Математика. Ч. 1_2

y

2x2 1

y x2e x ; 3) y x 1 x2 ; 4) y 3 x2 2x ;

1)

; 2)

x4

y x2 ln x

; 6) y

x2

1

y

x

y x 1 ex ;

5)

; 7)

; 8)

1 x

3

x2

1

9)

y

4x3

; 10)

y x3

6x2 16 .

1 x3

Домашние задания

25.3 Найти асимптоты графиков функций:

2 4x2

1

y

1)

;

2) y x ln e

;

1 4x2

x

y

x3

y

2 x3

3)

;

4)

.

2 1 x 2

x2

25.4 Исследовать функции и построить графики:

1)

y

x3

; 2) y xe1/ x ; 3) y ln 1 x2 ; 4) y e2x x2 .

1 x2

Ответы: 25.1

1)

x 2; y x 2 ;

2)

x 1; y 0

(левая);

x 1; y x ;

x 0; y 0 ;

y

3x

3)

4)

5)

(правая),

2

80

26.5

Найдите

кривизну

и радиус

кривизны

кривой

x2 xy y2 3 в точке M 1;1 .

26.6

Вычислите кривизну кривой r 2 1 cos в точке .

26.7

Вычислите

кривизну

кривой x t 2 ,

y t

t3

в

точке

3

2

t 1 .

1;

3

Домашние задания

26.8

Найдите кривизну и радиус кривизны линии y

x3 в

точке M 4;8 .

81

26.10

Вычислите

кривизну

гиперболы

x2

y2

1

в

точке

x 2, y 0 .

4

9

26.11

Найдите кривизну кривой x2 y2

xy 1 в точке M 1;1 .

26.12

Вычислите

кривизну

линии x

t2

, y

t3

в

точке

2

3

1

1

;

M

t 1 .

2

3

26.13 Вычислите кривизну линии

y 2cos t, y 3sin t в любой

ее точке.

Ответы:

26.1

K

2

; R

5 5

;

26.2

K

1

9x4 / 3 1 3

;

63

5

5

2

x

26.3

K 3; K

1

;

26.4

K

2

;

26.5

K

1

; R 3

2 ;

9

4

3

2

26.6

K

3

;

26.7

K

1

;

26.8

K

3

; R

80 10

;

8

2

80

10

3

26.9

K 1; 26.10

K

9

; 26.11

K

3

; 26.12

K

1

;

2

2

2

2

26.13 K

4sin2 t 9 cos2 t 3 / 2

.

6

изобразить их графически:

z ln y x2 2x .

1)

z 9 x2 y2 ;

2)

27.2 Найти область определения

функций и

изобразить их

графически:

1)

z arcsin 3 x2 y2

;

2)

z

x2 4

4 y2 ;

1) z

xy 1

;

2) z

x2 y2

2

;

x2 y

x2 y

2

3) z

1

;

4) z e1/ x y .

x2 y

2

4

27.5 Найти частные производные функций:

1) z x2 y3 x2 y 10 ; 2) z

x

y

1

;

y2

x2

3xy

83

Домашние задания

27.6 Найти

область

определения

функций и

изобразить

ее

графически:

1)

z ln x2

y2 4 ;

2) z arc cos

x

arcsin

x

.

3

3

27.7 Найти пределы функций:

sin y x2 2x 4

tg x y ex y

2) lim

1)

lim

;

.

x

y

2

x 1

2

2

x 1

x

2 y

y 1

y 0

27.8 Исследовать функции на непрерывность:

1)

z

x2

y2 1

;

2) z

1

.

x y 3

y x2

27.9 Найти частные производные функций:

1)

z x

y

y

;

2) z 5x2 y y3 7 3 ;

3 x

3)

z

y2

tg2 y ;

4) z x ex2 / y .

x

Ответы:

27.3

1)

0;

2)

1/4;

3)

2;

4)

1.

27.5 1)

z

2xy3 2x,

z

3x2 y2 1 ;

x

y

2)

z

1

2 y

1

,

z

2x

1

1

;

x

y2

x3

3yx2

y

y3

x2

3xy2

3)

z

sin

xy x 3y cos

xy

y

,

x

2

x

84

x2

x2

x2

z

e

2x2 e

y

z

x3 e

y

y

4)

,

.

x

y

y

y2

Аудиторные задания

28.1

Найти полный дифференциал функций:

1) z

x y

; 2) z x2 y2 exy ; 3) u xy z ; 4) u

x

.

y2 z2

x y

28.2

Вычислить приближенно:

1) 1,083,96 ;

2) 4,05 2 2,93 2 ;

85

1)

z

x

; 2) z

1

; 3)

z ln x2

y ;

4)

z sin x cos y .

y

x y 2

Домашние задания

28.5 Найти полный дифференциал функций:

1)

z

x2 y2 ;

2) z exsin y ;

3)

z arctg

x

.

y

28.6 Вычислить приближенно:

1)

0,982,01 ;

2) ln 0,93 0,093

; 3)

4,04 2 3,01 2 .

28.7 Найти частные производные второго порядка:

1)

z y ln x ;

2) z

xy

;

3) z exy .

x y

28.8 Найти полные дифференциалы второго порядка:

1)

z 3x2 y 2xy y2 1 ;

2) z

x

;

3) z ex2 y3 .

y2

Ответы: 28.1 1) dz

2 y

dx

2x

dy ;

x y 2

x y 2

2) dz exy 2x x2 y y3 dx 2y x3 xy2 dy ;

3)

dz xy z 1 zydx zxdy xy ln

xy

dz ;

86