Математика. Ч. 1_2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

– точки перегиба;

– точки перегиба;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

lim x

3x	3	x 1
3x		x 1
			x		;	5)
	e		x
	e
			e	3x	e	sin x
lim			e		e
lim
x 0					x
					x

lim x 0

;

x arctg x
	;
x	3

	2	x	3	x
	2		3
6)	lim	1 x
	x 0 x	1 x
				2

		1	1
lim
lim

x 0			x
	arctg x		x

;

				1			1							1	1
9)	lim									; 10)		lim				; 11)
	x		2x		2										x 1
	x	0	2x					2x tg x				x 1 ln x			x 1
12)		lim ln x ln x 1 ;									13)			lim ln x 1/ x ;		14)
		x 1												x
					1									1
					1					sin x x2
					x	1)				sin x x2
		lim x		ln(e		1)
15)							; 16)		lim				.
15)							; 16)		lim				.
		x 0							x 0		x

lim x ctg x ;
x 0
	1	tg x
lim			;


x 0	x

Ответы: 22.1 1) – 1; 2) 0; 3) 2; 4) 1/2; 5) 12; 6) ln 2 1; 7) cos a ; 8) 5; 9) 2/3; 10) 1/2; 11) 2; 12) ; 13) 3; 14) + ; 15) 1/2; 16) 0; 17) 2;

18) – 1; 19) 2 / ; 20)		1	; 21) 1; 22) e3 ; 23) 10; 24)	e 2 ; 25) e2 ;

	2
26) e 1 ; 27) 1; 28) 1; 29) 1; 30) 1. 22.2 1) 1; 2) 6; 3) 1;				4) 0; 5) 1/3;

6) ln 2 ; 7) – 4; 8) 0; 9) 1/6; 10) 1/2; 11) 1/ ; 12) 0; 13) 1; 14) 1; 15) e;

16) e 1/ 6 .

Занятие 23. Формула Тейлора

Аудиторные задания

23.1 Разложить многочлен x4 2x2 13x 9 по степеням двучлена x 2 .

23.2 Разложить многочлен x3 3x2 2x 4 по степеням двучлена x 1.

23.3 Для многочлена	x	4	4x	2	x 3	написать формулу Тейлора

2-го порядка в точке

x0 1

. Записать остаточный член в форме

Лагранжа.

23.4 Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

f x 10	x

в точке

23.5	Написать формулу			Тейлора	3-го	порядка	для	функции
f x		x
			в точке x0 2 .
			в точке x0 2 .
		x 1
23.6	Написать формулу			Тейлора	2-го	порядка	для	функции
f x tg x в точке x0 0 .
23.7	Вывести приближенную формулу sin x x						x3	и оценить
23.7	Вывести приближенную формулу sin x x						6	и оценить
							6

ееточность при x 0,05 .

23.8Вывести приближенные формулы и оценить их погрешность при x 1:

1) 1 x 1			1	x	1	x2 ; 2) 3 1 x 1	1	x	1	x2 .

		2		8			3	9
23.9 Проверить, что при вычислении значений функции ex												при
0 x	1	по приближенной формуле					ex 1 x				x2	x3

2								2				6

допускаемая погрешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти e0,2

стремя верными цифрами.

23.10Вычислить с точностью до 10 4 cos10 .

23.11Вычислить с точностью до 10 3 : 1) 5 33 ; 2) ln1,05 .

23.12Найти пределы, используя разложение по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:

1)	lim
	x 0

3) lim

x 0

xe2x

x	1 x			lim
	;		2)	lim
x				x 0
x
xex 2e2x 2ex		;		lim
ex 1 3		;	4)	lim
ex 1 3				x 0

1 cos x
		x	;
x	2		3

ln 1 x x 1 x

				Домашние задания
23.13	Разложить многочлен x4 5x3 x2 3x 4				по степеням
двучлена x 4 .
23.14	Написать формулу Тейлора 3-го порядка				для	функции
f x	1	при x		1 .
f x		при x		1 .
	x	0
	x
23.15	Написать		формулу Тейлора 3-го порядка		для	функции

y arcsin x при x0 0 .

23.16 Написать формулу Тейлора n-го порядка для функции

y	1	при x 1.

	x	0

23.17Написать формулу Маклорена n-го порядка для функции f x xex , x0 0 .

23.18Вычислить приближенные значения с заданной точностью

1)	sin1 , 10 4 ;	2)	e , 10 3 ;
3)	10 1027 , 10 4 ;	4)	cos 5 , 10 5 .

23.19 Найти пределы, используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

lim

sin x x

;

lim

1 cos x

;

x 0

x2 sin x

x 0 ex 1 x

x sin x

lim

;

x 0

3 1 3x 1 2x

x 0 x

ex 1

Ответы:

23.1	f x
23.2	f x
23.3	f x

23.4 10x

 

9 11 x 2 22 x		2	3	4		;
9 11 x 2 22 x	2		8 x 2	x 2		;
x 1 3 5 x 1 8 ;		4 1 x 1 x 1			;
7 11 x 1 10 x 1		4 1 x 1 x 1			;
2				3

ln10 x ln2 10 x2 ln3 10 x3 10 x ln4 10 x4 , 0 1; 2! 3! 4!

23.5

x 2 x

2 2

x 2 3

x 2 4

, 0 1;

x 1

1 x 2 5

23.6 tg x x

1 2sin3

, 0 1 ; 23.7 3 10 9 ;

cos4 x

23.8

, 0 1 ;

1 x 5 / 2

1 x 8 / 3

23.9

1,221;

23.10

0,9848;

23.11

2,012;

0,049;

23.12

1/2;

1/6;

–

23.13

f x 56 21 x 4 37 x 4 2 11 x 4 3 x 4 4 ;

23.14

f x 1

x 1

1 3

x 1 2

1 3 5

x 1 3

22 2!

23 3!

1 3 5 7

x 1 4

, 0 1;

1 x 1 9 / 2

24 4!

9 x 6 3x3

23.15

y x

, 0 1 ;

2 7 / 2

23.16

y 1 x 1 x 1 2 x 1 n

1 n 1

x 1 n 1

, 0 1;

1 x 1 n 2

		f x x x				x	3
23.17				2		x
				2

						2!
0 1		;
23.18	1)		0,0175;		2)
23.19		1) – 1/6; 2) 1; 3) – 2;

	x	n		x	n 1	x n 1 e		x
	x			x					,

	n 1 !			n 1 !
	n 1 !			n 1 !
1,648;		3)	2,0006;			4)	0,99619;
4) 1/2.

Занятие 24. Монотонность функций. Экстремум.

Наибольшее и наименьшее значения функций. Выпуклость и вогнутость графиков функций

Аудиторные задания

24.1 Найти

интервалы возрастания, убывания и

точки

экстремума функций:

y 15 x2 2x ;

2) y 2x3 6x2 18x 7 ;

2x3

;

4) y x 1 x2 ;

2x2 1

;

6) y x2e x ;

7) y

;

ln x

y 3 x2 2x ;

9) y

10) y ln

x 1

;

x 1

x 2

24.2 Найти экстремумы функций, пользуясь производной 2-го порядка:

	y 4x3 9x2 6x ;		y e3x 3x 2 ;		y	2x
1)		2)		3)			;

						1 x2
4)	y x ln2 x ;	5)	y x2 (a x)2 ;	6)	y x 1 x .

24.3 Определить наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y x4 2x2 5, [ 2;0];

2) y x 2 x , [0;4] ;

3)	y
5)	y



3x 1

x2 1

	3

x 1

2; 1 ;

, 0;

;

4) y

arctg 1 x , [0;1] ; 1 x

x ln x x;

1/ e;e .

24.4 Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графиков функций:

y ln 1 x

; 2)

x 1

y e

; 3)

y x

; 4) y

;

x 1

y x4 2x2 3 ;

3x4

2x2 1

;

y x2 e x ;

y x

1 x2 ;

10)

y 3

x2 2x .

24.5 Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?

24.6Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.

24.7Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

	Домашние задания
	24.8 Найти интервалы	возрастания, убывания и точки
экстремума функций:
1)	y ln x arctg x ;	2)	y	x3	;
				x 1

3)	y x 1 ex ;	4)	y x3 6x2 16 .

		a	2
24.9 Найти экстремум функции	y x		, a

		x

вторую производную.

24.10 Найти точки перегиба графиков функций:

, используя

1) y	2x 1		; 2) y x arctg x ; 3)	y	4x3	; 4) y e x	2	/ 2
	(x 1)	2			1 x3

(кривая Гаусса).

24.11 Найти наибольшее и наименьшее значения функций в интервалах (или во всей области определения):

1)	y	1 x x2	, 0; 1 ;	2)	y xe x 2 2 ;
		1 x x2
3)	y ln 4 x2 , 1;1 ;			4)	y x 2 x , 0;4 .

24.12 Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения будет наибольшей?

