Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

521.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Домашнее задание

1.Если х → 0, то какие из следующих бесконечно малых

функций а) 5х; б) х4; в) 3х ; г) tg	х	; д) lg 1 x имеют порядок
	5

высший, чем х; низший, чем х; тот же, что и х?

2.Вычислить пределы:

а) lim sin 3х sin 5х ; б)

lim

x sin 2х

;

в) lim cos6х cos4х ;

arctg5x 2

х 0

х х3 2

х 0

x sin 3х

cos х

cos2х

г)

lim

;

д) lim

1 cos x

;

е)

lim

;

х 0 1 cos4x

х 0

x 1

2 x 1

sin

ж)

lim

;

з) lim

;

и)

lim

1 sin

;

х x 2

х 0

3 1

1 sin х

ln x

x arcsin

к)

lim

;

л) lim

;

м)

lim

;

1 x

х 1

х 2

sin

arcsin

н)

lim x

ln 2 x ln x ; о)

lim e 3x 1 ;

п) lim

ln cos x

;

х 0

15x

х 0

р)

lim

1 e x

;

с) lim

tg x 2

sin x

x2 4

х 0

х 2

Ответы

1. б) х4 = о(х);

в) х = о(

3х) ;

а), г), д) – одного порядка малости.

2. а) 15; б)

;

в) –10; г) 83 ; д) 3; е) е2; ж) 1е ;

з) е6; и) е2;

к) 0; л) –1; м) 0,3; н) 2;

о)

1 ;

п)

; р) 1;

с)

1 .

Занятие № 18

Тема: Непрерывность функции одной переменной

Задания первого уровня

1.Пользуясь определением непрерывности функции, доказать, что функция у = 4х3 – 5х + 6 непрерывна при любом х.

2.Исследовать на непрерывность функции:

2x 4

а) f x

; б) f x

; в) f x 4

;

x 3

2x 4

x(x 1)

г) f x

1 x

3.Исследовать на непрерывность функцию

f x 2x при 1 x 1,

x 1 при1 x 4.

Построить график этой функции.

4. Исследовать функцию f x 2x 3 в точках х1 = 3, х2 = 4.

1 на непрерывность

Задания второго уровня

1.Исследовать функцию у arctg 1x на непрерывность и по-

строить ее график.

2.Исследовать на непрерывность функцию у 6x 3 1 в точ-

ках х1 = 3 и х2 = 4.

			1
3.	Исследовать на непрерывность функцию	у 7		5 х		1 и по-
строить ее график.
4.	Исследовать на непрерывность функцию	у	х2		9		и по-
				х	3

строить ее график. 42

5. Исследовать на непрерывность функцию

0	при х 0,
	при 0 х 1,
x	при 0 х 1,
f x
x2 4x 2 при 1 х 3,
	x при х 3.
4	x при х 3.

Построить ее график.

6.Исследовать на непрерывность функцию

		4		при x 1,
x
		2	2 при		1 x 1,
f x x
	2x
				при1	x .

x 1

Построить ее график.

Домашнее задание

1.Исследовать на непрерывность функции:

а) f x	3x 6	;	б) f x	1			2 .
	3x 6			1
	3x 6				1
	3x 6			21 x		1
				21 x		1

2.Исследовать на непрерывность функцию у 2х 5 и пост-

роить ее график.

3.Исследовать на непрерывность функции:

	2х при х 0,					х при х 0,
а)		х при0	х 4,		б)		х	2	при0 х 2,
а)		х при0	х 4,		б)		х		при0 х 2,
	1 при х		4;				х 1 прих 2;

		1 x при x 2,
в)	f		x
в)	f	( x)	x	при x 2.

			3
		x	3

Построить ее график.

cos x при x 0,

г) f (x) x 1 при 0 x 1,

x2 1 при x 1.

Построить ее график.

Ответы

1.а) x = 2 – точка разрыва 1-го рода, б) х = 1 – точка разрыва 1-го рода.

2.х = 5 – точка разрыва 2-го рода.

3.а) х = 0 – точка непрерывности,

х= 4 – точка разрыва 1-го рода; б) х = 0 – точка непрерывности,

х= 2 – точка разрыва 1-го рода;

в) х = –2 – точка разрыва 1-го рода,

х= –3 – точка разрыва 2-го рода; г) х = 0 – точка непрерывности,

х= 1 – точка разрыва 1-го рода.

Занятие № 19

Тема: Производная функции одной переменной, заданной явно

Задания первого уровня

1.Продифференцировать следующие функции:

в) у 5x3 3x2 x ax 7 1 ;

а) у х7 ;

б) у 3 х2 ;

г) у а

х х а ;

д) у 1

х3

х4

13 х5

2х6 4 х7

;

2х 3

е)

у х

; ж)

; з)

(5x

7) ;

х2 5х 5

и)

у х3 sin х; к)

у (5x2

7x 2)3 ;

л) у (1 5x 8x2 )5 ;

м) у (a bx)

; н) у

2 х

;

1 x

о)

у sin15х cos4x sin 2x2 arcctg7x5 ;

п)

у tg

;

р)

у ecos

ctg

;

с)

у ln ах2

b х3 ;

у arcsin 2x log2 x2 7x 5 ;

т)

у 2х2

3 tg6x 1 ;

у)

ф)

;

х)

у ( x 5)

(3x 5) .

у arctg

(2x 7)

Задания второго уровня

Продифференцировать следующие функции:

у tg

x cos7x sin5x

7 . 2.

х3

х2

е х

х3

х2 7х

2х

. 4. у

23х

х2 1

2 22 х

cos(2х

х) .

у sin

7х

у ln x

x2 7 arcctg 4x .

у (2sin

ctg2

)4 ;

у еctg 2 x log (arcsin 2x) .

10.

у cos

;

1 х

11.

у ( х 3)4 arccos5x3 .

12. у arcsin

4x 1

ln 4 1 tg 4x .

2х 1

13.у (3 4 х2 1 х arctg 3x)4 .

14.	у 2а 3bх (2а 3bх)2				4а 6bх .
	4	х2	7х 8 6 х4 1
15.	у			.
15.	у	3	х3 3х2 х 4	.
		3	х3 3х2 х 4

Домашнее задание

1.Вычислить уꞌ(х0) для функций у(х):

а)

cos х

;

б)

у arcsin x

;

x 0 .

sin х

sin x 1

2.Продифференцировать следующие функции:

а)

3 х2

2 tg3x

7x9

;

б) у ln 2 2ln 2x x 5

x 1 3 ;

в)

sin3 x

x ;

г) y 4 cos 2 x

arcsin

;

cos2 x

x2 1

д)

y arctg(x

1 x

) ;

е) y cos

sin

x e2 ;

arcctg 3x

arcsinx2

x tg

ж)

x arccos3x)

;

з)

x3 1

2x ;

и) y

(x 3)2 2x 1

;

к) y

x 2

3 (x 1)2 2x 1

(x 1)3

Ответы

1. а) 2;

б) –4;

2. а)

63 x8 ;

9 3 x

cos2

б)

5 (x 1)3

;

55 (x 1)2

в)

sin x cos x

2sin 2x

2 x ln 2

;

cos4 x

г) 4

cos 2 x

ln 4

sin 2x

x2 1

1 x2

. д)

cos2x

x4 3x2

(x2 1)2

2 1

1 x

е)

cos

sin

2sin

;

arcctg3x

ж) 4(5

x arccos3x)

ln5

arccos3x

;

1 9x2

2x x3

1 9x

3x2 arcsin x2

6x tg2 2x tg3 2x ;

з)

1 x4

(x3 1)2

cos2 2x

и)

x 3 19x 17

;

к)

2x2 9x 1

(x 1)4

x 2 3 (x 1)5 (2x 1)4

Занятие № 20

Тема: Производная функций, заданных неявноипараметрически. Геометрическоеприложениепроизводной

Задания первого уровня

1.Найти производную уꞌ(х):

а) х2 2ху у3 1 ;				б) y 1 xey ;			в) х у ln			x	0 ;
а) х2 2ху у3 1 ;				б) y 1 xey ;			в) х у ln				0 ;
										y
г)	y4 4х2 у a2 0 ;			д)	x t t3		; е)		t2	;
г)	y4 4х2 у a2 0 ;			д)		y t2 2	; е)	x e		;
						y t2 2			y arcsin t
	x t sin t
ж)	x t sin t		.
ж)		cost	.
	y 1	cost
2.	Написать уравнение касательной к кривой									х5 у5 2ху 0

вточке М0(1; 1).

3.Написать уравнения касательной и нормали к графику

функции у е1 х2 в точке с абсциссой х0 = –1.

4. Написать		уравнения касательной и нормали к графику
функции	у 3t2		в точке t0 = 1.
функции	х 3t t2		в точке t0 = 1.
	х 3t t2

			47

Задания второго уровня

1.Найти производную у'(х):

а) еху х3 у3 0 ;

б)

xy arctg

;

в) 3x2

arcsin y ey

y2 ;

г) x y2 ln

0 ;

д) tg xy xy ;

х 2t sin 2t

;

е)

y sin3 t

х tg t ctg t

ж)

;

з)

1 t

у 2ln ctg t

1 t

Написать

уравнения

касательной и нормали к графику

функции х3 у2 2х 6 0 в точке с ординатой у0 = 3.

Составить

уравнения

касательной и

нормали

кривой

у х3

2х2 8 в точке ее пересечения с параболой у 2х2 .

Составить

уравнения

касательной и

нормали

кривой

х 3cost

в точке М0

у 4sin t

, 2 2 .

Домашнее задание

1.Найти у'(х) в точке М0(0; 1), если еу xу e .

2.Найти у'(х) в точке М(1; 1), если х3 2х2 у2 5х у 5 0 .

3.Найти производную у'(х):

а) arctg

х2

у2 ;

б) 4.

xy ex y

х tg t

в)

x2 sin 3y y2

tg x 7;

г)

;

2cos2t

у sin 2t

д)

х ln(1 t

)

;

е)

x et cost

при t

y et sin t

у t arctg t

4.Написать уравнения касательной и нормали к графику

функции у х3 2х2 4х 3 в точке с абсциссой х0 2 .

5.Написать уравнения касательной и нормали к графику

функции у 3tg2х 1 0 в точке с абсциссой

Написать

уравнения

касательной

нормали

графику

функции у ln х2

4х 4 в точке с абсциссой х0 = 1.

Написать

уравнения

касательной

нормали

графику

1 t

в точке М0(2; 2).

функции

8.Найти координаты точки А кривой у 4х х2 , в которой

касательная

к данной кривой

перпендикулярна

данной прямой

х – 2у + 6 = 0.

Ответы

х у

ех у

2х sin3у cos2 х у2

. 2.

. а)

;

б)

х у

. в)

;

х у

х е

cos3у 2 уtgх)

cos х(3х

г) 2cos t(cos2t 2sin 2t) ;

д)

;

е)

3; 4. y 5 0;

х 2 0.

5. у 6х 1 3 ,

х 1

. 6. 2x y 2 0, x 2 y 1 0.

7. 7x 10 y 6 0 , 10x 7 y 34 0 . 8. А(3; 3).

Занятие № 21

Тема: Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков

Задания первого уровня

Найти

d2 у

, если:

dx2

х 2t

а)

у 6х 1 4 ;

б) у

5 ctg6х ;

в)

;

у 3t2

х е t

г)

; д)

у 1 х е

; е)

3аху 0 .

у t3

2.Найти dу, если х2 2ху у2 а2 .

3.Найти дифференциалы второго порядка функций:

а) у cos5х,	х2	.
	б) у 5

4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала с точностью до двух знаков после запятой следующие значения:

а) е0,2; б) 70; в) arcsin 0,54.

Задания второго уровня

1.Найти у''хх, если:

а)	у 1		х2 arctg х; б) у log2	3 1 х2 ; в)	х 2cost	;
а)	у 1		х2 arctg х; б) у log2	3 1 х2 ; в)	у 4sin2 t	;
					у 4sin2 t
		3t	; д) еу ху е; е) у sin х у .
г)		х е	; д) еу ху е; е) у sin х у .
		у tg t

2.Найти dу, если у е у .

3.Найти dу, если х у 2 2х у 3 1.

4.Найти дифференциалы второго порядка функций:

а)	у ln	1 х2		; б)	у arctg	4х 1.
		1	х2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf