Математика. Ч. 1_2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1) эллипсоид

1; O 1;0; 2 ;

1) эллипсоид

1; O 1;0; 2 ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

12.14	5;2;4 ;		59 .
x 4	y 3	z 2	x 4
2)			; 3)
0	0	1	1

12.16sin 5 ; 45 36 .

2) x 3 y 5 z 1 ; 3)

3 0 2

12.151)

	y 3		z 2
	3		;
			2

12.171)

x3 y 5

0 1

x 4)

x3 2

1 4

1 .

	y 3		z 2
			;
	0		0
	y 3		z 2
			.
	1		0

y 5 z 1 ;

1 5

12.18 1) нет;

x 2t,
					Q(1; 2; 10) . 12.21	Q(4;1; 3) .
2) да. 12.19 y 3t 2 , 12.20
			3.
z 17t
12.22. 1) cos	3	; 2)	cos	6	.

5				61

Занятие 13.

Кривые второго порядка на плоскости Аудиторные задания

13.1 Для следующих эллипсов и гипербол найдите: а) полуоси; б) расстояние между фокусами; в) эксцентриситет ; г) координаты фокусов; д) координаты вершин; е) для гипербол составьте уравнения асимптот.


1)	x2		y2		1;	2)	x2		y2		1;

	16	25					25	16
3)	x2			y2	1 ;	4)	x2			y2	1 .

	144	25					144	25

13.2 Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если: 1) его полуоси равны 1 и 7;

2)расстояние между фокусами равно 8 и малая полуось равна 3;

3)большая полуось равна 5 и точка M0 3; 2;4 лежит на эллипсе.

13.3Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:

1)его полуоси равны 2 и 5;

2)расстояние между фокусами равно 12 и большая полуось 13;

3) малая ось равна 10, а эксцентриситет 12 .

13.4Составьте уравнение гиперболы, если:

1)ее фокусы находятся в точках F1 7;0 , F2 7;0 , а действитель-

ная полуось равна 5;

2) гипербола проходит через точку M0 6; 2,5 3 , а ее вершины находятся в точках A1 4;0 , A2 4;0 .

13.5 Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:

1)ее действительная и мнимая полуоси равны 11 и 4 соответственно;

2)расстояние между фокусами равно 10, а эксцентриситет 5 ;

3) уравнение одной из асимптот y 3 x , а действительная полуось

равна 6.

13.6 Составьте каноническое уравнение параболы, если:

1) ее вершина совпадает с началом координат, а фокус находится в точке F 2;0 ;

2) ветви направлены вверх, а параметр равен 4;

3) уравнение директрисы y 3 , а фокус находится в точке

F 0; 3 ;

4) ее вершина совпадает с началом координат, парабола проходит через точку M0 9; 6 и ось абсцисс является осью параболы.

13.7 Определите вид и расположение линии 2-го порядка, постройте ее:


1)	9x		2	4y	2		18x 16y		11 0	;

2)	9x		2	16y		2		54x 64y 127 0			;

3)	x	2	10x 8y 49 0						;

4)	y	2	2x 4y 2 0 ;

5)4x2 9y2 16x 18y 7 0 ;

6)x2 4y2 4x 32y 68 0 .

Домашние задания

13.8 Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что:

1)расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3;

2)малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 4/5.

13.9	Найти координаты					фокусов и			эксцентриситет эллипса
4x2 y2		4 .
13.10		Составить		каноническое			уравнение				эллипса,		проходящего
			3	3						4	2
			3	3						4	2
через точки M1					; 1	и	M 2	1;				, и	найти его
				2							3

эксцентриситет.

13.11 Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями x 2y 0 , а расстояние между вершинами,

лежащими на оси Ox, равно 4.

13.12 Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:

1)расстояние между фокусами равно 30, а расстояние между вершинами равно 24;

2)действительная полуось равна 4 и гипербола проходит через точ-

ку M (2;4 2 ) .

13.13Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся

вфокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 6x2 5y2 30 .

13.14 Составить каноническое уравнение параболы, если

известно, что:
1) парабола имеет фокус	F(0;2)	и вершину в точке O(0;0)	;

2) парабола точку M (4;

симметрична относительно оси Ox и проходит через

2) .

13.15Найти длину общей хорды параболы y 2x2 и окружности x2 y2 5 .

13.16Написать уравнение параболы, проходящей через точки (0; 0) и ( 2; 4) , если парабола симметрична: 1) относительна оси Ox ;

2)относительно оси Oy .

13.17Составить канонические уравнения парабол, фокусы

которых совпадают с фокусами гиперболы x2 y2 8 .

13.18 Выяснить, какая фигура соответствует каждому из данных уравнений, и (в случае непустого множества) изобразить ее в системе координат Оху:

1)x2 y2 4x 6y 4 0 ;

2)3x2 4y2 12x 8y 20 0 ;

3)y2 3x 4y 10 0 ;

4)2x2 3y2 6x 6y 25 0 .

5)4x2 25y2 4x 10y 8 0 ;

6)x2 y2 2x 2y 0 ;

7)x2 6x 2y 11 0 .

Ответы: 13.1 1)	а)		a 4; b 5 ; б)			2c 6 ;	в)	3	;
Ответы: 13.1 1)	а)		a 4; b 5 ; б)			2c 6 ;	в)		;
г) F1 0; 3 , F2 0;3 ; д)		4;0 , 4;0 , 0;5 , 0; 5 ;					5
г) F1 0; 3 , F2 0;3 ; д)		4;0 , 4;0 , 0;5 , 0; 5 ;
2) а) a 5; b 4 ;	б)		2c 6 ; в)	3	;	г) F 3;0 , F 3;0 ;
2) а) a 5; b 4 ;	б)		2c 6 ; в)		;	г) F 3;0 , F 3;0 ;
			5			1	2
			5
			43

д)

5;0 ,

5;0 , 0;4 ,

0; 4

;

3) а)

12; b

;

б)

; в)

	13

	5

; г)

F1 0; 13 ,

F	0;13
2

;

д)

A1 0; 5 ,

A	0;5
2

; е)

y 5 x ; 4) а)

12; b

; б)

;

в)			13			; г)				F 13;0 , F 13;0 ;															д)			A 12;0 , A 12;0 ;
в)						; г)				F 13;0 , F 13;0 ;															д)			A 12;0 , A 12;0 ;
		12									1					2													1				2
		12
е)	y			5		x .
е)	y					x .
		12
13.2 1)		x2						y2		1	; 2)			x2			y2			1; 3)						x2				y2		1 .
13.2 1)										1	; 2)									1; 3)												1 .
		49			1								25			9								25					9
13.3 1)		x2						y2		1	;	2)			x2				y2				1;	3)			x2				y2		1.
13.3 1)										1	;	2)											1;	3)									1.
		4			25								133			169								25					169
13.4 1)		x2					y2			1	;	2)			x2			y2				1 .
13.4 1)										1	;	2)										1 .
		25			24								16			15
13.5 1)		y2							x2	1; 2)					y2		x2				1 ; 3)					y2				x2		1 .
13.5 1)										1; 2)											1 ; 3)											1 .
		121			16								9			16								36					64

13.61) y2 8x ; 2) x2 8y ; 3) x2 12 y ; 4) y2 4x .

13.7Во всех задачах новые координатные оси Ox, Oy, Oz сонаправлены старым, начало координат новой системы координат находит-

ся в точке O .

		X	2		Y 2
1)	эллипс						1, O 1; 2 ;
1)	эллипс						1, O 1; 2 ;
	4				9
				X 2		Y 2
2)	гипербола							1, O 3;2 ;
2)	гипербола		16			9		1, O 3;2 ;
			16			9
								44

3) парабола	X	2
			8Y , O 5;3 ;

4)парабола Y 2 2X , O 3;2 ;

5)пара пересекающихся прямых

6)точка O 2;4 .

2x 3y 7 0

3y 1

;


13.8 1)		x2		y2	1;		x2		y2	1;
		25		9			9		25

2)	x2		y2	1;		x2		y2	1 .

36		100			100			36

13.9 F 0,					3	,		F 0,		3 ,					3		.
13.9 F 0,					3	,		F 0,		3 ,							.
	1							2							2
															2
13.10	x2			y2			1;			5	. 13.11					x2		y2			1.
13.10	9						1;			3	. 13.11										1.
	9				4					3					4				1
13.12. 1)			x2				y2	1;		y2			x2	1; 2)						y2			x2	1.
13.12. 1)								1;						1; 2)										1.
		144				81			144				81						16			4
13.13	y2			x2			1. 13.14 1)					x2 8y; 2)							y2 x . 13.15 2.
13.13							1. 13.14 1)					x2 8y; 2)							y2 x . 13.15 2.

13.161) y2 8x ; 2) y x2 . 13.17 y2 16x .

13.18 1) окружность x 2 2 y 3 2 12 ; 2) гипербола y 1 2 x 2 2 1;

3)парабола y 2 2 3 x 2 ; 4) пустое множество;

5)	эллипс	(x 0,5)2	( y 0,2)	2	1;
5)	эллипс				1;
	2,5		0,4
6)	пара пересекающихся прямых x y 2 0; x y 0 ;
				45

7) парабола

(x 3)	2	2( y 1) .

Занятие 14. Поверхности второго порядка

Аудиторные задания

14.1 Определите вид поверхностей и их расположение относительно координатных осей:


1)				x2			y2			z2	1;		2)					x2		y2			z2	1 ;

		9			16			25									16		25			100
3)	x2		y2			z2			1 ; 4)			x2		y2		z2	1; 5)				x2		y2	2z ;

	16	25			100						25		64		49				16			4

6)			x2			y2		z2	0 ;		7)		x2		y2			z2		1 ;

		9			16		25						16	25			100
8)	x2			z2	2x ;				9)	x2	z2	1;	10)			x2			z2		1 ;

	16	25								16	100					16	25

11)z2 18x .

14.2Привести к каноническому виду уравнение 2-го порядка, используя преобразование параллельного переноса, определить вид поверхности и ее расположение относительно новой системы координат:

1)9x2 4y2 4z2 18x 16z 11 0 ;

2)9x2 4y2 4z2 18x 16z 43 0 ;

3)9x2 4y2 4z2 18x 16z 25 0 ;

4)9y2 4z2 36x 72 ;

5)x2 y2 6x 4y 12 0 ;

6)y2 4x 16 ;

7)x2 y2 z2 6x 4y 2z 10 0 .

14.3 Постройте тело, ограниченное поверхностями:


1)	x		2	y			2	4; z 0; z 1; y x;						y x 3 , расположенное в пер-

вом октанте;
2)	x	2		y		2			2x; z 0; z x		2	y	2	;

3)	z x				2		y		2	1; x 0; y 0; z			0; x 4; y 4 ;

4)	z x2 y2; z 0; x 3 ; 5) x2 y2 z2 9; x2 y2 3a .

Домашние задания

14.4 Определить вид поверхности и построить ее:

1)x2 y2 z2 3x 5y 4z 0 ; 2) x y2 2z2 ;

3) 2x2 y2 z2 4 ; 4) 2x2 y2 3z2 0 ; 5) z2 4x ;

6) x2 z2 5 ; 7) x2 y2 z2 2z ; 8) x2 3z2 8x 18z 34 0 ; 9) 5x2 y2 10x 6y 10z 14 0 ;

Ответы: 14.1 1) эллипсоид; 2) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Oz; 3) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Ox; 4) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Oy; 5) эллиптический параболоид, вытянутый в положительном направлении оси Oz; 6) конус, вытянутый вдоль оси Ox; 7) однополостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Ox; 8) эллиптический параболоид, вытянутый в отрицательном направлении оси Ox; 9) эллиптический цилиндр, образующие параллельны оси Oy; 10) гиперболический цилиндр, образующие параллельны оси Oy; 11) параболический цилиндр, образующие параллельны оси Oy.

14.2 Во всех задачах новые координатные оси OX, OY, OZ сонаправлены старым, начало координат новой системы координат находится в точке O .

3) конус второго порядка	9X	2	4Y	2

оси OY, O 1;0; 2 ;

4) эллиптический параболоид Y 2

жительном направлении оси OX, O

4Z	2

Z 2

X ,

2;0;0 ;

0	, вытянутый вдоль

вытянутый в поло-

5) эллиптический цилиндр (круговой) X 2 Y 2 1 , образующие параллельны оси OZ, O 3;2;0 ;

6)параболический цилиндр Y 2 4X , образующие параллельны оси OZ, O 4;0;0 ;

7)сфера X 2 Y 2 Z 2 4 , O 3;2; 1 .

		3	2
14.4 1) сфера

	x			y
		2
		2

5	2	2	25
		2
		z 2		; 2) эллиптиче-
		z 2		; 2) эллиптиче-
2			2
2			2

ский параболоид; 3) однополостный гиперболоид; 4) коническая поверхность; 5) параболический цилиндр; 6) круговой цилиндр; 7) сфера

x2 y2 (z 1)2 1;									8)	эллиптический	цилиндр
(x 4)			2	(z 3)2
						1;			9)	эллиптический	параболоид
	9				3	1;			9)	эллиптический	параболоид
	9				3
z		(x 1)2			( y 3)		2	.
z			2		10			.
			2		10

Занятие 15.

Функция. Предел последовательности и предел функции Аудиторные задания

15.1 Найти области определения функций:

1)	y
3)	y

x2 6x

25 x2



5 ; lg sin

;

2)	y
4)	y



				2x
arccos
				1 x
2	x	2	2
	x		2	.
				.

;

15.2 Проверить функции на четность или нечетность:

f (x) x4 5x2 ;

2) f (x) x2 x ;

f (x)

4) f (x)

;

15.3 Построить графики функций:

2x 3

;

2) y | 3x 4 x2 | ;

x 1

y 2sin(2x 2) ;

y x sin x .

15.4 Вычислить пределы:

lim 2x2 2x 3 ;

lim x 3 2 x 1 ; 3)

lim

1 3x x2

;

x 3

x 1

lim

3x 1

lim

5x2 3x 1

;

x 2 2 x

x x 1

3x2

x 5

lim

;

lim

1 3x2 x3

;

5 3x

2x 1

2n 1

1 2n3

n 1 3 n 1 3

lim

;

10)

lim

;

5n 7

2 5n

n 1

n2 n 2

x3 8

11)

lim

;

12)

lim

;

13)

lim

;

n 1

n 1 ! n!

x 2 4 x2

lim

3x2

lim

2x2 9x 4

lim

x2 25

14)

; 15)

; 16)

;

x 3 81 x4

x 4 x2 x 20

x 5 x2 6x 5

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf