Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

539.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Задание 1.2.

Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

3x1 2x2 x3 6x4 0; 1. 4x1 x2 x3 4x4 0;x1 4x2 3x3 2x4 0;

x1 x4 0;

3. x1 x2 x3 2x4 0;2x2 2x3 3x4 0;

x2 x3 x4 0;

2x1 4x2 5x3 3x4 0; 5. 3x1 6x2 4x3 2x4 0;

4x1 8x2 17x3 11x4 0;

x1 2x2 4x3 3x4 0;

7. 3x1 5x2 6x3 4x4 0;4x1 5x2 2x3 3x4 0;

3x1 8x2 24x3 19x4 0;

x1 2x2 x3 4x4 2;

9.2x1 3x2 2x3 x4 2;x1 3x2 x3 11x4 10;

11. 2x1 2x2 3x3 2x4 0;

x1 x2 2x3 x4 0;x1 x2 x3 x4 0;

13. x1 x2 x3 2x4 0;x1 x2 7x3 11x4 0;

x1 x2 9x3 14x4 0;

2.4x1 2x2 5x3 x4 7x5 0;2x1 x2 x3 8x4 2x5 0;2x4x1 x2 3x3 4x52

20;

4.x1 x2 3x3 4x4 0;2x1 x2 7x3 3x4 0;4x1 3x2 x3 5x4 0;

x1 x2 x3 0;

6.3x1 x2 x3 0;2x1 3x2 x3 0;

x1 x2 x3 x4 0;

8.x1 x2 x3 2x4 0;x1 x2 7x3 11x4 0;x1 x2 9x3 14x4 0;4x3 x43x1 2x

10.x1 x2 x3 x4 0;5x1 x2 x4 0;

12.x1 x2 x3 0;2x1 x2 2x3 0;

x1 2x2 4x3 3x4 0;

14.3x1 5x2 6x3 4x4 0;4x1 5x2 2x3 3x4 0;

3x1 8x2 24x3 19x4 0;2x3 x43x1 x2

2x1 x2 3x3 0;

15. x1 x3 x4 0;

4x1 x2 5x3 2x4 0;3x1 x2 4x3 x4 0;

17. x1 3x2 2x3 0;2x1 4x2 3x3 0;

x1 x2 x4 0;

19. x1 x3 0;

3x1 x2 2x3 x4 0;2x1 x2 x3 x4 0;

x3 x4 x5 0;

21.7x1 x2 2x3 x4 x5 0;3x1 x2 x3 2x4 5x5 0;2x1 x2

23. x1 x2 3x3 2x4 x5 0;

2x1 2x2 6x3 4x4 2x5 0;x1 2x2 3x3 2x4 0;

25. 4x1 3x2 3x3 0;3x1 3x2 x3 3x4 0;

3x1 3x2 3x3 4x4 0;

2x1 x2 x3 x4 3x5 0; 27. 3x1 x2 4x3 x4 x5 0;x1 x2 2x3 2x4 x5 0;

6x1 3x2 2x3 4x4 0;

29. 7x1 4x2 3x3 2x4 0;x1 x2 x3 2x4 0;

2х1 x2 2x3 12x4 0;

x1 2x2 x3 4x4 0;

16.x1 3x2 4x3 5x4 0;2x1 5x2 5x3 2x4 0;x2 x3 8x4 0;

18.3x1 2x2 2x3 0;

5x1 2x2 3x3 0;

2x1 x2 3x3 x4 0;

20.x1 x2 2x4 0;

2x1 x2 x3 3x4 0;x1 x3 x4 0;

2x1 2x2 x3 x4 x5 0;

22.x1 x2 x3 x4 2x5 0;3x1 x2 2x4 5x5 0;

24.2x1 x2 2x3 4x4 0;4x1 2x2 4x3 8x4 0;x1 x2 3x3 2x4 0;

26.x1 2x2 5x3 x4 0;

3x1 5x2 13x3 4x4 0;

2x1 3x2 8x3 4x4 0;3x1 5x2 x3 x4 x5 0;

28.3x1 x2 2x3 x4 x5 0;x1 2x2 x3 x4 x5 0;

x1 2x2 3x3 10x4 0;

30.x1 2x2 3x3 10x4 0;x1 6x2 9x3 30x4 0;

5x1 2x2 3x3 10x4 0.

Задание 1.3.

По координатам точек А, В, С для указанных векторов найти: а) модуль вектора a;

б) скалярное произведение векторов a и

;

в) проекцию вектора c на вектор d

в отношении .

г) координаты точки М, делящей отрезок l

1. A(1; 1; 1), B(0; –2; 1), C(–4; 1; 3)

3, 4.

, c

AC,

l AB,

, d

2. A(3; 3; 1), B(–3; –4; 1), C(1; 6; 3)

2, 3.

, c

l BC,

, d

3. A(–4; –4; 8), B(1; 3; –2), C(3; 12; 6)

2, 1.

, c

l BA,

, d

4. A(10; 1; –1), B(–3; 2; 1), C(3; 0; 3)

1, 3.

, c

AC,

l BA,

, d

5. A(0; 2; 1), B(5; 1; –3), C(–4; –2; –1)

2, 3.

, c

l AB,

, d

6. A(0; –2; 1), B(0; –2; –1), C(–3; 1; 3)

3, 2.

, c

l AB,

, d

7. A(3; 5; 6), B(2; –1; 4), C(0; –1; 5)

l AC, 1, 7.

, c

, d

8. A(1; 10; 1), B(–2; 10; 3), C(–2; 0; 0)

2, 1.

, l AC,

, d

9. A(4; –1; 1), B(–1; 1; 7), C(–3; –5; 0)

5, 2.

, l AB,

, d

10. A(3; –7; 1), B(3; –1; 3), C(–2; 8; 1)

3, 2.

, l AC,

, d

11. A(–6; 1; 1), B(0; –3; 6), C(–10; 1; 3)

4, 2.

, l AB,

, d

12. A(–4; –6; –8), B(2; –4; 0), C(3; 12; 15)

1, 3.

, l BC,

, d

13. A(–6; 1; 0), B(7; –1; 1), C(–3; 3; –7)

a AB BC, b c AC, d AC, l BC, 3, 2.

14. A(10; 6; 3), B(–6; 8; 10), C(3; –4; –6)

a AC CB, b c BA, d AC, l AC, 2, 3.

15. A(3; 2; 4), B(–1; 2; 4), C(2; –2; –1)

, c

BC, l AB, 2, 5.

, d

16.

A(1; –6; 1), B(0; 9; 3), C(3; –2; 3)

l BC,

2, 3.

, d

CB,

17.

A(1; 3; –1), B(8; –2; 10), C(6; –1; –3)

5, 1.

l BC,

, d

18.

A(4; 5; 3), B(–3; 4; 3), C(7; –4; 0)

l BC,

5, 3.

, d

19.

A(8; 1; –9), B(10; –2; 1), C(11; 1; –3)

4, 3.

l BA,

, d

20.

A(2; 3; 6), B(–2; 5; 1), C(7; –3; –8)

, c

, l BC, 3, 1.

, d

21. A(13; 1; –1), B(–6; 0; 1), C(2; 2; 11)

a BC CA , b BA , c CA , d BC , l BA , 5 , 3. 22. A(3; 4; 7), B(–2; 6; 4), C(7; –2; –3)

a BC CA, b BA, c CA, d BC, l BA, 3, 5.

23.

A(1; 1; –3), B(–3; –5; 0), C(–2; 2; 4)

2, 3.

l AB,

AC,

, d

24.

A(4; 2; 4), B(–1; 4; –3), C(3; –1; –1,5)

3, 4.

l BC,

, d

25.

A(2; 7; –4), B(–4; 3; 2), C(4; 5; 2)

l BC,

2, 4.

, d

26.

A(–2; 2; –1), B(–3; 1; 3), C(0; –2; –1)

a CB AC, b AB, c CB, d AC, l AB, 3, 2.

27. A(–8; 1; 4), B(7; –2; 1), C(–10; 7; 5)

a AB CB, b c AC, d CB, l BC, 1, 5.

28. A(9; 1; –8), B(–1; 1; 7), C(4; –1; 1)

, c

4, 3.

AC,

l BA,

, d

29. A(1; 3; 2), B(6; 12; 3), C(2; 6; 4)

2, 5.

, c

l BA,

, d

30. A(5; –2; –1), B(–4; 1; –3), C(5; –1; 1)

AB, l AB, 3, 4.

Задание 1.4.

Даны векторы a ,

и c.

Необходимо:

а) найти модуль векторного произведения векторов a и b ; б) проверить, будут ли коллинеарны векторы a и c;

в) вычислить смешанное произведение трех векторов a, b , c и проверить, будут ли они компланарны.

1. a 3

;

2. a 14

c 2

;

3. a 3

c 3

;

4. a 9

c 9

;

5. a 2

c 7

;

6. a 18

c 2

;

7. a 2

c 8

;

8. a 10

c 4

;

9. a

c 3

;

10.

a 21

c 5

;

11.

a 4

c 9

;

12.

a 6

c 12

;

13.

a 8

c 2

;

14.

a 3

c 6

;

15.

a 2

c 6

;

16.

a 2

c 6

;

17.

a 8

c 14

;

18.

a 2

c 5

;

19.

a 8

c 12

;

20.

a 3

c 5

;

21.

a 3

c 8

;

22.

a 3

;

23.

a 10

c 6

;

24.

a 2

c 5

;

25.

a 4

c 7

;

26.

a 2

;

27.

a 3

c 3

;

28.

a 3

c 10

;

29.

a 4

, c

;

30.

c 6

Задание 1.5.

Даны четыре точки A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3)

и A4(x4, y4, z4).

Составить уравнения:

а) плоскости A1A2A3; б) прямой А1А2;

в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2;

д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к пря-

мой А1А2.

Вычислить синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.

Вариант	A1		A2		A3	A4
1	1, 1,	3	–1, –1, –2		1, –3, –3	1, 2, –1
2	1, –3,	–4	2, 1, 5		1, 1, 4	1, 1, –1
3	2, 2,	1	4, –2,	9	–1, 2, –2	1, 1, –1
4	5, 2, –2		–1, –2,	–1	–1, 2, 1	2, 3, –1
5	–4, 2, –6		1, –2, 1		–1, 2, 3	3, 1, –1
6	1, –1, 1		4, –2,	2	–1, 3, 2	–1, 1, –2
7	5, –1, 9		2, –2,	4	3, 1, 7	3, –2, –2

8	–2, 1, –1	2, –2, 2		3,	1,	4	1, –1,	–2
9	–3, 1, 2	1, –4, –5		3,	1,	4	2, –3,	–2
10	–4, 1, –7	2, –3, 3		3,	1,	7	1, –2, 3
11	–3, 1, –1	6, –4, 7		3,	1,	1	–2, 3, 1
12	–3, –1, –3	4, 1, 7		3,	1,	6	–2, 3, 1
13	–3, –1, –3	–1, 1,	2	3,	1,	8	–2, 2, –1
14	4, –1, 1	3, 1, 2		–3, –2, –2			1, 3, –1
15	1, –1, 12	–2, 1, –7		–1, –1, 2			1, 3, –1
16	2, 1, 1	–2, 3, –6		–1, 3, –5			3, 5, –2
17	–1, 3, 7	2, –3, 1		2, 1,		9	2, 1, –3
18	–2, 7, 25	2, 1, 13		2, –3,		–3	–1, 1, –3
19	–2, 3, 4	–3, 1, 1		2, 5, 10			2, 1, –3
20	–2, –2, –4	3, 1, 8		4, –5, 6			5, 2, 3
21	1, –2, 3	4, 1, 12		4, –5, 9			3, 2, –1
22	–2, 1, –1	2, –1, 4		4, –3, 7			–1, 2, –5
23	–3, 2, –2	–2, 1, –1		2, 2,		1	–1, 2, –5
24	–3, 2, 1	–2, 1, 0		–2, –2, –2			–7, 3, –2
25	–5, –2, 2	–2, 1, –1		2, 2, –3			2, 4, –2
26	–1, –2, 10	–2, 1, 6		3, –1, –13			2, 1, –2
27	–3, 2, 7	–1, –4, –1		3, –1, –7			3, 1, –2
28	–5, –2, –7	–2, 1, 1		2, 2, –5			2, 3, –2
29	–3, 2, 5	–1, 3, 3		3, –1, –5			–2, 1, –1
30	3, –2, –2	–1, 3, 1		4, –1, –2			–2, 5, –1

Задание 1.6.

Решить следующие задачи:

1.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M(2; –3; –4) и N(2; 3; –1) параллельно прямой, проведенной через точки A(2; –2; –1) и B(3; 2; –1).

2.Написать каноническое уравнение прямой L:

2x y 4z 0;4x y 5z 6 0.

3. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(–2; 7; 3) параллельно плос-

кости х – 4у + 5z – 1 = 0.

4.Проверить, лежат ли точки А(2; –1; 2), В(1; 2; 3), С(2; 3; 0)

иD(5; 0; –6) в одной плоскости.

5.Написать каноническое уравнение прямой L:

x 3y z 7 0;

2x 5y 3z 15 0.

6.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M(1; 3; –4) и N(–2; 2; –3) параллельно прямой, проведенной через точки A(4; –2; 1) и B(–3; 2; –1).

7.Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(2; 1; –1) параллельно плос-

кости х – 4у + 5z – 1 = 0.

8.Написать каноническое уравнение прямой L:

3x y 4z 1 0;4x y 4z 6 0.

9. Проверить, лежат ли точки А(2; –1; 2), В(1; 2; 3), С(2; 3; 0)

и D(1; –2; 1) в одной плоскости.

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М1М2 перпендикулярно к этому отрезку, если М1(1; 5; 6),

М2(–1; 7; 10).

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M(1; –3; –2) и N(–1; 2; –3) параллельно прямой, проведенной через точки A(1; –2; 1) и B(–2; 2; –1).

12. Написать каноническое уравнение прямой L:

3x y 4z 3 0;5x y 4z 9 0.

13.Проверить, лежат ли точки А(2; –1; 2), В(1; 2; 3), С(2; 3; 0)

иD(1; –2; 4,5) в одной плоскости.

14.Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(2; –1; 1) параллельно плос-

кости х + 4у + 2z + 5 = 0.

15. Написать каноническое уравнение прямой L:

x y 4z 4 0;5x y 4z 12 0.

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M(2; –3; 1) и N(–1; 3; –2) параллельно прямой, проведенной через точки A(–1; 1; 3) и B(–1; –2; 1).

17. Определить, при каком значении С плоскости 3х – 5у + Сz – 3 = 0 и х – 3у + 2z + 5 = 0 будут перпендикулярны.

18.Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(2; –1; 3) параллельно плос-

кости х + 4у ‒ 2z + 3 = 0.

19.Написать каноническое уравнение прямой L:

2x 3y 4z 6 0;

3x y 4z 13 0.

20.Лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости, если А(1; 6; –2),

В(0; 9; –4), С(3; 8; –2), D(4; 5; 0)?

21.Написать каноническое уравнение прямой L:

4x 3y 2z 0;

x 3y 4z 15 0.

22.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M(3; –3; 1) и N(–1; 3; –5) параллельно прямой, проведенной через точки A(–4, 1, 3) и B(–1; –2; 1).

23.Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(1; –1; 3) параллельно плос-

кости 2х + 4у ‒ 2z + 3 = 0.

24.Написать каноническое уравнение прямой L:

2x 3y z 1 0;x 2 y 2z 2 0.

25.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А(2; 5; –1), В(–3; 1; 3) параллельно оси Оу.

26.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через

точку А(4; –7; 2) перпендикулярно плоскости : –3х + 2у = 4.

27.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M(–3; 5; 1) и N(–1; –3; –5) параллельно прямой, проведенной через точки A(–4, –1, 3) и B(–1; –2; 5).

28.Написать каноническое уравнение прямой L:

3x y 2z 13 0;

2x 3y 4z 6 0.

29.Найти расстояние от точки М(2; 0; –0,5) до плоскости 4х – 4у +

+2z + 17 = 0.

30.Написать каноническое уравнение прямой L:

3x 3y 2z 7 0;

x 5y 4z 7 0.

Задание 1.7.

1.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x ‒ 3y + 13 = 0 и 4x + 2y + 2 = 0 перпендикулярно первой прямой.

2.Найти проекцию точки А(–8; 12) на прямую, проходящую че-

рез точки В(2; –3) и С(–5; 1).

3.Доказать, что четырехугольник АВСD – трапеция, если А(3; 6),

В(5; 2), С(–1; –3), D(–5; 5).

4.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3; 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2; 5), С(1; 0).

5.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(–3; 2) параллельно прямой MN, если М(–3; –2), N(1; 6).

6.Найти проекцию точки А(8; 5) на прямую, проходящую через точки В(–2; –5) и С(–5; 1).

7.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x ‒ 3y ‒ 19 = 0 и 4x + 2y ‒ 14 = 0 перпендикулярно второй прямой.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf