

;

б) u arctg

Найти значение полного дифференциала функции в точке М0:

а)

z ln(x2 y2), M0(1,0);

б) u (x y z)2, M0(1;1,2), если dx 0,2,

dy 0,1, dz 0,1.

162

6. Вычислить приближенно выражение, заменив приращение функции дифференциалом:

а)	(1,03)2 (2,98)2 ; б) 1,982,02;
в)	(2,02)2 (1,03)2 (1,97)2 ; г)	1,003 (1,998)2 (3,005)2.

Ответы к теме 1.

1. а) −4;

б) −1;

в) 1;

г) 12;

д) +∞.

2. а)

4xy

6xy;

б)

cos

sin

cos

1sin

sin

;

в)

;

x2 y2

x2 y2 2

г)

cos

x cos

2 y

3. а)

z(M0) 4;

z(M0)

б)

z(M0) 25;

в) u(M0)

u(M0)

;

u(M0)

4. а) dz

xy2dx x2ydy ;

2xy

б) du

ydx xdy

dz .

2x2 z4

5. а) d(M0) 2dx;

б) d(M0) 1,6.

6. а) 3,153;

б) 3,976;

в) 3,003;

г) 108,648.

z(M0) 16;

163

Тема 2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:

1.	z sinx cos y	в точке			,		,	1
			M	4		4		2	.

2.z ex cos y в точке M 1, , 1 .

3.x2 2y2 3z2 xy yz 2xz 16 0 в точке M 1,2,3 .

4. x2y2 xyz x2yz xz2 8 0 в точке M 2,1,3 .

5.2z 2z 8 в точке M 2,2,1 .

Ответы к теме 2.

		x			y					z 1
1.	x y 2z 1 0;	4			4					2				.
		1
					1					2
									1
2.	x ez 2 0;	x 1	y				z e						.
		1
					0					e
3.	x 6y 9z 16 0;	x 1	y 2			z 3					.
		1
					6				9
4. 2x 7y 5z 4 0;		x 2		y 1		z 3					.
		2
					7				5
5. x y 4z 0;		x 2		y 2				z 1				.
		1
					1				4

Тема 3. Экстремумы функций двух переменных

Найти экстремумы функций двух переменных:

1.z x3 y3 3xy.

2.z x2 xy y2 3x 6y.

3.z xy2(1 x y), (x 0, y 0).

164

4.z 3x2 x3 3y2 4y.

5.z x3 3xy2 15x 12y.

Ответы к теме 3.

1.	zmin 1		при x 1,		y 1. В стационарной точке (0, 0) экстре-
мума нет.			при x 0,			y 3.
2.	zmin 9
3.	zmin	1	при x 1		,	y 1.

	64			4			2
4.	zmin 4		при	x 0,		y	2.	В стационарной точке (2, 2 )
	3						3		3
экстремума нет.								zmax 28 при x 2,
5.	zmin 28 при			x 2,			y 1;		y 1.
В стационарных точках (1, 2), (−1, −2) экстремумов нет.

Тема 4. Условный экстремум функции нескольких переменных

Найти условные экстремумы функций:

1.z

2.z

3.z

4.z

5.z

xy2	при x 2y 1.
x2 y2 xy x y 4			при x y 3 0.
1	1	при x y 2.
	y
x
2x y		при x2 y2 1.

x y 4	при x2 y2	1.
2

Ответы к теме 4.

1.	zmin 0	при x 1,		y 0;	zmax	1	при	x y	1.
1.	zmin 0	при x 1,		y 0;	zmax	27	при	x y	1.
		19			3.	27			3
2.	zmin	19	при x y		3.
		4			2

165

3.	zmin 2	при x y 1.	2			1				2
4.	zmin	5 при x		,	y		;	zmax	5 при x		,
			5			5				5

y 15.

5. zmin 1 2 2	при	x	1	,	y	1	;	zmax 1 2 2 при
			2			2

x 12 , y 12.

Тема 5. Наибольшее и наименьшее значения функции

взаданной области

1.Найти наибольшее значение функции z x 2y 5 в областях:

а) x 0, y 0, x y 1; б) x 0, y 0, y x 1.

2.	Найти	наибольшее		и		наименьшее	значения функции
z x2 y2 xy x y в области x 0, y 0, x y 3.
3.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции							z xy
в области x2 y2 1.
4.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции							z xy2
в области x2 y2 1.
Ответы к теме 5.
1. а) zнаиб. 6 при x 1,			y 0;			б) zнаиб 5 при x y 0.
2.	zнаиб. 6	при x 3,	y 0		и при x 0,		y 3; zнаим. 1 при
x y 1.
3.	zнаиб. 1	при x y		1	;	zнаим. 1	при x y	1	.
3.	zнаиб. 1	при x y		2	;	zнаим. 1	при x y	2	.
	2			2		2		2
166

4.	zнаиб.		2		при	x	1	,	y	2	;	zнаим.	2		при
4.	zнаиб.		3	3	при	x	3	,	y	3	;	zнаим.	3	3	при
			3	3			3			3			3	3
x	1	, y		2.
x	3	, y		2.
	3			3

Тема 6. Непосредственное интегрирование, метод замены переменной и интегрирование по частям

1. Найти неопределенные интегралы, пользуясь таблицей интегралов:

а)

(

x 2)(

x 1)dx;

б)

43 x

2 )2

dx;

в)

;

г)

sin2

dx;

sin 2x cos2 x

д)

4x2 2x 8

dx;

е) (2x 3)7 dx;

ж)

ctg2 xdx;

з)

dx;

x2 1

2x 1 7x 1

и)

dx;

к)

dx.

14x

3 3x2

2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной (поднесением под знак дифференциала):

а) cosx 3sin x dx;

в)		tgx dx		;
		cos2 x

д) e5x 9 dx;
ж)	x2		2x3 11dx;
и)		5	x dx	;
			x

б) x(1 dlnx x)2 ;

г) (1 x2d)arctgx x ; е) x x2 6dx; з) sin(lnx x)dx;

к) x e x2 dx.

167

3. Применяя формулу интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы:

а)

xe2xdx;

в) arctg4x dx;

д) arccos

dx;

ж) x9x dx;

и)

ln x

dx;

Ответы к теме 6.

1. а)

в) 2ctg2x C;

д)

4x 2ln

ж) x ctgx C;

и)

ln7

ln2

2. а)

3sin x

ln3

в) 12tg2 x C; д) 15e5x 9 C;

ж)	1	(2x3 11)3 C;
	9
и)	2	5	x
и)	ln5		C;
	ln5

168

б) ln3x dx; г) x cosx dx;

е) xsinnx dx; з) x ln 2x dx;

к) x2 cosx dx.

б) ln x 123 x 123 x4 C;

г)

1 x

1sinx C;

е)

(2x 3)8 C;

з) x arctgx C;

к)

arcsinx C.

б)

г) ln

arctgx

е)

з) cos(lnx) C;

к)

3. а)

(2x

1) C;

б)

x(ln3x 1) C;

1ln(16x2

в)

x arctg4x

1) C;

г)

xsinx cosx C;

д)

x arccos

е)

(sinnx nx cosnx) C;

ж) 9

з)

2ln

1 C;

ln2

ln9

и)

2ln x 1

к)

x2 sinx 2sinx 2x cosx C.

4x2

Тема 7. Интегрирование рациональных дробей

1. Записать разложение дроби на сумму простейших рациональ-

ных дробей:													1							.
ных дробей:								(x 3)(x 4)												.
2.		Выделить											целую часть и остаток рациональной дроби
	x4 x3		2			.
	x3	4x				.						dx
	x3	4x
	3. Найти															.
	3. Найти								x(x2 4)							.
	4. Найти								x4 x3 2										dx.
	4. Найти									x3 4x									dx.
	5. Найти								x3 1
															dx.
									x	3	x			2	dx.
									x		x
	Ответы к теме 7.
1.		1			1					1				1			.
1.		7		x	3					7			x 4				.
		7		x	3					7			x 4
2.		x 1					4x2 4x 2											.
2.		x 1							x3			4x						.
									x3			4x
																			169

3.	1	ln		x		1	ln		x		2	4			C.
	1					1					2
	4					8
	4					8
4.	x2		x			1	ln			x				13	ln		x 2		5	ln	x 2	C.
	x2					1								13					5
	2					2								4					4
	2		1			2								4					4
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
			x
			x

Тема 8. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций

Вычислить интегралы:

dx;

1 x3/2

dx;

3 x2 4 x

x 1 1

dx;

2 3 x 1

2x 5

dx;

x2 2x 1

(3cos2

x 2sin2 x)dx;

11.

;

1 sinx

cosx

13.

sin

dx;

sin

15.

cos3 x sin3 x dx;

17.

tg3 x dx;

Ответы к теме 8.

2ln

1 x3/2

C;2. ln

170

2.			x	dx;
2.	x(x 1)			dx;
	x(x 1)
4.			dx			;
4.	1		3 x 2			;
	1		3 x 2
6.			dx				;
6.		4x 3 x2					;
		4x 3 x2
8.			xdx					;
8.		3x2 12x 2						;
		3x2 12x 2
10.			dx		;
10.		2	cosx		;
		2	cosx			3dx
12.						3dx			;
12.									;
		2sin2 x sinxcosx 1
14.		cos3 x		dx;
14.		sin4 x		dx;
		sin4 x
16.	(3 ctg2 x)dx;

18)(sin2x cos4x cosx cos3x)dx.

x1 C;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf

3.	1	ln		x		1	ln		x		2	4			C.
	1					1					2
	4					8
	4					8
4.	x2		x			1	ln			x				13	ln		x 2		5	ln	x 2	C.
	x2					1								13					5
	2					2								4					4
	2		1			2								4					4
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
			x
			x

3.	1	ln		x		1	ln		x		2	4			C.
	1					1					2
	4					8
	4					8
4.	x2		x			1	ln			x				13	ln		x 2		5	ln	x 2	C.
	x2					1								13					5
	2					2								4					4
	2		1			2								4					4
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
			x
			x

3.	1	ln		x		1	ln		x		2	4			C.
	1					1					2
	4					8
	4					8
4.	x2		x			1	ln			x				13	ln		x 2		5	ln	x 2	C.
	x2					1								13					5
	2					2								4					4
	2		1			2								4					4
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
5.	x				2ln			x 1					ln			x		C.
			x
			x