Математика. Ч. 1_3

8.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(–3; 2) параллельно прямой MN, если М(–3; –2), N(1; 6).

9.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(–3; 2) перпендикулярно к прямой ВС, если В(3; 5), С(1; –1).

10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А(2; 5; –1), В(–3; 1; 3) параллельно оси Оу.

11.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3; 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(5; 4), С(2; 1).

12.Найти проекцию точки А(4; 7) на прямую, проходящую через точки В(–4; –1) и С(2; 3).

13.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x ‒ y ‒ 12 = 0 и 4x ‒ 2y ‒ 18 = 0 перпендикулярно первой прямой.

14.Найти проекцию точки А(4; 7) на прямую, проходящую через точки В(1; –1) и С(3; –2).

15.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(5; 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(5; 7), С(2; 1).

16.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А(3; 4; –1), В(–2; –1; 3) параллельно оси Оу.

17.Найти проекцию точки А(3; 2) на прямую, проходящую через точки В(4; –2) и С(3; –2).

18.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 3) перпендикулярно к прямой ВС, если В(–1; 4), С(–2; 1).

19.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x ‒ y ‒ 2 = 0 и x ‒ 2y ‒ 3 = 0 перпендикулярно второй прямой.

20.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А(2; 5; –1), В(–3; 1; 3) параллельно оси Оу.

21.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения 2x ‒ y ‒ 3 = 0 и 3x ‒ 2y ‒ 5 = 0 перпендикулярно первой прямой.

22.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3; 5) перпендикулярно к прямой ВС, если В(–2; 3), С(4; –1).

23.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А(5; 3; –1), В(–3; 1; 3) параллельно оси Оz.

24.Найти проекцию точки А(2; 1) на прямую, проходящую через точки В(2; –1) и С(5; –2).

25.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(–3; 5) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2; –3), С(6; –1).

21

26.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения 3x + y ‒ 2 = 0 и 2x + 3y + 1 = 0 перпендикулярно первой прямой.

27.Найти проекцию точки А(2; 5) на прямую, проходящую через точки В(–2; –3) и С(7; –2).

28.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения 3x + 4y + 6 = 0 и 2x ‒ 4y ‒ 16 = 0 перпендикулярно второй прямой.

29.Найти проекцию точки А(7; 2) на прямую, проходящую через точки В(4; –1) и С(5; –3).

30.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А(5; 3; –1), В(–3; 1; 3) параллельно оси Оx.

Задание 1.8.

Записать уравнение кривой в каноническом виде и построить кривую.

3.2. Контрольная работа № 2

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Задание 2.1.

Найти производную y'.

1.y x ln(ex 2e2x e x 1);

2.y e2x (2 sin 2x) cos2x;

3.y 2ln(e2x 1) 2arctge x ;

4. y ln(ex 1) arctg ex ;

5.y x 3ln(1 2e2x ) 2actge x ;

6.y x arcsin ex ln(1 e2x )ex ;

7.y e xarctgex (arctge x )2;

8.y arctg(ex e x );

23

20.y x(cos(ln x) sin(ln x));

21.y ln3(1 cos x);

25.y ln(ex e2x 1 arcsin e x );

26.y x2 arcsin(1 x2 );

24

Задание 2.2.

Найти производную второго порядка. 1. y x cos x2;

2. y (3 x2 )ln x;

3. y (2x2 7)ln(x 1);

4. y ln(x 1) ; x 1

5. y lnx3x ;

6. y (4x3 5)e2x ; 7. y x2 sin(5x 3); 8. y tg2 x;

9. y (2x 3)ln2 x; 10. y (1 x2 )arctgx;

11. y 5 e7x 1; 12. y 2 x (4x 3);

13. y (2x3 1)cos x;

14. y ln(x 3) ; x 3

15. y e 2x sin(2 3x); 16. y (x2 3)ln(x 3); 17. y (2x3 1)cos x;

18. y sin 2x ; x

19. y (1 x x2 )ex/2; 20. y (3x 7)e x ;

21. y ln(2x 53) ;

2x 5 22. y e2x sin 2x;

25

23.y lnx5x ;

24.y cos2x ; x

25.y (x2 3x 1)e3x 2;

26.y e x (cos2x 3sin 2x);

27.y xsin(2x 1);

28.y (x3 x)e 2x ;

29.y (5x 1)ln2 x;

30.y ex2 x .

Задание 2.3.

Найти производную y', применяя логарифмическое дифференцирование.

1.y (arctg x)ln arctg x ;

2.y (sin x)ln sin x ;

3.y (sin x)5ex ;

4.y (arcsin x)ex ;

5.y (ln x)3x ;

6.y xarcsin x ;

7.y (ctgx)5ex ;

8. y xetg x ;

9.y (tgx)4ex ;

10.y (cos5x)ex ;

11.y (x sin x)ln x sin x ;

12.y (x 5)cos x ;

13.y (x3 4)tg x ;

26

14.y xsin x3 ;

15.y (x2 1)sin x ;

16.y (x4 1)cos x ;

17.y (sin x)5x ;

18.y (x2 2)cos x ;

19.y x5x ;

20.y x3x 3x ;

22.y xectg x;

23.y xecos x ;

24.y x2x 5x ;

25.y xe sin x ;

26.y (tg x)ln tg x ;

27.y xearctg x ;

28.y (x8 1)ln x ;

29.y x2x 2x ;

30.y (cos 2x)ln cos 2x .

Задание 2.4.

Найти производную функции, заданной параметрически.

1.x 2t t2;

y arcsin(t 1);

2.x arctg e2t ;y ln(tg e);

27

5.x ln(1 t2 );y (arccost)2;

x t sin t cost;

6.y arcsin(1 t2 ) ;

1 t2

x 2 tgt;

7.y sint t cost;

x (1 cos2 t)2;

9.y cost2 ;

sin2 t

x t(t cost 2sin t);

y t(t sint 2cost);

x 2t t2 ;

y t t2 1;

x arctgt; 12. y (t 1)3;

28

x arctg(t 1);

y 1 ln(1 t2 ) ln(1 t);

2

x ln(t4 9);

y 1 ;

cos2 t

x ln(1 sin t) ln(1 sin t); 18. y tg2t lncost;

29

23.x t t2;

y tg t ctgt;

24.x (arcsin t)3;y t arctg t;

x sin2t;

y t arcsin t;

27.x e3t ;

y t3 ln(1 t3);

28.x cos2 t;

y lncos2t;

29.x tg t3;

y arccos t2;

30.x t sin t;y t.2t2

Задание 2.5.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции f(x) в точке x x0.

1.f (x) 3 x, x0 7,76;

2.f (x) 3 x3 7x, x0 1,012;

3.f (x) 4 5x 1, x0 0,98;

4.f (x) 3 x, x0 27,54;

5.f (x) arcsin x, x0 0,08;

6.f (x) 3 x2 2x 5, x0 0,97;

30