Математика. Ч. 1_2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

arcsin x .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

в)

	1	arcsin x arctg2x
	2	arcsin x arctg2x
lim	2
lim
x 0		x

. г)

		1
lim 1 x	x	2	x
	x		x

x 0

1.25.а)

в)

	2x	2	2x 12
lim				.
		2	3x 2
x 2	x

lim cos6x cos3x

x 0 x2

б)

. г)

lim x

lim


x	5	x	3	8
x		x		8
100 x					3
100 x

x ln x 5

ln x .

З а д а ч а 2

Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва; в условии «б» дополнительно построить график функции.

x2 1

при x 1;

ln 1 x

f x

2.1. а)

б)

при

1 x 4;

x 3

при

x 4.

при

x 0 ;

f x arctg

f x

2.2. а)

б)

sin x при

1 x

;

при

ln x

при

0 x 1;

f x

f x 3x 2 .

при 1 x 3;

2.3. а)

б)

2 3

x 3.

при

0 x

;

tg x

f x

2.4. а)

б)

при

x ;

e1 x

sin x 2 при

x .

120

2.5.а)

2.6.а)

2.7.а)

f x

1
2 x	1	.
1		.
1
2 x	1

x 2 x 2 .

x2 3x 2 . x x3

	x 1					при	x 1;
			x
б) f x 3			x			при	0 x 2;
б) f x 3						при	0 x 2;
						при	x 2.
	6 x					при	x 2.

							0 x 1;
		2			x	при	0 x 1;
	f x				2 при		1 x 2;
б)	f x	x2			2 при		1 x 2;

				2			x 2.

		x 4 при
		x2			1 при		x 1;

	f x	2					1 x 4;
б)						при
б)						при
		x					x 4.
		x 2				при	x 4.

x 1

при

x 3;

2.8. а)

f x

б)

f x 3x 7

при

3 x 4;

1 x2

x 4.

при

cos x

при

x 0;

5x 6

2.9. а)

f x

б)

f x 1

при

0 x 3;

x2 2x

2 5

x 3.

при

x 0;

sin x 3

2.10. а)

f x

б)

f x tg x

при

;

x2 4x

при

121

2.11.а)

2.12.а)

2.13.а)

2.14.а)

2.15.а)

2.16.а)

2.17.а)

2.18.а)

f x			2			.

	4 x2
f x e			1		.
f x e			4x 2		.
			4x 2
f x		x 1		.



		x 1

fx x 2 .

f x 2 x 3 .

f x	x 2	.

	x2 3x

f x 3 . x2 9

f x 44 x .

		3			при	x 0;
б)					при	0 x ;
б)	f x x				при	0 x ;
					при	x .
		sin x			при	x .

		1			при	x 1;
б)					при	1 x 2;
б)	f x x				при	1 x 2;
					при	x 2.
		x 2			при	x 2.
			ex		при		x 0;
		f x		x при			0 x 1;
б)		f x	1	x при			0 x 1;
							x 1.
			x		при		x 1.
			0		при x 0;
б)		f x			при 0 x 1;
б)		f x	1		при 0 x 1;
				x при x 1.
			2	x при x 1.
			x		при		x 0;
		f x		2			0 x 1;
б)		f x	x	2	при		0 x 1;
				2 1 при			x 1.
			x	2 1 при			x 1.
			0		при	x 0;
б)		f x			при	0 x 1;
б)		f x	1		при	0 x 1;
					при	x 1.
			x		при	x 1.
			sin x при				x 0;
		f x				0 x 1;
б)		f x	x2		при	0 x 1;
				1 при			x 1.
			x	1 при			x 1.
			cos x при				x 0;
б)		f x			при		0 x 1;
б)		f x	1		при		0 x 1;
							x 1.
			1 x при				x 1.

122

2.19.а)

2.20.а)

f x x 2 . x2 4x 3

f x sin 2 x .

2 x

б)

0			при	x 0;
			при	0 x 1;
f x 2			при	0 x 1;
	x	2	при	x 1.
	x	2	при	x 1.

1			при	x 1;
				1 x 2;
f x x			при	1 x 2;
				x 2.
1 x2			при	x 2.

2.21.а) f x tg x x2 9 . б)

x2 3x

1
2.22. а) f x 5		.
	x 2		б)

4 x2			при

f x x 1			при
		x 1 при

	x	3	при



f x x2 9 при
		3	при
x

x 2; 2 x 4;

x 4.

x 0; 0 x 3;

x 3.

2.23. а) f x 1 cos x .

2x2 x3

2.24.а) f x x2 5x 6 .

x2 3x

	x			при

б)	f x		x	при
			4 2 при
	x		4 2 при


		x 3 при
б)	f x			при
б)	f x	tg x		при

				при
		1		при

x 0; 0 x 4;

x 4.

x 0;

0 x 4 ; x 4 .

1		x		при	x 0;

2.25. а) f x 31 x .	б)			при	0 x 1;
2.25. а) f x 31 x .	б)	f x 1 x	2	при	0 x 1;
				при	x 1.
		ln x		при	x 1.

123

З а д а ч а 3

Найти производные функций.

3.1. а)

x arcsin

в) x

3.2. a)

y lntg

2x 1

;

в) x y yx 0.

3.3. а)

y ln

1 sin x

;

1 sin x

в) ex ey 2xy 3 0.

3.4. а)

y ln

1 x;

15y2 100 0.

в) sin y x2 ln y x2 2

y x2

3 0.

3.5. а)

y arcsin

2x3

;

1 x6

в)

3.6. а)

y arctg

1 x

;

1 x

в) x2 sin y y3 cosx 2x 3y 1 0.

3.7. а)

y arcsin

sin x

;

1 sin 2 x

124

б)	y x	arcsinx	;

б) y x ln x ;

б) y xx ;

б) y xln x ;

б) y xsin x ;

б) y (sin x)cos x ;

б) y (x 1) x ;

в)	x2		y2	1.
в)	25		9	1.
	25		9
		y ln			x	2	1	1
3.8. а)					x		1	1	;
3.8. а)						2	1	1	;
					x	2
					x
в) x4 y4 x2 y2.
3.9. а)		y ex sin ex cos3 ex sin3 ex cosex ;
в)	x		y a.

б)

y x	2	e	x	2	sin 2x;

y x2ex2 ln x;

3.10. а) y arctg(x 1)

в) 2y ln y x.

3.11. а)		y lntg			x	cos x
3.11. а)		y lntg				cos x
					2
в)	ex sin y e y cos x 0.
						1	1
3.12. а)		y ln 1
3.12. а)		y ln 1
						x	x
в)	xy arctg		x	.
в)	xy arctg			.
			y

3.13.а) y ln x2 2x ;

	x 1	;

x2	2x 2
x2	2x 2

13 cos2 x;

;

б) y (x 1) x ;

б) y (ln x)x ;

б) y (x 22 3 x 1 ; (x 5)3

б) y (x 1)3 4 4 2x ; 3 (x 3)2


в)	x 3 y 3 a 3 .
3.14. а) y arccos 2e2x 1 ;		б) y	x sin x 1 ex ;
в)	sin(xy) cos(xy) 0.
		125

y arctg

3x x

3.15. а)

;

1 3x

в) 2x

x y

y lntg

2 sin x

3.16. а)

;

в) x y arcsin x arcsin y.

3.17. а)

arctgx

;

1 x2

в) x2 y2 r 2.

3.18. а) y 2x 1 (ln (2x 1) 2);

	y

в) arctgx ln			x2 y2 .
3.19. а)	y	1 ln cos x		;

			cos x
в) y3 3y 3ax 0.
3.20. а)	y ex		1 e2x	arcsin ex ;

в) cos(xy) x.

3.21.а) y arccos 1 ex ; в) y2 cos x a2 sin 3x;

3.22.а) y log2 sin 2 x ;

в) y2 3y 2x3 0.

x 1 4

3.23. а) y ;

x 1

126

б)	y		1 arcsin x					;
			1 arcsin x

			1
б)	y x		x		;

	y				x x
б)						;

		1			x
б)	y 2x				x ;
б)	y x2 1 sin x;
б) y				x x2 1
		3					;
				x2 1 2
б)	y				x 3 x ;
					1

б)	y (ln x) x ;
б)	y (sin x)arcsin x ;

в) e y xy 1.

3.24.а) y ln 2x3 3x2 ; в) x sin y y sin x 0.

3.25.а) y x2 2x 2 e x ;

в) xy e x 3 xy 0.

б)

y (sin x)	tgx	;

y x cos x ;

З а д а ч а 4

Найти производные второго порядка от функций:

4.1. y cos2 x .

4.3. y log2 3 1 x4 .

4.5. y arcsin x . 1 x2

4.7.y 14 x2 2 ln x 3 .

4.8.y 13 x2 1 x2 23

4.9.y 19 x sin 3x 272

4.11. y tg x .

4.13. y x2 3x 2 3 .

4.15. y 1 . 1 x3

4.17. y a2 x2 .

4.2. y arctgx3 .

4.4. y e x 2 .

4.6.y 22x .

1 x2 x arcsin x .

cos3x . 4.10. y sin 2 x .

4.12. y

1 x2 .

4.14. y x ex 2 .

4.16. y 1 x2 arctgx .

4.18.		1 x	2
4.18.	y ln x	1 x		.

127

4.19.	y e	x	.

4.21.	y arcsin a sin x .

4.23.	x	.

	1 x	2

4.25. y x ln x .

4.24.

4.26. y

З а д а ч а 5

	2	1 x	4
ln x		1 x

11.

 

Найти производные первого и второго порядков от функций, заданных параметрически:

5.1. x t 2 2;		y		1	t3 1 .

			3
5.2. x arcsin t;		y 1 t 2 .
5.3. x at2 ;	y bt3 .
5.4. x cost;	y sin t .
5.5. x a t sin t ;				y a 1 cost .
5.6. x a cos2 t; y			a sin 2 t .

5.7.x ln t; y t 2 1.

5.8.x arcsin t; y ln 1 t 2 .

5.9. x at cost;	y at sin t .
5.10. x arccos	t ; y	t t 2 .

5.11.x cos1 t ; y tgt .

5.12.x arctgt; y ln 1 t 2 .

5.13. x a cos3 t;

y a sin3 t .

128


5.14.	x Rsin t sin Rt; y R cost cosRt
5.15.	x t	2	2t;			y ln t 1 .

5.16.	x 1 e			t	;	y t e	t	.

5.17.	x cost t sin t; y sin t t cost .
5.18.	x 2 cost;					y sin t .

5.19.x t 2 ; y t t3 .

5.20.x e2t ; y e3t .

5.21.x 2 cos2 t; y 2sin 2 t .

5.22.	x 1 et ;	y t e t .
5.23.	x 2sin t	sin 2t; y 2 cost cos2t .

5.24. x et cost;	y et sin t .
5.25. x e2t 4;	y e3t 5 .
	З а д а ч а 6

Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций:

3	2x 1 1				ln x
6.1. а) lim		;	б)	lim		.
	x 2 x
x 1				x 0 ctg x

6.2.а) lim 1 cos x ;

x0 1 cos x

6.3.а) lim 1 cos x ;

x0 x2

6.4. а) lim	x sin x	;
	x3
x

б)


	1
lim x e			1 .
lim x e		x	1 .
x
x

lim 2 arctgx ln x .

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf