Математика. Ч. 2-1

2х 4 у 5z 1

2х1 3х2 11х3 5х4 2

4х 3у 5

х1 х2 5х3 2х4 1

а)

; б)

; в)

.

х 3у 7z 2

2х1 х2 3х3 2х4 3

5х 2

у 8

3х 5у 8z 5

х

х

3х

4х 3

1

2

3

4

Ответы

24

13

2

3

3. (0; –2; 1).

1. Х

34

18

.

2. Х

.

1

1 0 2

0

1 0 3

2

3

5

6

1

2

4

3

7

а)

3 0 6

0

;

б)

2

3

1

3

;

в)

.

5

9

9

8

5 0 10

0

3

6

1

8

1

3

0

13

х у z 5

х 2 у z 4

х у z 1

а)

х у z 1 ;

б) 3х 5у 3z 1 ;

в) 2 х 2 у 2z 2 .

х z 2

2х 7 у z 8

х 3у 1

2х 3у z 5

3.

Решить систему методом Гаусса

х у 2z 7 .

2х у z 1

1 0 3

0

0 2 1

4

1

6

7

1

4

а)

4 0 12

0

;

б)

1 1

1 3

;

в) 3

5

11

1

6

.

12

5

3

1

4

6 0 18

0

2 5

1

11

25 10

5

30

15

х1 2х2 3х3 х4 5

2х1 4х2 5х3 1

а)

3х1 х2 7х3 2х4 9 ;

б)

х1 3х2 7х3 2 ;

2х

3х

4х

3х 7

3х

5х

8х

5

1

2

3

4

1

2

3

х1 х2 2х3 2х4 2

х1 2х2 3х3 0

3х

2х

х

х 1

1

2

3

4

в)

5х

3х

4х

2х 4

; г)

2х1 3х2 4х3 0 .

1

2

3

4

3х 4х 5х 0

7х

4х

7х

5х 7

1

2

3

1

2

3

4

х 2 у 5z 3

2х1 х2 х3 х4 1

2х1 х2 3х4 2

а)

б)

.

2х 4 у z 6 ;

3х1 х3 х4 3

3х у 3z 2

2х

2х

2х

5х 6

1

2

3

4

2

2 1

1

1 1

1 2

1

3

2

5

2

4

3

1

3 1

1

2

1

1

1

1

а)

; б)

; в)

0

2

5

4

1

3

3

3

3

4

7 11 .

1

0

0

4

5

5

5

7

7

15 7 11

1

1

5

6

х 5у 4z 5

х у z 9

2х 3

у z 2

3х 3у 2z 5

2.

Решить систему: а)

; б)

;

3z 4

4х у

2х 7 у 4z 1

х 2 у

2z 3

2х 5у z 15

3х1 4х2 х3 х4 0

х у z 0

в)

; г)

3х у z 0 .

6х 8х 2х 3х 0

1

2

3

4

2х 3у z 0

2х 2 у z 9

3.

Решить систему методом Гаусса: а)

3х 5у 2z 1 ;

х у z 2

2х1 х2 х3 2

х

3х

х 5

б)

1

2

3

х х 5х 7 .

1

2

3

2х 3х 3х 14

1

2

3

4

1

1.

Построить вектор u 2a

3в

с

d .

2.

Вычислить проекцию

вектора

3

2

а

на ось OX, если даны

а

4

и угол наклона α

π

вектора а к оси ОХ.

4

13

3.

Даны

точки М1(1,3,5),

М2(2,4,–1). Найти

модуль

вектора

М1М2 .

а 1, 3,4 , в 2,1,3 , с 2,5,4 .

4.

Даны

векторы

Найти

векторы: 5а, 3в 7с, 3а 5в 6с.

5.

Найти орт вектора а 6,7, 6 .

6.

Найти угол между векторами а 3,1 и b 1,3 .

7.

Вычислить направляющие косинусы вектора а 3, 6,6 .

8.

Параллелограмм построен на векторах ОА i

j, ОВ k 3 j.

Определить длины диагоналей параллелограмма.

9.

Являются

ли

точки

А(–1; 2; 3),

В(2; –1; 1),

С(1; –3; –1),

D(–5; 3; 3) вершинами трапеции?

10.

Доказать, что в пространстве вещественных матриц второго

порядка матрицы

1 0

,

В

0 1

0

0

А

0 0

, С

0

являются

линейно-независимы.

0 0

1

а 2;4; 3

b 6; 4;2

11.

Найти угол между векторами

и

и проекцию вектора а на направление вектора b .

6 j 5k

12.

При

каком

значении

α

векторы

а αi

и

b

3i

2 j αk взаимно перпендикулярны?

а 2i 3 j αk

13.

При

каких

значениях

α и

β векторы

b

βi

6 j 2k коллинеарны?

2 j 2k ,

14.

Найти вектор

х

коллинеарный вектору а i

об-

разующий с ортом

j

острый угол и имеющий длину

х

15.

Задания второго уровня

1.

Даны векторы а 2i 3 j 4k

и b 3i

2 j 5k .

Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих

векторов.

14

2.

В

равнобедренной

трапеции

ОАСВ

угол

BOA 60 ,

2, М,

N – середина сторон ВС и АС. Выразить

ОВ

ВС

СА

n – единичные векторы

векторы ОМ,

АС,

ОN ,

МN через

m и

направлений ОА и

ОВ.

3.

Найти проекции вектора

на координатные оси и его

АВ

направляющие косинусы, если А(2; –1, 4) и В(1; 3; 2).

4.

Даны

три

последовательные

вершины параллелограмма:

А(1; –2; 3), В(3; 2; 1), С(6; 4; 4). Найти вершину D.

5.

Дана точка М(5; –3; 4). Определить длину и направление

ее радиус-вектора.

а

2

6.

Дан модуль вектора

и углы его наклона с коорди-

натными осями α 45 ,

β 60 , γ 120 .

Вычислить координаты

этого вектора.

7.

Найти вектор х,

образующий со всеми тремя базисными

ортами равные острые углы, если

х

2 3 .

х1 3;4;0 ,

8.

Будут

ли

линейно

зависимы

векторы

0;

3;1 ,

0;2;5 ?

х2

х3

9.

Векторы

координатами

своих

концов

АВ и

СD заданы

А(1; –3; –4), В(–1; 0; 2), С(2; –4; –6), D(1; 1; 1).

Определить угол

между этими векторами и проекцию вектора

ВС

на направление

вектора АD .

10.

Найти угол между векторами

а 2m 4n и

в

m

n ,

где

m и n

– единичные векторы, образующие угол 120°.

2i

k ,

11.

На

материальную точку

действуют

силы

f1

j

,

2k

. Найти работу равнодействующей

f2

i

2 j

2k

f3 i j

этих сил R

при перемещении точки из положения А(2; –1; 0) в поло-

Домашнее задание

1.

Найти координаты вектора с 2а 3b , если

а 2; 3;1 ,

b 4; 3; 5 .

а i j 2k ,

b i j 4k . Определить

2.

Даны векторы

проекцию вектора а

на направление вектора b и проекцию векто-

ра b

на направление вектора а .

3.

Даны три вершины

А 3; 4; 7 ,

B 5; 3; 2

и С 1; 2; 3

параллелограмма АВСD. Найти четвертую вершину D, противо-

положную В.

х коллинеарный вектору а ,

4.

Определить

вектор

если

а 6i 8 j 7,5k ,

х

50 .

Вектор

х

образует

острый

угол

координаты точки М, если ее координата z отрицательна, и выра-

зить вектор ОМ r через орты i ,

j,

k .

k

6.

Найти вектор х , образующий с ортом

j

угол 60°, с ортом

– угол 120°, если

х

5 2 .

7.

Является

ли

линейно-независимой

система векторов

2; 2; 2 ?

х1

1;1; 1 , х2

х1

1; 3; 2 ,

х2 2; 3; 4 ,

8.

Показать,

что

векторы

3;12; 6 линейно зависимы.

х3

10.

Даны вершины

треугольника

А(–1; –2; 4), В(–4; –2; 0),

С(3; –2; 1). Определить внутренний угол при вершине В.

11.

2

n – единичные векторы

Вычислить m n , если m и

1. с 8; 3;17 . 2.

8

,

8

.

3. D(9; –5; 6). 4. х

24; 32; 30 .

3

2

6

5. М 3 2; 3; 3 , r 3 2 i 3 j 3k . 6. х 5i

5

j

5

k.

2

2

7. Нет. 9. π .

10. π .

11.

2

3 . 12. 4.

2

4

2.

Найти

векторное

произведение

векторов

а b , где

а 5i

4 j 3k , b i 2

j 4k.

3.

Вычислить

а1 а2

, если

а1

1 ,

а2

2 , а1, ^а2

2 π.

3

4.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-

торах а 1; 3; 5 , b 3; 4; 6 .

5.

Вычислить смешанное произведение векторов а 2;1; 1 ,

b 4; 3; 1 , c 8; 6; 3 .

6.

Сила

F 2i 4 j 5k

приложена к точке А(4; –2; 3). Опре-

б) а 1; 1; 3 ,

b 4; 4; 2 ,

с 3; 2;10 .

8.

Компланарны ли векторы а 2; 3; 1 ,

b 1; 1; 3 ,

с 1; 9; 11 ?

9.

Вычислить объем треугольной пирамиды, построенной на

векторах а i 2 j 3k , b i j 2k , с 2i

j k .

Задания второго уровня

1.

Упростить выражения:

а) а b с с а b с b b с а ;

рах а

2b и 3а

2b , если

а

b

5 , а,^b 4π .

Сила F

i 2 j 4k

5.

приложена к точке М(3; 2; –1). Найти

ляемые им с координатными осями.

6.

Какой ориентации тройка векторов A1 A2

,

A1 A3

,

A1 A4

, если

5 ,

π

торах а

m 2n

, b m 3n , где

m

n

3 , m,^n

6 .

D(4; 1; 3). Найти:

;

1)

длину ребер

АВ,

АС

, АD

2)

скалярное произведение векторов

АВ

и 3 АС;

3)

угол между ребрами

АD и

АС;

4)

площадь грани АВС;

5)

объем пирамиды;

АВС.

6)

длину высоты, опущенной на грань

6.

Даны четыре вектора а ,

b , с , d

:

а 1; 2; 3 ,

b 1; 3; 2 , с 7; 3; 5 ,

d 6;10;17 .

Показать, что векторы а , b ,

с образуют базис и найти вектор d

в этом базисе.

Ответы

1. –1. 2. 5; 3. 37,5.

2

5. 1) 54 ,

14 , 2 3 ; 2) 45; 3) arccos

; 4) 11,5; 5) 3; 6) 0,78;

42

6. d 2а 3b с.