Математика. Ч. 1_3
.pdf
Вектор a(2, 3) параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение в каноническом виде можно записать:
x 2 y 3. 2 3
Оно приводится к виду 3x – 2y – 12 = 0.
Задание 1.8.
Записать уравнение кривой в каноническом виде, определить ее вид и построить кривую.
Уравнение а: 4x2 + 32x + 9y2 ‒ 54y + 109 = 0; уравнение б: y2 + 4y ‒ 6x + 10 = 0.
а) Выделим полные квадраты при входящих в уравнение переменных:
4(x2 + 8x + 16) ‒4 16 + 9(y2 ‒ 6y + 9) ‒9 9 + 109 = 0.
4(x + 4)2 + 9(y ‒ 3)2 ‒ 36 = 0.
Приведем уравнение к каноническому виду, разделив его на 36:
(x 4)2 ( y 3)2 1. 9 4
Полученное уравнение является уравнением эллипса:
(x x0 )2 ( y a2
Здесь a и b – полуоси эллипса, эллипса.
Построим эллипс (рис. 1).
y0 )2 1.
b2
а x0 и y0 – координаты центра
51
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
8 |
6 |
4 |
2 |
0 |
|
|
x |
|
|
Рис. 1. Построение эллипса, отвечающего заданному уравнению |
||||
б) Выделим полный квадрат при y:
y2 + 4y ‒ 6x + 10 = 0;
(y2 + 4y + 4) ‒4 ‒ 6x + 10 = 0.
Тогда (y + 2)2 ‒ 6(x ‒ 1) = 0 или (y + 2)2 = 6(x ‒ 1).
Полученное уравнение является уравнением параболы:
(y ‒ y0)2 = 2p(x ‒ x0),
где p – параметр параболы; x0, y0 – вершина параболы. Построим параболу (рис. 2).
52
5
0 |
2 |
4 |
6 |
y
5
10
x
Рис. 2. Построение параболы
4.2. Решение типового варианта контрольной работы № 2
Задание 2.1.
Найти производную функции y (3x2 7)5 log2 e2x2 arctg 2x.
Решение. Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы и используя таблицу основных производных, получаем:
y ' 5(3x2 7)4 (3x2 7)' |
|
1 |
|
(e2x2 )' |
|
|
1 |
(2x)' |
||||||
|
|
|
|
|
4x2 |
|||||||||
|
e2x2 ln2 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
5(3x2 7)4 6x |
e2x2 4x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
e2x2 ln 2 |
1 |
4x |
2 |
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
y ' 30x(3x2 7)4 |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
1 4x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|||||||
53
Задание 2.2.
Найти производную 2-го порядка для функции y x5 cos2x.
Решение. Выполняя последовательное дифференцирование, находим:
y ' 5x4 2sin 2x; y" 20x3 4cos2x.
Задание 2.3.
Найти производную функцию, применив логарифмическое дифференцирование:
y |
ax b . |
|
cx d |
Решение. Прологарифмируем данную функцию по основанию e и получим:
ln y |
1 ln ax b |
|
1 |
(ln(ax b) ln(cx d )). |
|
2 cx d |
|
2 |
|
После дифференцирования обеих частей имеем:
1y y '
откуда
y ' 12
|
1 |
|
a |
|
c |
, |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
||||||
|
ax b |
|
cx d |
|
|||
ax b |
a |
|
c |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
cx d ax b |
|
cx d |
||
Задание 2.4.
Найти производную функции, заданной параметрически:
x cos 2t;y sin 2t.
54
Решение. Согласно формуле (5.13) имеем:
y 'x |
y 't |
|
cos 2t 2 |
ctg 2t. |
|
x 't |
sin 2t 2 |
||||
|
|
|
Ответ: y 'x ctg 2t;
Задание 2.5.
Вычислить приближенное значение функции tg 46 с помощью
понятия дифференциала функции в точке. Решение.
f (x x) f (x) df (x);
1 |
|
|
|
x 45 , |
x 1 0,0175; |
||||
tg(x x) tg x |
|
x, |
|||||||
cos2 x |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
tg46 tg 4 |
|
|
|
|
0,0175; |
||||
|
cos |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 46 |
1,035. |
|
||||||
Задание 2.6.
Провести полное исследование функции y x3 4 x2
ее график. Решение.
О.Д.З: x 0, x ; 0 0; .
Функция не является четной или нечетной.
y 0, x 3 4 ‒ точка пересечения с осью Ox. пересечения нет.
и построить
С осью Oy
55
Точка разрыва x 0, причем |
lim |
x3 4 |
|
4 |
, |
следова- |
|
x2 |
0 |
||||||
|
x 0 0 |
|
|
|
тельно, x 0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой графика. Проверим поведение функции на бесконечности:
lim x3 4 горизонтальных асимптот нет.
x x2
Проверим наличие наклонной асимптоты, для этого вычислим пределы:
k lim |
|
f x |
|
lim |
x3 4 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
x |
x |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f x |
k x |
|
x3 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
b lim |
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
lim |
|
|
0 |
y = x |
‒ |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
наклонная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследуем функцию с помощью производной первого порядка: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
x3 |
8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y = 0 при x = 2, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при x = 0 производная и функция не существуют. |
|
|
|||||||||||||||||||
Проверим смену знака производной через эти точки (рис. 3): |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ymin 2 |
12 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
y |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т. min
Рис. 3. Определение интервалов монотонности функции
56
В промежутках (– ; 0), (2; ) производная принимает положительные значения, поэтому функция возрастает. В промежутке (0; 2) функция убывает.
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции
иее точки перегиба, т. е. выполним исследование с помощью второй производной: y 24x2 . Так как y > 0, график всюду вогнут,
иточек перегиба нет.
Построим график функции (рис. 4).
y
y = x
3
0 |
1 |
2 |
x |
|
Рис. 4. График функции |
y |
x3 |
4 |
|
x2 |
||||
|
|
|||
Задание 2.7.
Вычислить предел с помощью второго замечательного предела:
57
|
3x |
4 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
lim |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
3x 2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
lim |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 3x2 8x 4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
3 |
e |
2 |
|
|||||||
lim 1 |
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел вычислили, используя следующие пределы:
|
|
2 |
3x 2 |
|
|
|
2x2 |
|
2 |
|
|
2 |
e и lim |
|
|
|
|
||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
3x 2 |
|
2 |
8x 4 |
3 |
||||||
x |
|
|
x 3x |
|
|
|
||||
Задание 2.8.
Найти предел, используя формулы эквивалентности:
|
tg |
3 |
1 |
arctg |
3 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
4 |
x |
|
|||||||||
|
|
x x |
|
x x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x |
|
|
|
|
lim |
|
0,3. |
|||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
5 |
2 |
|
|
1 |
5 |
|
|
|
x |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 10x4 |
|
||||||||||||||||
|
sin |
|
tg |
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x3 |
|
x |
x |
|
x3 |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задание 2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислить предел по правилу Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim tg2x ln tgx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
lim tgx tg2x |
lim etg2xln tgx ex 4 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
58
lim tg2x ln x |
|
неопределенность вида 0 |
|
|
lim |
ln tgx |
|
||
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
ctg2x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
неопределенность вида
lim |
sin2 |
2x |
|
|
|
||
x |
2sin x cos x |
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
sin2 2x |
|
0 |
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
||||
|
lim |
tgx |
lim |
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2tgx cos2 x |
|
|||||
|
|
x |
4 |
|
|
x |
4 |
|
|
||||
|
|
sin2 2x |
|
|
|||||||||
lim |
sin2 2x |
lim sin 2x 1. |
|
||||||||||
sin 2x |
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
59
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................. |
3 |
|
1. |
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ |
|
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА» ..................... |
4 |
|
2. |
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. РЕКОМЕНДУЕМАЯ |
|
ЛИТЕРАТУРА........................................................................................ |
6 |
|
|
2.1. Вопросы к экзамену................................................................... |
6 |
|
2.2. Рекомендуемая литература........................................................ |
8 |
3. |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ............................................................ |
9 |
|
3.1. Контрольная работа № 1............................................................ |
9 |
|
3.2. Контрольная работа № 2.......................................................... |
23 |
4. |
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ......... |
41 |
|
4.1. Решение типового варианта контрольной работы № 1......... |
41 |
|
4.2. Решение типового варианта контрольной работы № 2......... |
53 |
60