Математика. Ч. 2_1

6.4.3. Вычисление объемов и поверхностей тел вращений

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f x и прямыми y 0, x a, x b в соответствии с рис. 6.14.

Так как элементарное тело будет мало чем отличаться от цилиндра, то его объем будет равен Vi f 2 ti xi , где ti xi 1; xi . Зна-

тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной тра-

a

Пример 6.17. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y2 8x и прямой x 1

вокруг оси Ox.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 6.15).

Рис. 6.15

92

Очевидно, что x 0;1 , тогда, применяя формулу (6.15), получаем

Ответ: 4 куб. ед.

Если необходимо найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной кривой

x y и прямыми x 0, y c, y d, то, проведя аналогичные рассуждения, как при выводе формулы (6.15), получаем:

c

Пример 6.18. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y 1x и прямыми

y 1; y 3; x 0, вокруг оси Oy. Решение. Сделаем чертеж (рис. 6.16).

Рис. 6.16

93

Очевидно, что y 1;3 , тогда, применяя формулу (6.16), получаем

Пример 6.19. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y2 4x и прямыми y 2; y 2; x 0, вокруг оси Oy.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 6.17).

Рис. 6.17

94

Ответ: 45 куб. ед.

6.20. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y2 4x и прямой x 1, вокруг

оси Oy.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 6.18).

Рис. 6.18

95

Следовательно, V 4 4 16 (куб. ед.). 5 5

Ответ: 165 . куб. ед.

Используя рисунок (6.13), нетрудно показать, что площадь поверхности тела, полученного вращением вокруг оси Ox криволи-

a

Если вращение происходит вокруг оси Oy, то формула (6.17) принимает вид:

6.5. Несобственные интегралы

Понятие определенного интеграла предполагает, что подынтегральная функция ограничена и отрезок интегрирования имеет конечную длину. Можно обобщить понятие определенного интеграла, устранив эти ограничения, то есть распространив понятие интеграла на случай бесконечных пределов интегрирования или неограниченной подынтегральной функции.

Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке a, .

B

Определение. Если существует конечный предел lim f (x)dx,

B a

то его называют несобственным интегралом первого рода и обо-

значают f (x)dx.

a

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл f (x)dx

a

сходится. Если предел в правой части (6.19) не существует или ра-

где С – произвольное число.

Интеграл (6.21) слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Геометрически сходящийся интеграл (6.20) означает, что фигура, ограниченная кривой y f (x) 0, прямыми x a, y 0, бесконеч-

но вытянутая вдоль оси Ох, имеет конечную площадь S (рис. 6.19).

Рис. 6.19

Аналогично сходящиеся интегралы (6.19) и (6.20) определяют конечную площадь фигур, изображенных на рис. 6.20 и рис. 6.21 соответственно.

98

Пример 6.22. Исследовать на сходимость интеграл dx.

1 x3

Решение.

Рис. 6.22

99

b

Определение. Если существует конечный предел lim f (x)dx,

0 a

то его называют несобственным интегралом второго рода и обо-

b

значают f (x)dx.

a

Таким образом, по определению

Если предел в правой части (6.22) существует и конечен, то не-

b

собственный интеграл f (x)dx сходится. Если же указанный пре-

a

дел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл

b

f (x)dx расходится.

a

Аналогично определяется несобственный интеграл, если:

1) f (x) терпит бесконечный разрыв в точке x a, то полагают

(рис. 6.23).

Рис. 6.23

100