Математика. Ч. 2-1

1. Выполнены ли

условия теоремы Ролля для функции

f (x) tg x на отрезке 0;

?

функций

f ( x) sin x

и

g( x) cos x

на отрезке

π

0;

2

.

а)

lim

х100 17

;

б) lim

х 1

;

в)

lim

х9 2х3 х 2

;

ех 1

х20 1

х

х 1

х 1

х3 7х 6

1 2sin х

2

1

х

1

г)

lim

;

д) lim

; е) lim

tg

;

cos3х

х

2

1

х

1

х

х 1

х

cos х

6

2

1

х

сtg х

1

1

sin х

ж) lim

; з)

lim

;

и) lim

;

х

х

х

х 1

ln

ln х

х 0

х 0

к) lim

cos3х

1

.

х2

х 0

Задания второго уровня

1.

Функция

у 3 х 2 2

на концах отрезка 0; 4

принимает

равные значения

f

0 f

4 3 4 .

Справедлива

ли

для

этой

функции теорема Ролля на отрезке 0; 4 ?

52

5. Для функций f х х3

и g х х2 1 проверить выполне-

а)

lim

3

х2

;

б) lim

ex

; в)

lim

x3

2x2 x 2

;

4х

x3 7x 6

х

х x5

х 1

1

4sin

2

x cos x sin x

ln( x2 3)

6 x

г)

lim

;

д)

lim

;

е) lim

;

х 1

1 x2

х 0

x3

х 2

x2

3x 10

1

1

x

1

1

ж) lim

;

з) lim

ctg

; и)

lim

1 x x

;

x 1

x

х 1

ln x

х 0

3

sin

х

3

1

к) lim cos2x

.

x2

х 0

Ответы

1. c

1

. 2. (2; 4).

3. с 1 .

4.

4

1.

5. с

14.

6. а) 0;

б) ;

3

9

в)

1 ; г)

3

; д)

1

; е)

4 ; ж)

1

; з) 0; и) 1; к) е 2 .

6

3

2

2

7

а) f х х3 12х 11 ;

б) f х х2 e x .

а)

f х х4

20

х3

8х2 ;

б)

f х ex

;

в)

f х ln x .

3

x

x

у

х 1

на отрезке

1

; 4

.

х 1

2

4. Найти экстремум функции у

х4

х3

7х2 24х 1, исполь-

4

3

а)

f х

2х

;

б) f х 4x3 21x2 18x 20;

1

х2

в)

f х

x2 x

.

2 х

а) f х х 1 3 х 1 2 ;

б) f х x arctg2x;

в) f х

х

.

х2 1

у 2 tg х tg2 х

на отрезке 0;

.

3

1

2

3

4. Найти экстремум функции

у

х4

х3

х2

2 , исполь-

4

3

2

а) f х

4х2

;

б) f х x5 5x4 5x3 1.

1 х2

а)

f х

х2 2х 2

; б)

f х

2х

;

1

x2

х 1

в) f х

2х2 1

; г) f

х x2 ln x .

x4

3.

Найти наименьшее m и наибольшее М значения функции

у sin 2х х

;

на отрезке

2

2

.

4.

Найти экстремум функции у х4

8х3 16х2 , используя два

Ответы

1. а) Убывает на ; 1 1; 0 ;

возрастает на 0; 1 1; .

б) Возрастает на ; 1 3; ; убывает на 1; 3 . 2. а) В точке

х = 0 локальный максимум: у 0 2;

в точке х = 2 локальный ми-

нимум:

у 2 2; б) В точке х= –1 локальный минимум: у 1 1;

в точке

х = 1 локальный максимум: у 1 1; в) В точке х = –1

локальный максимум: у 1

1; в точке х = 1 локальный максимум:

у 1 1;

х

1

1

1

г) В точке

локальный минимум: у

.

е

2е

е

3. m

при х

,

M

при

х . 4. В точке х = –4 ло-

2

2

2

2

кальный минимум:

у 4 0,

а в точке х = –2 локальный мак-

симум:

у 2 16;

в точке х = 0

локальный минимум: у 0 0,

m y(0) 0, M y(1)

25.

а) у

х

; б)

у

х2 2x 2

.

ех

x 1

а)

у

х3

;

б) у 3 1 x3 .

х

1

3.

Найти асимптоты графика функции:

а)

у

2

; б) у

2х2 x 3

; в) у

ex

.

х2 4

х

6

х

4.

Для графика функции

у

х3

найти интервалы выпук-

х

1 2

2

а)

у

х

; б)

у e x2

(кривая Гаусса);

ln

х

в)

у

2х 1

;

г) у

х3 3x

.

х 1 2

x2 1

а) у

х2 1

;

б) у

x2 2x 2 .

2х 3

а) у 3 х2 2х ;

б) у

х

.

х2 1

2х2 4х х 2

1

а)

у

; б)

у ( x 2) e x .

2х 4

3

х 1

4.

Для графика функции

у

найти интервалы выпук-

х 1

Ответы

0;

8

8

график вогнутый;

1. а) На

е3

график выпуклый, на

е3

;

8

8

е3

;

– точка перегиба;

б) На ; 2 1; график вогну-

4

3е3

тый; на 2; 1 график выпуклый;

2; 36 ; 1;

12 – точки пере-

гиба.

2. а) 0; 0 ; 2; 0 ;

б) 0; 0 .

3. а) x = –2;

б) x = 0,

у = х – 3.

4. На

; 1 ; 1; 3 график вогнутый; на 1; 1 ; 3;

график

3;

1

– точки перегиба; асимптоты: х = –1; у = 1.

выпуклый; 1; 0 ;

8

1.

Исследовать функцию

у

х4 1

и построить ее график.

х2

2.

Исследовать функцию у

16

и построить ее график.

х2 х 4

Задания второго уровня

1.

Исследовать функцию у

х2

и построить ее график.

1

х

2.

Исследовать функцию

у

х2

и построить ее график.

4 х2

3.

Исследовать функцию

у 3 х 1 2 3 х 1 2 и построить

ее график.

Домашнее задание

1.

Исследовать функцию у

х2

и построить ее график.

1

х2

2.

Исследовать функцию у

х3

и построить ее график.

х2

1

минимума.

1

1

–

интервалы

выпуклости;

,

3

3

,

1

;

1

– интервал вогнутости.

3

3

2. Д у : , 1 1;1 1, . Функция нечетная.

х 1, у х –

асимптоты. Интервалы: возрастания

,

3

3 , ,

убыва-

ния

3 , 1 ;

1,0 ; 0;1 ; 1;

3 ,

3;

3

точка

макси-

3 –

2

мума;

3 ;

3

3

Интервалы:

выпуклости –

2

– точка минимума.

, 1 ; 0, 1 ; вогнутости –

1,

0 ; 1; . (0, 0) – точка перегиба.