Ответы: 24.1

; 1

– возрастает;

–

убывает;

ymax y 1 16 ;

; 1 3;

–

возрастает;

1;3

–

убывает;

ymin y 3 47; ymax

y 1 13 ;

1;2 3;

–

возрастает;

;1 2;3

–

убывает;

y 1 y 3 0 ;

y 2

;

max

min

1; 1/ 2 1/

2 ;1 – убывает;

2 ;1/ 2 – возрастает;

ymin y 1/

2 1/ 2 ; ymax y 1/ 2 1/ 2 ;

; 1 0,1

–

возрастает;

1;0 1;

–

убывает;

ymax y 1 y 1 1;

0;2

–

возрастает; ;0 2;

–

убывает;

ymin y 0 0; ymax y 2			4 / e	2	;

7)	e; – возрастает; 0;1 1;e				– убывает;
8)	1; – возрастает; ;1		– убывает; ymin
9)	0;	– возрастает;	; 1

y
min
y 1
1;0

y e e ;

– убывает;

ymin y 0 1;

– возрастает; 2; 1 – убывает; экстрему-

10)

; 2 1;

мов нет.

; ymin y 1 1; 2) ymin y 0 3 ;

24.2

ymax y

ymax y 1 1; ymin

y 1 1 ;

max

y e 2 4 / e2; y

min

y 1 0 ;

; ymin y 0 y a 0 ;

ymax y

;

ymax y

24.3

yнаиб.

y 2 13; yнаим. y 1 4 ;

yнаиб.

y 4 8; yнаим.

y 0 0 ;

наиб.

y 0 2; y

y 1 3 2 ;

наим.

yнаиб.

y 0

; yнаим. y 1 0 ;

y 2

; y

y 0 1;

наиб.

наим.

yнаиб.

y e 0; yнаим.

y 1 1 ;

24.4

; 1 1;

– функция выпукла; 1;1 – функция

вогнута;

1;ln 2 , 1;ln 2 – точки перегиба;

		1
2)	0;
2)	0;

		2

– функция выпукла;

1
;0	;

2

– функция во-

3) ;0 0; – функция вогнута; точек перегиба нет;
4)	; 2					– функция выпукла; 2;1 1; – функция вогну-
					1
та;		2;				– точка перегиба;


					9
						3								3																			3			3
						3								3																			3			3
5)	;																;					– функция вогнута;											;				–
						3								3																			3		3
																3				22				3
																3				22				3		22
функция выпукла;																				;		,			;				– точки перегиба;
функция выпукла;																				;		,			;				– точки перегиба;
																3								3
																3					9			3		9
6)	;0 – функция выпукла;																						0;				– функция вогнута; точек
перегиба нет;
										5								5
7)					;					5								5							–				функция						вогнута;
7)					;																;				–				функция						вогнута;
											3							3
		5										5
		5						0;				5										–					функция							выпукла;
				;0				0;														–					функция							выпукла;
		3										3
		5										5		21
		5			21							5		21
				;										;						– точки перегиба;
				;										;						– точки перегиба;
		3			25							3			25
8)	;2						2					2					2 ; – функция вогнута;															2	2 ;2				2
–			2 ; 2																функция					2 ; 2										выпукла;
										2			e	2 2															2	e	2 2		–			точки
2									2				e							, 2								2		e			–			точки

перегиба;

9) 1;0 – функция вогнута;

0;1

– функция выпукла; 0;0

– точ-

ка перегиба;

10) ;0

– функция выпукла;

0;2

– функция вогнута;

0;0 ; 2;0

– точки перегиба.

24.5 3,6 и 4 см; 24.6 H=2R; 24.7 H

2R 3

;

24.8 1) возрастает на всей области определения;

–

убывает;

–

возрастает;

;1 1;

;

ymin

;

3) ;0 – убывает; 0; – возрастает;

ymin y 0 1;

4) ;0 4;

–

возрастает;

0;4

–

убывает;

ymax y 0 16, ymin

y 4 16 ;

24.9

ymax y a 2a; ymin y a 2a ;

24.10

;

2) точек перегиба нет; 3)

0;0 ,

;

4) 1;e 1/ 2 , 1;e 1/ 2

24.11 1) 1 и 3/5; 2)

и 1/

e ;

3) ln 4 и

ln 3 ;

4) 8 и 0;

24.12

Занятие 25.

Асимптоты. Построение графиков функций

Аудиторные задания

25.1 Найти асимптоты графиков функций:

1) y

x2 4x 5

;

2) y

; 3)

; 4)

ln x

;

x 2

x 1

x3 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf