Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Занятие 6. Ранг матрицы

				Аудиторные задания
6.1		Найти ранг матрицы:
3		1	2	2 1			5	6
1)	4	3	3 ;	2)	1	1 3		5 .
	1				1	5	1
	1	3 0			1	5	1	3

6.2 Найти ранги матриц с помощью элементарных преобразований или методом окаймляющих миноров и указать какой-либо базисный минор.

1		2	4 5			8 1 7				5	5
1)	2	1	0 6 ;			2)	2 1		3	1	1 ;
	2	4	8				1	1 1		1
	2	4	8	4			1	1 1		1	1
1		3	5 1			3		1 3		2 5
		1	3					3 2
3) 2		1	3	4	;	4) 5		3 2		3 4		;
5		1 1		7		1		3	5	0 7
	7	7	9	1			7	5 1		4 1
	7	7	9	1			7	5 1		4 1
1		0	2		4

2		1	3		1
5)	1	1	5		3 .
4		2	6		2

	0	1	7		7
6.3 При каких значениях ранг матрицы равен двум:
1		3 4						2	3
1)		0 1 ;				2)	0	2 4		?
	4						0	0	7
	4	3 3					0	0	7

6.4 Проверить справедливость неравенств rAB rA , rAB rB , если

	1	0
	1
A	1	2
	3	1
	3	1

0		2
		1
B	3
	2	0

Домашние задания

6.5 Найти ранги матриц и указать какой-нибудь базисный минор.

2		1	3	2 1		1 3	1		1	2	1	2
2		1	3	2 1		1 3	1
		2				2 1 1			0	1	2	3
1) 4		2	0	; 2) 1 0		2 1 1		; 3)	1 2		1	0 .
0		0 6		1 3		11 2 5			1	3	1	1
	4	2	1			10 5 4			1	3	1	1
	4	2	1	1 4		10 5 4
									2	5	0	1
6.6		Проверить справедливость неравенства rA B rA rB , если
	1	1	1	1	1	1
A		1			2
A	2	1	3 , B 2		2	2 .
		2
	3	2	4	1 1		1

									1		2	5
									1		2	5
Ответы:		6.1	1) 2; 2)		2.	6.2	1) r 3,		2		1	6	;
									2		4	4
		8	1		1	3	1			3	1	5
					1	3	1			3	1	5
2)	r 2,			; 3) r 3,	2	1	3	; 4) r 3,		5	3	4	;
		2	1		7	7	1			7	5	1
		1	0		7	7	1			7	5	1

5)	r 2,			. 6.3 1) 3	; 2)	0, 2 . 6.5 1) 2; 2) 3; 3) 3.
		2	1

Занятие 7.

Решение произвольных и однородных систем линейных уравнений

Аудиторные задания

7.1 Исследовать системы на совместность и в случае совместности решить их.

	2x y z 2,																	2x1 7x2 3x3 x4 6,
1) x 2 y 3z 1,																	2) 3x 5x							2	2x 2x								4	4,
																			1					2			3						4
																				4x2 x3 7x4 2.
	x 3y 2z 3.																	9x1		4x2 x3 7x4 2.
		x 2x x 4x x																x 2x x 3x x 1,
		x 2x x 4x x														1,			1				2			3			4					5
3)		1					2			3		4 5					4)	x 3x x 2x x 3,
	2x1 3x2 2x3 x4 x5															3.			1			2				3			4					5
																		x1 7x2 x3 4x4 x5 5.
	3x1 x2 x3 2x5													18,				x1 x2 x3 x4 2,
				5x2 x4 x5 7,														x1 x2 x3 x4 2,
	2x1			5x2 x4 x5 7,
5) x x					4	2x 8,											6) x1 2x2							2x3 x4 5,
		1			4				5									2x1 x2						3x3			2x4						1,
	2x		2	x				x		4	x		10,					2x1 x2						3x3			2x4						1,
			2			3				4	5							x 2x						3x			6x						10.
																		x 2x					2	3x			6x					4	10.
						3x3 x4 1.													1				2			3						4
	x1 x2					3x3 x4 1.
	x 3x					2		4x x				4		2,				x 5x					2	3x x						4		1,
		1				2				3		4							1				2			3				4
7)	2x 3x							2	x 5x					4	3,		8)	2x 10x							2			3x			4	0,
		1						2		3				4					1						2						4
									5x3 4x4 6.											20x2 6x3 x4 2.
	3x1								5x3 4x4 6.									4x1		20x2 6x3 x4 2.
	7.2 Решить однородную систему и найти фундаментальную
систему решений.
1) x1 2x2 x3 0,																	3x1 2x2 x3 0,
1) x1 2x2 x3 0,																2) 2x 5x					2	3x 0,
	2x1 9x2 3x3 0.																	1			2					3
	2x1 9x2 3x3 0.																3x 4x				2	2x 0.
																		1			2					3
3) 2x1 2x2 x3 3x4 0,																		x1 4x2 3x3 6x4 0,
3) 2x1 2x2 x3 3x4 0,																4)		2x 5x				2	x 2x					4	0,
	x1 x2 3x3 x4 0.																		1			2				3		4
	x1 x2 3x3 x4 0.																	7x2		10x3 20x4 0.
																	x1	7x2		10x3 20x4 0.
																	22

x		2x		2	3x			x	4	0,
	1					3
	2x		4x			x		x		0,
					2		3		4
		1
			6x			4x				0.
3x					2			3
		1

3x			x	2	2x			3	x		4	x		5	0,
		1
			3x			x			2x				x		0,
6x					2			3				4
		1													5
	x	2x			x			x			x			0.
				2			3			4
	1												5

7.3 Решить системы методом Гаусса:

x1		x2 x3 4,
1)	x 2x		2	3x	0,
	1			3
				2x3	16;
2x1

3x y 2z 0,

3)4x 3y 3z 0,x 3y 0;

	x1 x2 x3 3,
2)	2x x	2	x 2,
	1		3

x1 4x2 2x3 5;
	x 2 y 3z 6,

4) 4x 5y 6z 9,
	7x 8y		6.

Домашние задания

7.4 Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их.

	x 2x					2	x 1,								x x			2	3x 1,
		1				2		3							1			2				3
1)	2x 3x 5x 3,												2)		2x 3x					2		2x 2,
		1			2				3							1				2		3
			5x2				6x3 7.										x2 4x3 4.
	3x1		5x2				6x3 7.								4x1		x2 4x3 4.
	2x1 3x2						1,										x1 5x2 3x3 x4 1,
			4x2				1,										x1 5x2 3x3 x4 1,
	3x1		4x2				1,											2x1 10x2 3x4 0,
3)		2x2				1,							4)					2x1 10x2 3x4 0,
	x1	2x2				1,											20x2 6x3 x4 2.
	4x 5x				2		1.								4x1		20x2 6x3 x4 2.
		1			2
	7.5		Решить системы:
	x	2x				x			0,						3x x							2x x				0,
	1			2				3							3x x						2	2x x			4	0,
1) 3x1 x2 2x3 0,													2)				1				2	3			4
1) 3x1 x2 2x3 0,													2)			2x2 4x3 2x4 0.
			x2 3x3 0.												x1	2x2 4x3 2x4 0.
	4x1		x2 3x3 0.
Ответы: 7.1 1) Система несовместна;
			9C					2			10 5C		C

	C						2							2						C , C				R ;
2)		1					2			,		1		2	, C ,C
2)										,					, C ,C
			11								11					1		2				1	2

3)	9 C 14C			C		4C 7C		3C	1
3)		1	2	3	,	1	2	3	,	C	,	C	,
		1	2	3		1	2	3

										1		2
			7				7
			7				7

C
C
3

C	,
1

C	,
2

R

;

5)	x1 5,		x2 4,			x3 3,				x4 1,					x5 2		;
		3 5C		13C		5C			4 C
		3 5C		13C	2	5C	3		4 C		2
4)			1		2		3	,			2	, C1	,	C2	, C3	C1, C2 , C3
				5						5

6) C,C 1,C 2, C 3 C R ;

7) система несовместна;

R

;

							3 5C 25C																					10C 2C
							3 5C 25C																					10C 2C
						,							1									2			,							2	1		C1,C2 R .

8) C1,C2
														9																		3
														9																		3

			3						C																						3, 1, 5 ;
7.2 1)					C ,						1	, C					C R ;																					2)		x			x					x 0 ;
7.2 1)					C ,							, C					C R ;																					2)		x			x					x 0 ;
			5			1				5			1							1																				1							2			3


		7C 8C											5C																																8				5

																	2						C C							R ; 1, 1, 0, 0 ;
3)			1					2 , C ,									2		, C																												, 0,			, 1 ;
3)			1					2 , C ,											, C																												, 0,			, 1 ;
			7									1			7						2						1 2																		7				7


4)		19C 38C								2		7C 14C								2															19					7									38									;
4)			1							2			1							2																																						;
											,																			C1C2			R ,			,															,
											,											,C1, C2								C1C2			R ,			,							, 1, 0 ,								,			7, 0, 1
			3												2																				3					2									3
			3												2																				3					2									3
						3C 6C												5C 10C																										3 5									3 5
						3C 6C												5C 10C																										3 5									3 5
5)								1					2							1							2				C ,C R																										;
5)		C ,C ,													,																														,					0,1,				,			;
		C ,C ,													,																								, 1,0,						,				,	0,1,				,
		1	2																													1	2
											4											4																					4				4			2					2
											4											4																					4				4			2					2
6) 8C 9C				2			6C 23C						2			22C 11C								2										4					3	11					9					23				11		.
6) 8C 9C							6C 23C									22C 11C																		4					3	11					9					23				11		.
		1								1							1
					,									,																		C1C2	R ,				, ,												,			,
					,									,												, C1, C2						C1C2	R ,				, ,					1, 0 ,							,			,			, 0, 1
		26									26						26																	13					13	13					26					26				26
		26									26						26																	13					13	13					26					26				26
7.3 1) C 8;2C 4;C ; C R ;																																2) несовместна;
3) 3C;C;5C ; C R ; 4) (–2;1;2).
																																5 7C									8C
																																																		C R ;
7.4		1)					Несовместна;																				2)												,							, C
7.4		1)					Несовместна;																				2)												,							, C
																																		5						5
3) x 1, x										1; 4)																			3 5C 25C 10C 2C
																													3 5C 25C 10C 2C
							2													C ,C							,					1		2		,				2							1		C ,C R									.
																																																										.
	1
																						1			2																									1				2
																																9								3
																																9								3

7.5 1) x1 0, x2 0, x3 0 ; 2) {(0,2C1 C2,C1,C2 ) | C1,C2 R}.

Занятие 8.

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Аудиторные задания

8.1 Определить, для каких векторов

следующие условия:

| a

b | | a |

| b | ;

| a

b | | a | | b | ;

| a b | 0 ; 5)

| a |

| b |

8.2

Даны векторы

a 3i 2 j

6k и

выполняются


\| a	b \| \| a		b \| ;

j . Определить

проекции на координатные оси следующих векторов:

	1
1)		b ;	2)	2a	;	3)	2a	3b .
	2
8.3		Проверить коллинеарность векторов								1;3)		9) .
									a(2;		и b( 6; 3;

Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

8.4

При каких α и векторы

5 j

и b i 2 j

коллинеарны?

ортогональны, а векторы a

и c

j k

8.5

3) .

Найти направляющие косинусы вектора a(6; 2;

8.6

Определить модули суммы и разности векторов a

5 j

иb i j 4k .

8.7Даны вершины треугольника A 4; 1;2 , B 0;1; 3 , C 6;5;3 .

Найдите: 1)	координаты	вектора AD , если AD – медиана
треугольника; 2) координаты точки O пересечения медиан этого
треугольника.		A 4;4;0 , B 0;0;0 , C 0;3;4 , D 1;4;4 .
8.8 Даны	точки	A 4;4;0 , B 0;0;0 , C 0;3;4 , D 1;4;4 .

Докажите, что ABCD – равнобедренная трапеция.

8.9 Дан треугольник с вершинами в точках

A 2;3; 1 , B 4;1; 2 , C 1;0;2 . Найти:

а) внутренний угол при вершине С; б) площадь треугольника АВС; в) длину высоты, опущенной из вершины С на АВ.

8.10 Даны точки

A( 1; 2;1), B(2;1; 3),C(3; 0;5)

. Подобрать

точку

так,

параллелограммом.

чтобы четырехугольник

ABCD

был

	8.11	Найти
				( m		2n ,


\| a \| \| b \| 2;			(a ,b )		.


	8.12	Даны		вершины
C( 4;1;1)			и D( 5; 5; 3) .


				3b ,
m n ), если	m 2a	b , n	a

четырехугольника A(1; 2; 2), B(1; 4;0) , Доказать, что его диагонали AC и BD

взаимно перпендикулярны.

8.13 Вычислить внутренние углы треугольника АВС, если A(1; 2;1), B(3; 1;7), C(7; 4; 2) . Убедиться, что этот треугольник

равнобедренный.

8.14

Вычислить

проекцию

вектора

2 j

5k на ось

вектора b

j 2k .

8.15

Даны векторы

1;1;4 . Найти

a 1; 3;4 , b 3; 4;2 ,

прb c a .

8.16

Какую работу производит сила

F 2; 1; 4 , когда точка

ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки

A 1; 2;3 в точку B 5; 6;1 ?

Домашние задания

8.17

Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного

на векторах

4) , и косинус угла между его

a(3; 5;8) и

b( 1;1;

диагоналями.

8.18

Даны

три

вектора

2) .

a( 2;1;1) , b(1;5; 0)

c(4; 4;

Вычислить пр

(3a

2b) .

8.19

При

каком

значении

векторы

a i

3 j 2k и

2 j k

взаимно перпендикулярны?

8.20

Векторы

образуют угол

Зная,

что

	\|
\| a

	\|
3 , \| b

вычислить угол между векторами


			b
	p a


q	a b .
	8.21	Найти	координаты вектора			, коллинеарного	вектору
	8.21	Найти	координаты вектора		b	, коллинеарного	вектору

a	(2; 1; 1) , при условии что (a , b) 3 .
	8.22	Даны	точки	A 1;0;2 , B 2;3; 4 , C 2;3;4 .			Найдите
координаты вектора AD , если известно,						что точка D делит отрезок
BC в отношении 3.

8.23	Найдите направляющие	косинусы вектора
A 3;4; 5 , B 1;8; 3 .
8.24
8.24	Найдите вектор b , ортогональный вектору a

и удовлетворяющий условиям b,i		3; b, j 2 .

AB ,		если

i	2 j		k

Ответы: 8.1

5)a b;


1) a		b ; 2)
	0;			0 .
a			b



a	b,	a	b	; 3) a	b	; 4) a	b ;

		1		6; 4; 12 ; 3)	0; 1; 12 .
	1;
8.2 1)		; 0	; 2)
8.2 1)		; 0	; 2)
		2

8.3 Векторы противоположно направленные, вектор b длиннее век-

тора
тора			a в 3 раза.
8.4 1) 5 ; 2)								10;				3	.
8.4 1) 5 ; 2)								10;				5	.
												5
8.5	cos				6	;		cos		2	;	cos		3	.
8.5	cos					;		cos			;	cos			.
			7					7				7
8.6				6;					14 .

		a	b				a	b

						10			5	2
	AD 1;4; 2 ; 2)
8.7 1)							;			;
8.7 1)					O		;			;	.
							3		3	3
8.9 а)	arccos	18	; б)	170		; в)		170		. 8.10 D 0; 1; 9 . 8.11 – 42.
8.9 а)	arccos		; б)	2		; в)	3			. 8.10 D 0; 1; 9 . 8.11 – 42.
	494			2			3
							27

8.13

cos

A	12
A	;
	49

cos B	122	;	cos C	122
cos B		;	cos C
	14			14

. 8.14 2 .

8.155. 8.16 20. 8.17

8.18
8.18	пр (3a	2b) 11.
	c


		b
	\| a	b

8.19

| 6

6 .


	b	\|
a

8.20

cos

arccos

8.21 b

;

. 8.22 AD 3;3;0 .

8.23 cos

; cos

. 8.24 b 3;2;7 .

Занятие 9.

Векторное и смешанное произведения векторов

Аудиторные задания

9.1

Векторы

ортогональны. Зная, что

и b

| a | 3, | b | 4 ,

вычислить: 1) | [a , b] | ; 2)

| [a

b , a

b] | ; 3) | [ (3a

b), (a

b) ] | .

9.2

Даны векторы a (3; 1; 2),b (1; 2; 1) . Найти координаты

векторных произведений:

1) [a , b]; 2) [2a

b , b]; 3) [2a

b , 2a

b] .

9.3

Найдите

какой-либо

ненулевой

вектор

c ,

1;2;3

перпендикулярный векторам a

и b 0;2;5 .

9.4

Вычислите синус угла, образованного векторами

6 j

и b

3 j .

9.5

Даны

вершины

треугольника A(1; 1; 2), B(5; 6; 2) ,

C(1; 3; 1) .

Вычислить

площадь треугольника и длину высоты,

опущенной из вершины B на сторону AC .

9.6

Докажите справедливость тождества a b, a b

2 a,b

и выясните его геометрический смысл.

9.7 Даны Найдите: 1)

	векторы
			; 2)
a,b		, c

a a,

2i
c


j	k ; b	i	j	3k , c	j	k .
.

9.8	Известно,

b c, a b,c

9.9	Сила F

что

3;4;2


	b		0 .	Докажите,	что
a		c
приложена			к	точке C 2;1; 2 .

Определите величину и направляющие косинусы момента силы относительно начала координат.

9.10 Выясните, компланарны ли векторы:

					1;0;0 ;	б)		4; 2;0 ,		3;6;3 ,
	а) a	0;1;1 , b	1;1;1 , c		1;0;0 ;	б)	a	4; 2;0 ,	b	3;6;3 ,
	1;4; 5
c	1;4; 5
	9.11	Доказать,		что четыре		точки		A(1; 2; 1), B(0; 1; 5) ,

C( 1; 2; 1), D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

9.12

Даны

вершины

тетраэдра:

A(2; 3; 1), B(4; 1; 2),C(6; 3; 7),

D( 5; 4; 8) . Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной

из вершины D .

9.13

Выясните ориентацию тройки векторов:

1) a

i j

2k ; b 3i 4 j

k , c 2i 3 j k ;

2) a

2k ; b 3i

2k , c

2i j k .

9.14

Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на

векторах

если за основание

5 j k , b

2k , c

j k ,

взят параллелограмм, построенный на векторах a и b .

Домашние задания

9.15

Найти вектор c

, ортогональный векторам a (2; 3;1)

b (1; 2;3)

и удовлетворяющий условию (c, i

2 j

7k ) 10 .

9.16

Вычислить

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

a (0; 1;1)

и b (1; 1; 1) .

9.17

Вычислить синус угла, образованного векторами a (2; 2;1)

и b (2; 3; 6) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf