Математика. Ч. 2-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а) 4x2 4x 2 y 1 0 ; б) x

16z2 64z 18 y 199 0 ;

9 y2 16x 90 y 205

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

521.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Пример 1. Построить точку М(3; 4 ) в полярной системе коор-

динат.

Решение.

Пример 2. Записать в полярных координатах уравнение окружности радиуса R с центром в полюсе.

Решение. x2 y2 R2 ,

( cos )2 ( sin )2 R2 , 2 R2 R.

Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат имеет вид

	р	,	(1.3)
1	cos

где р – параметр; ε – эксцентриситет.

При ε < 1 уравнение (1.3) определяет эллипс, при ε > 1 – гиперболу, при ε = 1 – параболу.

Задание

1)Какая линия определяется уравнением φ = const в полярных координатах?

2)Построить точки A1(2; 4 ), A2 ( 2; 4 ), A3 ( 2; 45 ).

3)Дана точка M ( 3; 1) в декартовых координатах. Найти ее

полярные координаты.

4) Найти прямоугольные координаты точки А, полярные координаты которой (2; 4 ).

5)Написать в полярных координатах уравнение окружности

сцентром в точке О1(4; 0) и радиусом равным 4.

6)Построить кривую, заданную уравнением в полярных коор-

динатах 2 9sin 2 (лемниската Бернулли).
7) Определить, какая линия задана уравнением	9	.
7) Определить, какая линия задана уравнением	5 4cos	.

Записать в декартовых координатах уравнение этой линии.

Домашнее задание

1)Преобразовать к полярным координатам уравнения кривых:

а) x2 y2 16 ;

б) x2 y2 4 ;

в) x2 y2 4х;

г) (x2 y2 )2 a2 (x2 y2 ) , где a 0.

2)	Построить графики функций:
а) аcos2 (четырехлепестковая роза);
б) а , где а > 0 (спираль Архимеда);
в) 2а(1 cos ) , а > 0 (кардиоида).
3)	Определить, какая линия задана уравнением	3	.
		1 cos

Занятие № 14

Тема: Поверхности второго порядка Задания первого уровня

1.Какие поверхности заданы уравнениями:

а) 4х2 + 9y2 + z2 = 36; б) 4х2 + 9y2 – z2 = 36; в) 4х2 + 9y2 – z2 = –36; г) z = 3х2 + 4y2; д) z = 3х2 – 4y2; е) х2 + y2 = z; ж) y2 + z2 = 1;

з) y2 – z2 = 0.

2.Составить уравнение поверхности, образованной вращением

линии	ру2 z	вокруг оси OZ.
	х 0

Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(–1; 2; 5) лежала на поверхности. Определить название поверхности и построить ее.

3.Назвать и построить поверхности:

а) y2 = 4x; б) x2 = y2 + z2; в) x2 + y2 = 2y – z2 – 1; г) x2 + z2 = 16y; д) z = 3 + x2 + y2; е) x2 + y2 + 2x + z2 – 4z = 0; ж) x2 + y2 + 2z2 = 2.

Задания второго уровня

1.Какое из уравнений a) x2 = 3y; б) y2 = 4z; в) z2 = 6y является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OX, и направляющей-параболой?

2.Составить уравнение поверхности, образованной вращением

линии x2 pz2 p вокруг оси ОХ и подобрать значение парамет-

y 0

ра р так, чтобы точка А(3; 2; –2) лежала на поверхности. Определить название поверхности и построить ее.

3. Описать следующие поверхности второго порядка:

а)	y2 z2 x 0;	б) x2 3y2 4z2 12 0;
в)	x2 4 y2 16;	г) y2 8z.

4.Назвать и построить поверхности:

а) x2 y2 z2 2x 4 y 1 0;

б) 9x2 y2 90x 214 0;

в) x2 z2 10x 4z 28 0;

г) 2x2 6x 3y 6 0;

д)

е) 4x2 z2

8x 16 y 6z 3 0;

ж) x2

y2 z2 5

Какая линия задана уравнениями

x 1 0

Домашнее задание

1. Какую поверхность определяет уравнение z x2 y2 ? 16 9

2.Составить уравнение поверхности, образованной вращением

линии	x2	pz2	5	вокруг оси OZ, и подобрать значение парамет-
линии				вокруг оси OZ, и подобрать значение парамет-
	y 0
				33

ра p так, чтобы точка А(1; 3; –1) лежала на поверхности. Определить название поверхности и построить ее.

3.Назвать и построить поверхности:

д) 4x2 9 y2 9z2 16x 18 y 18z 34 0 ; е) 6x2 12x 4 y2 16 y z2 6z 1 0 ;

ж) 9x2 16 y2 36z2 54x 64 y 288z 431 0 .

Ответы

1. Гиперболический параболоид.

2. Однополостный гиперболоид вращения.

3. а) параболический цилиндр; б) эллиптический параболоид; в) гиперболический цилиндр; г) эллиптический цилиндр; д) двуполостный гиперболоид; е) однополостный гиперболоид; ж) конус второго порядка.

Занятие № 15

Тема: Операции над множествами. Числовая последовательность и ее предел

Задания первого уровня

1. Найти A B , если А 2, 3, 4, 6 , В 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

2.Найти A \ B, B \ A, если А 2, 3, 4, 9 , В 2, 3, 5, 7 .

3.Зная общий член последовательности хn 5n написать ее первых 10 членов.

4.	Дана последовательность 1,	1	,	1	, ,		1	, Написать об-
		8		27		1000

щий член последовательности. 34

5. Указать предел а числовой последовательности хn , где

хn n3n1 . Пользуясь определением предела числовой последова-

тельности, найти номер члена последовательности, начиная с кото-

рого хn a 0,001 .

6.Найти предел числовой последовательности с общим чле-

ном а)	х	1 8n 7n2	n4	; б)	х	1	sin 5n .

	n	3 n2 4n4			n	n

7.Найти указанные пределы:

а)

lim

; б)

lim

5n2 4n 1

;

в)

lim

5 6n 5n2

;

3n2 n 8

2n 17

n n2

n n3

г)

lim

n3 7n2

; д)

lim

n .

5n 1

n 7n

Задания второго уровня

1.А – множество делителей 42 и В – множество делителей 18.

Найти	A B, A B . Что представляет собой наибольший элемент
A B ?	Дана последовательность, общий член которой х 5n 1 .
2.
	n	n 2

Доказать, что эта последовательность возрастающая.

3.Найти общий член последовательности а) 13 , 72 , 113 , 154 , ; б) 13 , 115 , 12 , 1121, 137

4.Указать предел а числовой последовательности хn , где

хn 2n 3 . n 4

Пользуясь определением предела числовой последовательности, найти номер члена последовательности, начиная с которого

хn а 0,0001 .

5. Написать несколько членов последовательности хn , где

n 1 cos n

. Существует ли lim х ?

n n

Найти

предел

числовой

последовательности с общим

членом

а)

3n2

; б)

3n3 1

;

2n 1

n3 5n 7

в)

sin n

;

г) х

1 2 3 n .

5n 4

7.Вычислить следующие пределы:

а)

lim

3 n2

;

б)

lim

3n4 4n 1

; в)

lim

2n3

;

n 7n2

3n2 4n 5

n 6

n 6n5 7n 1

г)

lim

1 ;

д)

n3 3n 5

n 1

n 4

lim

; е) lim

n 1

Домашнее задание

1.Написать несколько членов последовательности хn , где

х	4n 1	cos n	. Существует ли lim х ?
n	2n	4		n n
2.	Дана последовательность			хn , общий член	которой
хn	3n 5	. Доказать, что последовательность хn убывающая.
хn	n 1	. Доказать, что последовательность хn убывающая.
	n 1				хn , где
3.	Выяснить,		ограничена ли	последовательность	хn , где

хn 5 3n 1 .

4.Указать предел а числовой последовательности хn , где

хn 2n 1 . n 1

хn а 0, 001.

5.Найти предел числовой последовательностис общим членом

а)

6n2

5n 1

; б)

cos3n .

2n2 7

6.Вычислить следующие пределы:

а)

3n4 2n2 7

n2 n 5

;

lim

;

б) lim

;

в) lim

3n 5

n n

г)

lim

n 2

n ;

д) lim

5n2 4

;

е)

lim cos2

n2 .

n 1

n n 3

Ответы

1. Нет. 3. Нет.

4. а = 2, n > 999.

5. а) 3, б)

. 6. а)

, б) 0, в) 0, г) 0, д)

5 , е) 0.

Занятие № 16

Тема: Числовая функция и ее предел

Задания первого уровня

1. Показать, что предел функции y = 3x – 5 в точке х0 = 2 равен b = 1. Для данного ɛ = 1 найти такую δ – окрестность точки х0 = 2, чтобы для всех х, взятых из этой окрестности, выполнялось не-

равенство y b .

2.Вычислить следующие пределы:

а) lim

х2 4

;

б)

lim

2х2 х 3

;

в)

lim

10х7 6х4

;

2x 1

8х

х7 4х

х 2

х х3

г) lim

3х5 2х3 2

;

д) lim

х2 7х 10

;

е)

lim

x 4 5

;

х2 10

х2 4

х2

х 2

х 9

ж) lim

; з) lim

1 ;

х 1

и) lim

х2 9

;

к)

lim

х2

2х 3

х 1

х 3

	Задания второго уровня
1.	Показать, что функция у	х2	4	в точке х0	= –2 имеет пре-
		х	2
	равный b = –4. Для данного
дел,		ε = 0,01 найти			δ – окрестность

точки х0 = –2, чтобы для всех х, взятых из этой окрестности, выполнялось неравенство у b .

2.Вычислить следующие пределы:

3х

х3

х2 2

;

в)

х3

2х2 3

;

а)

lim

; б)

lim

2х

х 2

г)

lim

3х2 x

1 х x2 2

;

д)

lim

2х2

7х 5

;

2x3

4х2 9

х3 1

х 1

е)

lim

1 2х2

;

ж) lim

x 1 2

;

з) lim

3 x 1

;

х2 x3

х 0

х 3

2 1

х 1

4 x

и)

lim

2 ;

к)

lim

;

х 2

1 x 1

л)

lim

;

м)

lim

1 x 1

х 2

x 2

х 0

Домашнее задание

Показать, что предел функции у 5х2

4х 1 в точке х0 = 1

х 1

равен b = 6. Для данного ε = 0,1 найти такую δ – окрестность точки х0 = 1, чтобы для всех х, взятых из этой окрестности, выполнялось

неравенство

y b

Вычислить следующие пределы:

а)

lim

t2 20 lg t

t2 20 ; б)

lim sin x sin 2x sin 3x ;

t 6

7х

2х 3 ; г)

5х

4х 2

6х 2

в)

lim

;

д)

lim

;

е) lim 33х 4

;

х3 4х 1

х 5х2 4х 4

х х2 1

ж)

х 1 x

з) lim

х2

2х 1

; и) lim

2х2 11х 5

;

lim

;

2х 5

3х

14х 5

х 1

х 5

к)

н)

п)

lim

х2 2 3 x 1

;

л) lim

1 x 1 x

;

м) lim

3 5 x

;

x 1 2

5 x

х 1

х 0

х 4

lim

x 2 1

;

о)

lim

х2 х 6 4x2

2 ;

х 3

4x 3

lim

; р)

lim

5х 6

х .

х 2

									Ответы
1.				1	.	2. а) 23; б)		1	;		в) 7	;	г) 0; д) ∞;	е) 9;		ж) 0;		з) 0;
			30					2
		9				1			1		5	1		1			5
и)			; к)				; л) 1; м)			;	н)		; 0) ; п)		; р)			; .
	16					9			3			4		4			2

Занятие № 17

Тема: Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Применение бесконечно малых функций

для вычисления пределов

		Задания первого уровня
1.	Доказать,	что бесконечно малые функции	1 х 1 и	1	х
при х → 0 будут эквивалентными.				2
при х → 0 будут эквивалентными.
2.	При х→0	х 2х2 5х3 х5 и х 3х2	9х4 являются

бесконечно малыми функциями. Сравнить их.

3.Вычислить пределы:

а)

lim sin 7х

;

б) lim

3х

;

в) lim x ctg 4x ; г) lim

tg 3x

;

х 0

х 0 tg5х

х 0

х 0 sin 6х

д)

lim

sin2 4х

; е) lim

1 cos 2х

; ж) lim

sin8х sin 2x

;

4х2

2х2

4х

х 0

з)

л)

x 3		x		2

lim	;		и) lim	1 sin x		;	к) lim
					sin x

х x 2			х 0				х 0

lim	ln(1 3x)	; м)	lim	1	1
						.
	arcsin 7x			x sin x
х 0			х 0		x tg x

sin5х ; x х2

Задания второго уровня

1.При неограниченном возрастании х функция у х21 1 явля-

ется бесконечно малой. Доказать это.

2. При х → 0 х 1 cos х	и	х		х3		является беско-
			3		х

нечно малыми функциями. Сравнить их порядок.

3.Определить при х → 0 порядки малости относительно х

функций: а)	2х	; б) 1 cos х ;	в) tgх sin х .
	1 х

4.Вычислить пределы:

а)

lim

sin 4х

;

б) lim

tg2 2х

;

в)

lim

tg 2x arcsin 3х

;

х 0 sin 3х

х 0

sin

х 0 sin 3х arctg 2x

arcsin

г) lim

1 x2

;

д)

lim sin5х sin 3x ;

х 0

ln(1 x)

х 0

sin х

е)

lim cos х cos3x ;

ж)

lim 1 cos х

;

з) lim

1 cos4x

;

х 0

х 0 cos x cos7x

x tg 9 x

ctg 4 x

x 1

2x 1

и) lim

1 5tg 4x

; к)

lim

;

л) lim

;

2x 3

х 0

м)

lim e3x 1

; н) limsin

x 3

tg x

;

о) lim

cos2x cosb

;

х 3

х 2

п)

lim x (ln(x 1) ln x);

р) lim sin 2x cos2x 1; с)

lim ex e3 .

sin x cos x

х 3

x 3

х 4

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf