Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид y y 0. Его характеристическое уравнение k2 1 0, корни k1 i, k2 i. Общее решение однородного дифференциального уравнения:

y C1 cosx C2 sinx.

Ищем частное решение исходного уравнения методом вариации произвольных постоянных в виде y* C1(x)cosx C2(x)sinx.

Система (8.25) в данном случае принимает вид:

C (x) cosx C			(x) sinx 0,
	1	2			1
					1
C1(x) (cosx) C2(x) (sinx)
C1(x) (cosx) C2(x) (sinx)					sinx
					sinx
или
C (x) cosx C			(x) sinx 0,
	1	2			1
					1
C1(x) ( sinx) C2(x) cosx						.
C1(x) ( sinx) C2(x) cosx				sinx		.
				sinx

Выразим из первого уравнения этой системы C2(x) через C1(x):

C2(x) C1(x)cossin xx .

Подставим C2(x) во второе уравнение:

cos2 x

C (x) ( sinx) C (x)

sinx

cos2 x

sin

2 x cos2 x

C (x)

sinx

, C (x)

sinx

C1(x)

sinx

sin1x ,

151

Отсюда получаем C1(x) 1. Интегрируя, получим

C1(x) 1 dx x C3.

Константу С3 можно взять равной 0. Имеем C1(x) x. Далее, под-

ставляя значение C1(x),

найдем C2(x) cosx

. Интегрируя, получим

sinx

C2(x) cosx dx d(sinx) ln

sinx

C4.

sinx

Значение постоянной С4

можно взять равное 0, C2(x) ln

sinx

Таким образом,

y* x cosx ln

sinx

sinx.

Общее решение линейного дифференциального уравнения имеет

вид:

y y y* C1cosx C2 sinx x cosx ln

sinx

sinx.

Ответ: Общее решение уравнения y C1cosx C2 sinx xcosx

sinx

sinx.

Пример 8.23. Найти решение дифференциального уравнения

e3x

10y cosx ,

удовлетворяющее

начальным

условиям:

y(0) 1,

y (0) 2.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

y 6y 10y 0.

Его

характеристическое

уравнение:

k2 6k

10 0, D 36 40 4, D (2i)2.

Дискриминант меньше нуля, значит корни комплексные:

6 2i

3 i, k

6 2i

3 i.

152

Линейно независимые решения однородного дифференциально-

го уравнения имеют вид:	y e3x cosx, y	2	e3x sinx.
	1	2

Общее решение однородного линейного уравнения запишем

в виде y C1e3x cosx C2 e3x sinx.

Ищем частное решение исходного неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных:

y* C1(x) e3x cosx C2(x) e3x sinx.

Для нахождения C1(x) и C2(x) получаем систему:

cosx C2(x) e

sinx

C1(x) e

(x)

e3x

cosx)

sinx)

cosx

или

cosx C2(x) e

sinx

C1(x) e

C (x) (3e3x cosx e3x sinx) C (x) (3e3x sinx e3x cosx)

cosx

Из первого уравнения выражаем C2

(x): C2(x) C1

cosx

(x) sinx .

Подставив C2(x)

во второе уравнение, получим:

C1(x) 3e3x cosx C1(x) e3x sinx

C1(x)

cosx

(3e3x sinx e3x cosx)

e3x

sinx

cosx

C1(x) 3e3x cosx C1(x) e3x sinx 3C1(x) e3x cosx

C1(x) e

3x cos2 x

e3x

sinx

cosx

cos2 x

e3x

(x) e

sinx

cosx

153

Приведя выражение в скобках к общему знаменателю, получим:

C1(x) e

(sin2 x cos2 x)

e3x

sin x

cosx

C1(x) e

e3x

sinx

cosx

Выразим из этого уравнения C1(x):

C1(x) sin x .

Интегрируя, найдем C1(x):

cosx

C1(x)

sin xdx

d(cosx)

cosx

C3.

cosx

Постоянную С3

положим равной нулю: C1(x) lncosx

Подставив

значение

C1(x)

sinx

уравнение C2(x)

cosx

sinx

cosx

C1(x) sinx ,

получим C2(x) cosx sinx

1. Интегрируя, найдем

C2(x) dx x C4.

Постоянную С4

положим равной нулю: C2(x) x.

Таким образом, частное решение исходного уравнения таково:

y* ln

cosx

e3x cosx x e3x sin x.

Общее решение имеет вид:

y y y* C e3x cosx C

e3x sinx ln

cosx

e3x cosx xe3x sin x.

Решим еще задачу Коши, то есть найдем частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее началь-

ным условиям y(0)		2. Подставив в общее решение диф-
	1, y (0)
ференциального уравнения		x 0,	y 1, получим 1 C1 C1 1.

Для того, чтобы использовать второе начальное условие y (0) 2, нужно продифференцировать общее решение у:

154

cosx

3C1 e

sinx 3C2 e

sinx C2 e

cosx

y (x) 3C1 e

( sinx) e3x cosx ln

cosx

3e3x cosx ln

cosx

e3x sinx

cosx

e3x sinx 3e3x xsinx x e3x cosx.

Подставляя x 0, y 2,

получим: 2 3C1

C2.

Итак, получили систему уравнений для нахождения С1

и С2:

3C C

2, C

Итак,

C1 1,

C2 1.

Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям,

имеет вид:	y e3x cosx e3x sinx ln	cosx	e3x cosx x e3x sinx.

Ответ:	частное решение уравнения y e3x cosx e3x sin x

ln cosx e3x cosx x e3x sinx.

Метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го

порядка:

yn p (x)y(n 1) p (x)y(n 2) p (x)y f (x),

(8.27)

где p1(x), p2(x), , pn (x),

f (x)

− заданные непрерывные функции

на интервале (a; b).

Неизвестные функции Ci (x)

находятся из системы:

C1(x) y1(x) C2(x) y2(x) C3(x) y3(x) Cn (x) yn (x) 0

(x) y (x) C

(x) y

(x)

(x) y

(x)

(x) y

(x) 0

(x)

(x) 0

(x) y1(x) C2

(x) y2

(x) C3

(x) y3

(x) yn

(n 1)

(x) C3(x) y3

(n 1)

(x)

(x) y1

(x) C2(x) y2

(n 1)

(x) f (x)

Cn (x) yn

155

8.6. Системы дифференциальных уравнений

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения, задач электротехники для нескольких электрических цепей и других) требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям, образующим систему.

Определение. Системой дифференциальных уравнений называ-

ется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, неизвестные функции и их производные. Система дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид:

F (x,y ,y		2	, ,y		n	,y	,y	, ,y ) 0
1	1	2			n	1	2	n
F2(x,y1,y2				, ,yn ,y1,y2, ,yn ) 0					(8.28)
									(8.28)


	(x,y1,y2			, ,yn ,y1,y2, ,yn ) 0
Fn	(x,y1,y2			, ,yn ,y1,y2, ,yn ) 0

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, ных относительно производных:

dy1		f (x,y ,			,y )
dx		1		1	n


dy2		f2(x,y1			, ,yn )

dx



	dyn	f	n	(x,y	, ,y	n	)

				1
dx

разрешен-

(8.29)

Система вида (8.29) называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Предполагается, что в нормальной системе число уравнений равно числу искомых функций.

Определение. Решением системы (8.29) называется набор из n функций y1,y2, ,yn , удовлетворяющих каждому из уравнений

этой системы. 156

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (8.29):

найти решение системы (8.29), удовлетворяющее начальным условиям:

y (x ) y0

) y0, ,y

) y0.

(8.30)

1 0

Общее решение системы (8.29) имеет вид:

y1 1(x,C1, ,Cn ),

y2 2(x,C1, ,Cn ), , yn n (x,C1, ,Cn ),

где

C1,C2, ,Cn −

произвольные постоянные.

Решение, получающееся из общего

решения при конкретных

значениях постоянных C1,C2, ,Cn , называется частнымрешением. Условия существования и единственности решения задачи Коши

описывает следующая теорема.
Теорема (Коши). Если	в		системе			(8.29)	все	функции
fi (xi , y1, ,yn ) непрерывны	вместе			со	всеми своими			частными
производными по yi в некоторой области						D (n 1) -мерного про-
странства, то в каждой точке	M	0	(x , y 0		, y	0, ,y 0)	этой области
			0	1	2	n
существует единственное решение y1 1(x),						y2 2(x), ,		yn n (x)

системы (8.29), удовлетворяющее начальным условиям (8.30). Одним из основных методов решения нормальной системы диф-

ференциальных уравнений является метод сведения к одному диф-

ференциальному уравнению высшего порядка (метод исключения).

Рассмотрим метод сведения к уравнению высшего порядка для нормальной системы из двух уравнений:

dy1	f	(x,y ,y	2	)
	1	1	2	(8.31)
dx				(8.31)
dy2	f2(x,y1,y2)
	f2(x,y1,y2)
dx

Продифференцируем первое уравнение этой системы по х:

d2y		f	f	dy	f		dy
	1	1	1	1	1			2 .
	1	1	y	1				2 .
dx	2	x	y	dx	y	2	dx
dx			1			2

157

Значения производных ddyx1 , ddyx2 подставим из системы (8.31):

d2y

(8.32)

или

d2y

(x,y ,y

dx2

Из первого уравнения системы (8.31) выразим функцию у2

через не-

зависимый аргумент х, функцию у1

и ее производную y1. Получим

y2 2(x,y1,y1).

(8.33)

Это значение y2

подставим в уравнение (8.32) и получим урав-

d2y

нение 2-го порядка:

(x,y1

,y1).

dx2

Пусть его общее решение имеет вид:

y1 1(x,C1,C2).

Дифференцируя это решение и подставив значение производной в уравнение (8.33), найдем функцию у2.

В итоге, получим решение системы в виде: y1 1(x,C1,C2),

y2 2(x,C1,C2).

Пример 8.24. Решить систему дифференциальных уравнений

x 5x 3y,y 3x y.

Решение. Дифференцируем первое уравнение еще раз по неза-

висимому аргументу

t: x

Подставляя

из второго

3y .

уравнения, получим:

x 5x 3( 3x y) 5x 9x 3y.

Выразим у из первого уравнение:

x 5x

получим:

y 3 ,

x 5x

5x 9x 3

9x x 5x 4x 4x.

Перенеся

все

158

слагаемые в одну сторону, получим уравнение:																					x 4x 4x 0.
Характеристическое								уравнение							имеет			вид: k2 4k 4 0
k	2, k	2	2.		Тогда			x(t) C e2t C								t e2t . Подставив это решение в
1		2					x 5x				1			2
уравнение y							x 5x	, получим:
уравнение y								, получим:
					3
						2C e2t		C		2	e2t 2C t e2t 5C e2t 5C t e2t
				y		1				2			2				1			2
				y										3
														3
				3C e2t 3C					t e2t C			2	e2t		C e2t C				t e2t			C	2	e2t .
				1				2				2											2

								3									1	2				3
								3														3
															x		C e2t C			t e2t ,
	Ответ: общее решение системы																1		2
	Ответ: общее решение системы														y C			e2t C t e2t C2 e2t .
																	1			2			3
																							3

Пример 8.25. Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений

dy1	3y	3y	2	,
	1		2
dx
dy2	y1	5y2,
	y1	5y2,
dx

с начальными условиями y1(0) 1, y2(0) 2.

Решение. Поскольку неизвестными функциями являются у1 и у2, будем считать, что независимой переменной является х. Продиффе-

ренцируем первое уравнение по х: y1 3y1 3y2.
Подставим в это уравнение выражение y2		y1 5y2. Получим:
y1 3y1 3(y1	5y2). Раскрыв скобки, имеем:	y1 3y1 3y1 15y2.
Выразим у2	из первого уравнения системы:	y2		y1 3y1	.

			3
			159

Подставив это выражение вместо у2 в предыдущее уравнение, получим: y1 3y1 3y1 15(y13 3y1). Раскрыв скобки, имеем: y1 3y1

3y1 5y1 15y1. Приведя подобные, получим: y1 8y1 12y1. Перенеся все слагаемые в одну сторону, получим: y1 8y1

12y1 0.

Характеристическое уравнение для этого дифференциального

уравнения второго порядка имеет вид: k2 8k 12 0. Находим его корни: k1 6, k2 2. Теперь можем выписать функцию у1:

y C e6x C				e2x . y				(C1 e6x C2 e2x ) 3(C1e6x C2 e2x )
1		1	2				2						3
													3
		6C e6x 2C			2	e2x	3C e6x 3C				2	e2x					C e6x	C	2 e2x .
y	2	1			2					1	2				y	2
y															y
							3										1	3
							3											3
Общее решение системы имеет вид:
						y				C e6x C		2	e2x ,
								1		1		2
						y			2	C e6x	C2			e2x .
						y				C e6x				e2x .
										1	3
											3

Найдем решение задачи Коши, то есть найдем константы С1 и С2 так, чтобы выполнялись начальные условия: y1(0) 1, y2(0) 2.

Для этого, подставим x 0 в общее решение системы:

y (0) C			e0	C	2	e0 1,		y	2	(0) C	e0 C2 e0 2.
1	1				2				2	1	3
											3
Учитывая, что		e0 1,				получим систему линейных алгебраиче-
	C C				2	1,
ских уравнений:			1		2	2.	Вычитая из первого уравнения вто-
ских уравнений:	C			C2		2.	Вычитая из первого уравнения вто-
			1	3
				3
160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf