Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

lim 4x

x 8

3 ; 19)

3x 4

17)

;

18)

lim

;

x 1 2x

x 1

x 4

x 2

x 7

1 2 3 ... n

20)

lim

;

21)

lim

;

x 2 1

3 x

n 2

22)

lim

x 2

x ;

23)

2n 1

lim

7n 3 ;

3/ 2

1 1

24)

lim x

1 ;

25)

lim

;

x 0

16 x

x 1

sin x cos x

lim

n sin n

26)

lim

; 27)

lim

;

28)

;

x 1

cos 2x

n 1

lim

3x2 2

lim

x x 1 1

lim

3n 5n

29)

;

30)

;

31)

;

x 1 x

2 7x 6

x 1

x2 1

3n 5n

32)

lim

1 x

x 1 1 x

Домашние задания

15.5 Найти пределы указанных последовательностей функций:

lim

2 4x

2 3x3

lim

7x2 10x 20

;

7x 10

10x

lim

n 2 ! n 1 !

;

lim

5n 3

;

n 3 !

n 1

lim

1 2 3 ... n ;

lim

3x2 10x 8

;

x 4

lim

x2 x 1

; 8)

lim

x2 25

;

lim

4 2

;

4x 3

x 1 2

9 3

x 1

10)

12)

3	1	x 1
lim	1	x 1
lim		;	11)
x 0		x
		x

		1	3
lim					;
lim				2	;

x 2		x	8 x
	2	x	8 x

lim

x
13)

	x	2	5
x	x		5

		lim
	x 3

x2 x 6

7 3x 4

;

		x	3			3x 17	2x 12
14) lim x				; 15)	lim			.
	2					2

x	x 3x 2				x 5	x 8x 15

Ответы: 15.1 1) ;1 5; ; 2)	1			5; 0; ;
		;1	; 3)
		;1	; 3)
	3

4) ; . 15.2 1) четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) ни четная,

ни нечетная; 4) нечетная. 15.4 1) 1; 2) 0; 3)																												1			; 4)		; 5) 0; 6)				5	;
ни нечетная; 4) нечетная. 15.4 1) 1; 2) 0; 3)																															; 4)		; 5) 0; 6)					;
																										3											3
7) 0; 8) ; 9) 0; 10) 3; 11) 0; 12) 0; 13) – 3; 14)																														1		; 15)			2	; 16)	5	;
7) 0; 8) ; 9) 0; 10) 3; 11) 0; 12) 0; 13) – 3; 14)																																; 15)				; 16)		;
																										6							5				2
17)	13			; 18)			1		; 19)		3	; 20)			1		; 21)					1	; 22) 0; 23)										5	; 24) 1; 25) 3;
17)				; 18)					; 19)			; 20)					; 21)						; 22) 0; 23)											; 24) 1; 25) 3;
	7				6					2					3						6												2
26)	2		; 27)					1		; 28) 0; 29)						3		; 30)				2		; 31) – 1; 32) – 1.
26)			; 27)							; 28) 0; 29)								; 30)						; 31) – 1; 32) – 1.
	3				2										5						2
15.5					1) 3; 2) 0;					3) 0; 4)				1	; 5)				1	;	6)				7		; 7) – 1; 8) 40; 9)										3	;
15.5					1) 3; 2) 0;					3) 0; 4)			5		; 5)					;	6)						; 7) – 1; 8) 40; 9)											;
													5		2						4																2
10)		1				; 11) 2; 12) ; 13)							40			; 14) 3; 15)										2			.
10)						; 11) 2; 12) ; 13)										; 14) 3; 15)													.
	3												3								8

Занятие 16.

Первый и второй замечательные пределы

Аудиторные задания

16.1 Вычислить,

воспользовавшись

первым

замечательным

пределом:

lim

sin 5x

;

lim

; 3)

lim

tg7x

; 4)

lim

;

x 0

x 0 sin 3x

x 0 sin 2x

x 0 3arcsin 2x

lim

arctg 5x

;

lim

1 cos x

;

lim

1 cos 6x

;

x 0

x sin 3x

lim

sin2 3x

; 9)

lim

cos x cos 3x

; 10)

lim

tg x sin x

;

x 0

tg2 5x cos 2x

x 0

11)

lim

sin 3x

;

12)

lim

7x 6

;

13)

lim

tg x 1

;

x 0

x 4

x 1 sin 2 x 1

x 1 x2

4x 5

14)

lim

2 sin 3x

;

15)

lim

sin x cos x

;

x 0

5 tg2x

cos 2x

16)

lim

2 2 cos x

;

17)

lim

cos 2x cos3 2x

;

x 0

4x tg3x

18)

lim

x sin

;

19)

lim

ctg x

;

x 0 sin x

3x arctg 5x

20)

lim

; 21)

lim

tg x .

x 0 cos x cos 4x

16.2 Используя второй замечательный предел, найти:

1/ x

;

lim 1 2x

x 0

2x 1

lim

;

x 2x 3

2x 1 x

;

lim

x 6x

1 x3

6 x

lim

; 10)

x 7

2x 3

x 2

lim

; 3)

lim

;

2x 1

3 / x

1/ x

lim 1 7x

; 6)

lim

;

x 0

lim 2x 1 ln 3x 1 ln 3x 2 ;

x x

lim

;

x 1 x

11)

lim ((x 4)(ln(2 3x) ln(5 3x))) ;

12)

lim 1 sin x cosecx ;

x 0

2x 1

lim 1 3tg2

x ctg

13)

lim

;

14)

x ;

4x 2

ln 1 7x

1 x / x

2x / x 1

15) lim 1 4x

; 16)

lim

; 17) lim 2x 1

x 0

x 1

16.3 Вычислить пределы:

lim (cosx)1/ x2 ;

lim

1 tg2

x 1/ 2x ; 3)

lim (1 x x2 )1/ sinx ;

x 0

lim

e2x 1

; 5)

lim

ex e x

; 6)

lim

ln(1 x)

; 7) lim

a2x 1

x 0

sin x

x 0 3x 1

x 0

Домашние задания

16.4 Найти пределы следующих функций:

lim

sin 8x

;

lim

1 cos 4x

;

lim

cos3x cos x

;

x 0 2arctg3x

x 0 3sin x tg3x

x 0 1

1 x2

4)	lim			x sin
		1 tg		2x
	x 0		2

6) lim		2x2 7x 3	; 7)
		tg 2x 1
x	1

2

1 cos

;

lim

1 tg

x 0

sin x

lim

; 8)

lim

1 2 cos x

x 2

;

9)	1 3x 1/ x		10)	lim x ln 2 x ln x ;
9)	lim	;	10)	lim x ln 2 x ln x ;

	x 0 1 2x			x

11)	lim 4 3x 5x2 / 1 x			; 12) lim cos 2x 1/ sin2 x ; 13)			lim	23x 1	;
11)	lim 4 3x 5x2 / 1 x			; 12) lim cos 2x 1/ sin2 x ; 13)			lim		;
	x 1				x 0		x 0	x
								x
	lim	ex e	; 15) lim		ln 1 7x
14)						.
14)						.
	x 1	x 1	x 0		sin x

Ответы: 16.1 1) 5; 2) 1/3; 3) 7/2; 4) 2/3; 5) 5/2; 6) 1/2; 7) 6; 8) 9/25;

9) 4; 10) 1/2; 11) 12; 12) – 5/2; 13) – 1/6; 14)						3		; 15)	2	;
9) 4; 10) 1/2; 11) 12; 12) – 5/2; 13) – 1/6; 14)					10		2	; 15)	2	;
					10		2		2
16)	2	; 17) 1/3; 18) 0; 19) 0; 20) 2; 21) 1.
16)	4	; 17) 1/3; 18) 0; 19) 0; 20) 2; 21) 1.
	4
16.2	1) e2 ; 2) e2 ; 3) e 11 ; 4) e 2 ; 5) e 21 ;				6) e 2 / 3 ; 7) 0;				8) 2;
9) e 1 ; 10) e 1 ; 11) 1; 12) e; 13) e2 ; 14) e3 ; 15)					e 4 ; 16) 7; 17) e4 .
16.3	1) e 1/ 2 ; 2) e ; 3) e; 4) 2/3; 5) 2; 6) 1/ ln 3 ; 7) 2ln a .
16.4	1) 4/3; 2) 8/9; 3) – 8; 4) 1; 5) ; 6)		5	; 7)		3	; 8) e 6 ; 9)		e 1 ;
16.4	1) 4/3; 2) 8/9; 3) – 8; 4) 1; 5) ; 6)			; 7)	3		; 8) e 6 ; 9)		e 1 ;
	2				3

10) 2; 11) e15 ; 12) e 2 ; 13) 3ln 2 ; 14) e; 15) 7.

Занятие 17.

Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва

Аудиторные задания

17.1 Вычислить пределы, используя теорему об отношении двух бесконечно малых функций:

cos x cos2x

ln(1 x)

arcsin

lim

;

lim

;

lim

;

1 cos x

ln(1 x)

x 0

2 tg3x

x 0

lim

e5x 1

;

lim

sin 3(x 2)

;

lim

tg(x 5)

;

x 0 sin10x

x 2 x2 3x

x 5

x2 25

lim

sin4 4x

lim

ln2 1

;

x 0 arctg3

x 0

1 ex / 3

17.2 Исследовать

функции на непрерывность, установить

характер точек разрыва:


1)	f (x)		x			;		2)

			x 1
4)	f (x)		x2 2x 1					; 5)
			x3 x2 x 1
				х	,		x 1,
	f (x)	2
7)							x 1.		;
				2	1,
		x

	sin(x 2)			x
f (x)	sin(x 2)	; 3)	f (x) 34 x 2 ;
f (x)	x 2	; 3)	f (x) 34 x 2 ;
	x 2

f (x) arctg x 1 3 ;

sin x,

8) f (x) x2 3,

x 1,

6) f (x) | x 1 | ; x 1

x 1, 1 x 2,

x 2.

f (x)

x 2

;

10) f (x)

x 1

x 2

Домашние задания

17.3 Вычислить пределы:

lim

ln(1 7x)

;

2) lim

esin 7 x 1

;

3) lim

4x2 1

;

x2 3x

arcsin(1 2x)

x 0

sin 2x

x 0

x 1

lim x 2

lim x 3

		x	2	4
		x		4			;
		2					;
tg(x		2	3x 2)
tg(x			3x 2)
	arcsin				3	x 3
	arcsin					x 3
	x 3					2
e	x 3			1			arctg x
e				1			arctg x

lim x 0

1 sin 3x 1 ln 1 tg2x

;

17.4 Исследовать на непрерывность функции; установить характер точек разрыва:

tg x

1) f (x)

; 2)

f (x)

; 3) f (x) x 2,

1 3

x ,

Построить график функции;

2 x 2, 2 x 4, x 4.

x3 1,

x 0,

4) f (x)

;

f (x) cos x,

0 x ,

Построить

x 1, x .

график функции; 6)

f (x)

1 cos x

2x2 x3

Ответы: 17.1

1) 3; 2)

; 3) – 1; 4)

; 5) 3; 6)

; 7) 0; 8) – 21.

17.2

1) x 1 – точка разрыва 2-го рода; 2) x 2 – точка устрани-

мого

разрыва,

f 2 1 ; 3)

x 2 –

точки

разрыва

2-го рода;

4) x 1 – точка устранимого разрыва,

f 1

; x 1 – точка

разрыва 2-го рода;

x 3

– точка разрыва 1-го рода; 6) x 1 –

точка разрыва 1-го рода;

7) функция непрерывна

при x R ;

8) x 1 – точка разрыва 1-го рода; 9)

x 2 – точка разрыва 1-го

рода; 10) x 1 – точка устранимого разрыва; f 1 3 .

17.3 1) 7/2; 2) 7/3; 3) – 2; 4) 4; 5) 3/4; 6) 0. 56

17.4 1)

x 2, x 2) x 0

1-го рода;

–

0	– точка устранимого разрыва,	f (0)	1	;
			2

	k (k 0; 1; 2
	k (k 0; 1; 2		и т.д.) – точки разрыва 2-го рода;
2				x 4
точка		разрыва 1-го	рода; 3)	x 4	– точка	разрыва
x 0		– точка устранимого разрыва,			f (0) 2 ;	5) всюду

непрерывна; 6) x 0 – точка устранимого разрыва, f (0) 1 ;

x 2 – точка разрыва 2-го рода.

Занятие 18.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Аудиторные задания

18.1Исходя из определения, найдите производные функций:

1)y 7x2 ; 2) y x ; 3) y 5 tg x x .

18.2Найдите производные функций:

	y 5x4 87 x3	7	4 ;				y x3 sin 2x ; 3)				y	x4	2x 3
1)				2)											;
1)				2)											;
		x5											x5	1
	y x5 3x 7 4 ; 5)				x		3	1	2
4)			y 3		x			1		;
4)			y 3			7		2		;
				x				2

sin 4x cos

x ln 2x3 3x2 2 ; 7) y

;

sin 3x cos x

y e x2 log

;

x3 arccos

4 x2 ;

10)

y ctg3

2ln sin

;

11)

y arctg

x 2 ;

12)

2x 1

;

13)

y cos5
y cos5	sin

2x
		sin cos
3
3

x 4

  

;

		x / ln x		2			1
14) y 2			; 15) y arcsin				arccos		; 16)	y log

					x		2
18.3					2			f x 0 ,	если	f x

	Решите уравнение f x
						x
18.4	Решите		неравенство
								f x x 0 ,

a ln x .

x3 ln x .

если

fx 2x3 12x2 , x 9x2 72x .

18.5Вычислите значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной:

1)f x

2)f x

3)f x

4)f x

5)f x

6)f x

7)f x

2	2x

x 3

		6; f 1 ?

x3 sin ; f 3 ?

3 x				6

sin 8x cos 4x; f							?


						3
2cos x
		; f				?


1 sin x					2
arctg x
	; f		1 ?
	; f		1 ?
x3

4e x2 arcsin x ; f 0 ? 2

3 2x ; f 2 ?

	2x
8) f x ln
8) f x ln		; f 2 ?

1 4x

9) f x 5 x2 x cos2 x; f 0 ?

10)	f
11)	f

x	1	x		2	1	3	x	; f 1 ?


	2
x	2x 4				; f			?

		2
	sin		x			2

18.6	Составить		уравнения касательной		и	нормали	к	графику
функции y x2 4 в точке M 1;5 .
18.7	Составить		уравнения касательной		и	нормали	к	графику
функции y tg x			в точке с абсциссой	x	4	.
функции y tg x			в точке с абсциссой	x		.
				0	3
					3
18.8	Тело	массой 7 движется		прямолинейно			по	закону
y t2 t 4 .		Определите кинетическую энергию тела в момент

времени t 3 .

18.9Радиус шара изменяется со скоростью 6 см/с. С какой скоростью изменяются объем и поверхность шара?

18.10Найдите силу тока в проводнике, если заряд, проходящий

через поперечное сечение проводника, изменяется по закону q 2t e 3t (кл).

18.11 Материальная точка движется по окружности так, что

угловое

перемещение

изменяется

по

закону

6,5 7t 3,5t2

2t3

(рад). Найдите угловую

скорость

движения материальной точки к моменту времени t 2c

от начала

движения.

Домашние задания

18.12 Найдите производные функций:

y 5e2x

x ;

cos 3x

;

y x2 arcsin 8x ;

x3 ctg 2x

y 3arcsinx / 2 ;

y 5log

sin

;

x 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf