Математика. Ч. 1_2

1)

f x x

2

5

14x

; f 2 ?

2x 1

2x

3

2)

f x

sin 9x; f

?

3

5x

f x

1

3)

sin 6x cos 3x; f

?

6

3

tg x

4)

f x

x; f

?

x

4

2x2

5)

f x ln

; f 2 ?

1 4

x

f x arccos

2

1

6)

1 2x

2x 4x

; f

?

2

7)

f x arctg x

1 x

; f 0 ?

1 x

Ответы: 18.3 x

1

.

18.4 x ; 4 3; .

e

60

18.13 2x y 3 0; x 2y 1 0 . 18.14 1)

8

;

f 2

9

1)

y

x 2

x 3

x sh x ;

2)

y logx e ;

3)

y

1

; 4)

y log

lnn mx ;

5)

y e 2x ch 5x ;

2

cosn m 1 x

6)

y arcctg th x ; 7)

y

ctg 4x

; 8)

y 5sh

1

.

cth 3x

x

61

Домашние задания

19.3 Найдите производные функций:

cos x

a

1

tg6x

1)

y a

cos x

;

2)

y arcsin

;

3) y x

;

ch x

4)

y acctg 2x ln3x ;

5)

y xx x ;

6)

y

3x 1 4 5

2 x

;

5 3 x 4 x4 / 3

3

1 x

4

x

1

1/ x

7)

y x

;

8)

y x

;

9)

;

5 3x 8

y

x

f x 3x

x

4

1

cos x

1)

2)

; f 1 ?

f x

; f 1 ?

x2

Ответы:

19.4

1)

2)

f 1 12ln 3 3 ;

f 1 2cos1;

3)

4)

f

5)

f

0 ;

f 2 0 ;

1 ln 3 ;

2

1

ln

ln 6 2 3

3

6)

f

;

7)

f 2 1 ln 3 ;

2

3

3

3

2

2

56

8) f 1

; 9)

f 0

.

64

625

1

t 2

1)

x t2 2, y 1 t3

1;

2) x

, y

;

3

t 1

t 1

3)

x a( sin ) , y a(1 cos ) ;

4)

x ln t, y t2

1;

5)

x arccos t , y

t t 2 ;

6)

x arctgt, y ln(1 t 2 ) ;

7)

x a cos3 t, y a sin3 t ;

8)

x tgt, y sin 2t 2 cos2t .

20.2 Найти yx в указанных точках:

1)

x et cost, y et

sin t; t

.

2)

x

3at

, y

3at2

; t 2 .

6

1

t 2

1 t 2

1)

y x tg3 x ;

2)

y

arctgx (arcsin x)2 ;

3)

y ln(x

4 x2 ) ;

4)

y5 y x2

1.

20.7 Найти

приближенное

значение

функции

y(x) ex2 x при

1) arcsin 0,05;

2)

ln1,2 ;

3)

4

17 ;

4) tg44 56 .

Домашние задания

20.9 Найти yx :

1) x

t 1

, y

t 1

;

2)

x et sin t, y et cost .

t

t

20.10

Убедиться в том, что функция, заданная параметрически

уравнениями

x

1 ln t

, y

3 2 ln t

, удовлетворяет соотношению

t 2

t

yy

2

1.

2x( y )

20.11

Найти производные от функций, заданных неявно:

1) x3 y3 3axy 0 ;

2)

sin(xy) cos(xy) tg(x y) .

20.12

Убедиться в том, что функция у, определенная уравнением

xy ln y 1, удовлетворяет соотношению y2

(xy 1) y 0 .

20.13

Найти дифференциалы функций:

1) y x arcsin x 1 x2 3 ;

2)

e y x y .

64

Ответы: 20.1 1)

t

; 2)

2t

;

3)

sin

ctg

; 4)

2t 2 ;

2

t 1

1 cos

2

5) 2t 1; 6)

2t ; 7) tgt ; 8)

2 cos 2t 2sin 2t cos2 t .

1

2

4

ex 4xy

2

1

20.2 1)

3 1

; 2)

. 20.3

1)

; 2)

;

2 ln y 1

2

3

e y 4x2 y

x

2

y

2

2x 2x y

2x 1 y2

y

1

1 1

3)

y

2

x

2

; 4)

2

x y

2

y ; 5)

y

2

; 6) ;

1

1 1

x

7) 3

y

e y sin x ex sin y

; 8)

.

e y cos x ex cos y

x

20.11 1)

ay x2

;

2)

y cos2 (x y)(cos(xy) sin(xy)) 1

.

y2 ax

x cos2 (x y)(cos(xy) sin(xy)) 1

20.13 1)

arcsin xdx; 2)

dx

. 20.14 1) 0,485; 2) 0,355. 20.15 0,6 .

e y 1

65

3)

y

1

x sin 3x

2

cos 3x ;

4) y

1

.

9

27

1 x3

21.10

Найти y(n) (x) , если y e x .

d 2 y

21.11

Найти

, если:

dx2

1) ex y xy ;

2) x

1

, y tgt ;

cost

.

3)

x2 y2 xy 4 0 ;

4) x arctgt, y ln 1 t2

21.12

Вычислить значение производной второго порядка функ-

ции y, заданной уравнением

x2 2y2

xy x y 4 , в

точке

M (1;1) .

21.13

Доказать,

что

функция y e4x 2e x удовлетворяет

уравнению y 13y 12y 0 . Записать для этой функции d 3 y .