Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

4.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M 1; 4

параллельно прямой 2x 3y 4 0 .

4.4. Дан треугольник с вершинами в точках A 1,

2 ,

B 0, 1

C 1, 4 . Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А

параллельно противоположной стороне.

3 2 x

4.5. При

каком

значении параметра

прямые

1 4 y 8 0 и

5 2 x 4 y 7 0

взаимно перпенди-

кулярны?

A 3, 5 ,

B 3, 3

C 5, 8 .

4.6. Даны вершины треугольника

Определить длину медианы, проведенной из вершины С.

4.7. При

каких

значениях α

прямые x 2y 1 0

6x 4y 3 0 :

а) параллельны; б) имеют одну общую точку?

4.8. Написать

уравнение

прямой, проходящей

через

точку

M 4; 3 перпендикулярно вектору M1M 2 , если M1 0,

2 ,

M2 3, 5 .

4.9. Дан треугольник с вершинами в точках M1 2,

5 ,

M2 1, 3

и M3 0, 0 . Составить уравнение медианы,

проведенной из верши-

ны M3 .

4.10. Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

M1 1, 2 перпендикулярно прямой,

соединяющей точки

M2 2, 3

иM3 0, 1 .

4.11.На прямой 2x y 11 0 найти точку, равноудаленную от двух данных точек A 1, 1 и B 3, 0 .

4.12. Написать уравнение	прямой, проходящей через точку
M 1; 1 параллельно прямой 4x y 5 0 .
4.13. Найти расстояние	между прямыми 3x 4y 25 0 и
6x 8y 50 0 .

110

4.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M 1; 2, 3

параллельно вектору			AB , если A 1; 2,	4 , B 3; 5, 8 .
4.15. Привести к каноническому виду уравнения прямой
2x 3y 3z 9 0,
x 2 y z 3 0.

4.16. Найти		уравнение прямой,		проходящей	через точку
M 1;	3 и точку пересечения прямых 2x y 1 0,				3x y 4 0 .
4.17. Найти значения параметров a и d, при которых прямая
x	3 4t
y	1 4t
		принадлежит плоскости ax 2y 4z d 0 .
z	3 t

4.18.Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 5), B( 4, 3), С(2, 9). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины А.

4.19.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x 5y 2 0, 5x 2y 4 0 и точку А(1, 3).

4.20.Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 1), B( 2, 3), С(4, 7). Написать уравнение медианы, проведенной из вершины А.

4.21.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 1) параллельно прямой, соединяющей точки M1(2, 3) и M2 (5, 1) .

4.22. Даны	уравнения сторон треугольника x 2y 1 0,
5x 4y 17 0,	x 4y 11 0 . Составить уравнение прямой, про-

ходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне.

4.23. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1(2, 3)

ортогонально вектору M1M 2 , если M2 (4, 5) .

4.24. Выяснить, принадлежат ли точки А( 1, 2), B(3, 4) и С(1, 2) одной прямой.

111

4.25. Даны точки А( 1, 2, 3), B(3, 1, 2) и С(1, 3, 1). Найти точку пересечения медиан треугольника ABC.

З а д а ч а 5

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Требуется найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой А1А4; 6) уравнение плоскости А1А2А3; 7) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.

5.1.	A1 3, 3, 9 ,	A2 6, 9,1 ,	A3 1, 7, 3 ,	A4 8, 5,8 .
5.2.	A1 3, 5, 4 ,	A2 5,8, 3 ,	A3 1, 9, 9 ,	A4 6, 4,8 .
5.3.	A1 2, 4, 3 ,	A2 7, 6, 3 ,	A3 4, 9, 3 ,	A4 3, 6, 7 .
5.4.	A1 9, 5, 5 ,	A2 3, 7,1 ,	A3 5, 7,8 ,	A4 6, 9, 2 .
5.5.	A1 0, 7,1 ,	A2 4,1, 5 ,	A3 4, 6, 3 ,	A4 3, 9,8 .
5.6.	A1 5, 5, 4 ,	A2 3,8, 4 ,	A3 3, 5,10 ,	A4 5,8, 2 .
5.7.	A1 6,1,1 ,	A2 4, 6, 6 ,	A3 4, 2, 0 ,	A4 1, 2, 6 .
5.8.	A1 7, 5, 3 ,	A2 9, 4, 4 ,	A3 4, 5, 7 ,	A4 7, 9, 6 .
5.9.	A1 6, 6, 2 ,	A2 5, 4, 7 ,	A3 2, 4, 7 ,	A4 7, 3, 0 .
5.10.	A1 1, 3,1 ,	A2 3, 2, 3 ,	A3 3, 3, 3 ,	A4 2, 0, 4 .
5.11.	A1 1, 1, 6 ,	A2 4, 5, 2 ,	A3 1, 3, 0 ,	A4 6,1, 5 .
5.12.	A1 1,1,1 ,	A2 3, 4, 0 ,	A3 1, 5, 6 ,	A4 4, 0, 5 .
5.13.	A1 0, 0, 0 ,	A2 5, 2, 0 ,	A3 2, 5, 0 ,	A4 1, 2, 4 .
5.14.	A1 7,1, 2 ,	A2 5, 3, 2 ,	A3 3, 3, 5 ,	A4 4, 5, 1 .
5.15.	A1 2, 3, 2 ,	A2 2, 3, 2 ,	A3 2, 2, 0 ,	A4 1, 5, 5 .
5.16.	A1 3,1,1 ,	A2 1, 4,1 ,	A3 1,1, 7 ,	A4 3, 4, 1 .
5.17.	A1 4, 3, 2 ,	A2 2, 2, 3 ,	A3 2, 2, 3 ,	A4 1, 2,3 .
5.18.	A1 5,1, 0 ,	A2 7, 0,1 ,	A3 2,1, 4 ,	A4 5, 5, 3 .
		112

5.19.

A1 4, 2, 1

5.20.A1 0, 0, 2 ,

5.21.A1 3, 0, 5 ,

5.22.A1 1,1, 0 ,

5.23. A1 4,1, 2 ,

5.24. A1 0, 0, 0 ,

5.25. A1(3,1, 0) ,

A2 3, 0, 4		,	A3 0, 0, 4 ,
A2	3, 0, 5	,	A3	1,1, 0 ,
A2	0, 0, 2 ,		A3	4,1, 2 ,
A2	4,1, 2 ,		A3	0, 0, 2 ,
A2 1,1, 0 ,			A3 3, 0, 5 ,
A2 3, 2,1 ,			A3 1, 4, 0 ,
A2 0, 7, 2 ,			A3 1, 0, 5 ,

З а д а ч а 6

A 5, 1, 3
4	4,1, 2 .
A4	4,1, 2 .
A4	1,1, 0 .
A4	3, 0, 5 .

A4 0, 0, 2 .

A4 5, 2, 3 .

A4 4,1, 5 .

Построить на плоскости кривую, приведя ее уравнение к каноническому виду.

6.1.x2 8x 2y 20 0 .

6.2.3x2 4y2 18x 15 0 .

6.3.x2 2y2 2x 8y 7 0 .

6.4.x2 8x y 15 0 .

6.5.x2 y2 4x 10y 20 0 .

6.6.5x2 9y 30x 18y 9 0 .

6.7.4x2 9y2 40x 36y 100 0 .

6.8.9x2 16y2 5x 64y 127 0 .

6.9.2x2 8x y 12 0 .

6.10.x2 4y2 6y 3 0 .

6.11.9x2 4y2 54x 32y 109 0 .

6.12.x2 5x y 7 0 .

6.13.x2 4y2 6x 16y 11 0 .

113

6.14. 4x2 8x y 7 0 .


6.15.	9x	2	4y			2	18x	0 .

6.16.	x		2y	2	8y 3			0 .

6.17.x2 4y2 6x 8y 3 .

6.18.x 5y2 10y 6 0 .

6.19.x2 4y2 8x 24y 24 .

6.20.x2 6x 5 2 y .

6.21.9x2 10y2 40y 50 0 .

6.22.16x2 9y2 64x 18y 199 0 .

6.23.x 2y2 12y 14 0 .

6.24.y2 2y 4x 11 0 .

6.25.x2 2y2 2x 0 .

З а д а ч а 7

Построить поверхность, приведя ее уравнение к каноническому виду.

7.1. а)	z 1 x2 y2 ;			б)	z 4 x2 .
7.2. а)	x2	2x 2y2 4z2	0 ;	б)	y2 5y z 4 .
7.3. а)	x2	y2 4z2 6x 0 ;		б)	x2 z2 2z .
7.4. а)	2y2 z2 1 x ;			б)	xy 4 .
7.5. а)	9x2 4y2 8y z2		32 ;	б) x2 y2 6x 0 .
7.6. а)	x2	2y2 z2 2z 0 ;		б)	z2 4z 6y 20 0 .
7.7. а)	x2	y2 z2 3x 5y 4z 0 ;		б)	y2 4x 1.
			114

7.8. а)

z 2 x2 y2 ;

7.9. а)

36x

16y

18z 9

;

7.10. а) x

;

7.11.а) x2 y2 z2 2z ;

7.12.а) x2 3y2 z2 2z 2 ;

7.13.а) 2x2 4y2 z2 2z ;

7.14.а) z 4 x2 y2 ;

7.15.а) 2y2 x2 4x 4z2 4 0 ;

7.16.а) y2 2y z2 x2 0 ;

7.17.а) x2 y2 2y 2z 1 ;

7.18.а) x2 y2 2z 6 ;

7.19.а) 9x2 4y2 8y 36z2 32 ;

7.20.а) x2 y2 z2 2z ;

7.21.а) 5x2 15y2 4z2 8z 24 0 ;

7.22.а) 4z2 x2 2y2 2x 3 ;

7.23.а) x2 4y2 z2 8y 4 ;

7.24.а) x2 y2 2z 0 ;

7.25.а) x2 2x y2 z2 0 ;

115

б)


z 1 x				2	.

z	2		2z 8x 7

y		2	4x 2 .

yx2 .

x 1 z2 .

x2 5z 2x . x2 y2 2 y . z x 1 2 .

x y2 .

z2 y2 2z .

x2 z2 6z 0 . 2x2 5y 10 .

z2 7x .

4x2 y2 8 .

xy 9 .

x2 y2 3 0 . x2 y2 4 0 .

x 2 y2 .

Типовой расчет № 2 Предел функции. Производная и ее применение

к исследованию функций и построению графиков З а д а ч а 1

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.1. а)	lim	x2	x 6

	x 3 x2 7x 12

в) lim 1 cos x . x 0 x sin x

1.2.а) lim 2x2 x 6 .

x2 x2 3x 2

в)	lim		1 cos x	.

	x x2
1.3. а)	lim		5x2 x 4

	x 1 3x2 5x 2
в)	lim	cos x cos2 x
			x2
	x 0

1.4.а) lim 2x2 5x 7 .

x1 3x2 x 2


в)	lim			1 cos2x		.

	x 0				x tg x
1.5. а) lim		x2			3x 2		.
					4x 1
x	1 3x2
в)	lim		cos x cos3 x
					x2
	x 0

б)

lim

5x2 2x 1

3x2 2

x 3x3

x 1 x 2

г)

lim

x x

б)

lim

8x4

2x3 1

4x 3

x 5x3

1 x

г)

lim 1 4x

x 0

б)

lim

6x5

4x 12

4x2

x 3x6

3x 4 x 2

г)

lim

x 3x

б)

lim

5x3

x2 6

x 12

x 2x4

x 3 x

г)

lim

x x

б)

lim

8x 1

4x2

x 7x5

2x 1

г)

lim

4x 2

x x

116

		2x	2	x 10
1.6. а)	lim	2x		x 10		.
1.6. а)	lim		2	x 2		.
	x 2	x	2
	x 2	x
		tg	2	x
		tg		2
в)	lim			2	.
в)	lim				.
	x 0		x

1.7.а) lim x2 3x 2 .

x2 x

2 1

в) lim 1 cos8x . x 0 1 cos4x

1.8.а) lim 2x2 9x 4 .

x4 x2 x 20

в)

lim

x2ctg2x

x 0

sin 2x

1.9. а)

lim

x2 7x 10

x 2 2x2 9x 10

в)

lim

1 cos6x

x 0

1 cos2x

1.10. а)

lim

x2 x 2

x 1

x 1 2x2

в)

lim

2 x

x 0

sin

1.11. а)

lim

3x2 x 10

x3 x

x 2

117

6x 5

б)

lim

x 1

г)

lim

б)

lim

x 1 3

x 1 2 x 1 2

3x 2 2x

г)

lim

б)

lim

2x4

3x2 1

6x3

x 4x6

г)

lim 1 2x 1/ x .

x 0

б)

lim

2x4

5x2

6x3

x 4x6

2x 1 х

г)

lim

б)

lim

4 5x2 4x5

8 6x x5

x 1 2x 1

г)

lim

б)

lim

4x5

2x4

3x2

x 2x6

в)

1.12.а)

в)

1.13.а)

в)

1.14.а)

в)

1.15.а)

в)

1.16.а)

в)

1.17.а)

в)

lim

cos x cos3x

x 0

1 x

20 x x

lim

11x 20

x 5

lim

1 cos8x

x 0

2x tg4x

lim

4x2 5x 21

x 3 2x2 3x

lim x sin xctg3x .

x 0

lim

3x2 7x 2

5x 2

x 2 2x2

lim

1 cos4x

x 0

3x sin 2x

lim

x2 2x 15

x 5 2x2 7x 15

lim

sin3 2x

x 0

lim

x3 x2 2x

x2 2x 1

x 1

lim

1 cos3x

x 0

lim

2x2 x 3

x 1 3x2

2x 1

lim

1 cos4x

x 0

2x tg2x

г)

lim

x 0

б)

lim

x 5

x 3x

г)

lim

e3x

x 0

б)

lim

11x5 5x2 1

x 24x4 4x

г)

lim (1 3tg2 x)ctg2 x .

x 0

б)

lim

7x6

5x5 x3 5

3x4 4x3

г)

lim

esin 2x esin x

x 0

. б)

lim

2 3x 5x2

4x 2x2

x 1

г)

lim

x 2 ln 2x 1 ln 2x 1 .

б)

lim

2 x 3x2

3x 6x3

x 1

г)

lim

2x 3 ln x 2 ln x 1 .

б)

lim

2x3

x 2

x x2

г)

lim x ln x a ln x .

118

1.18.а)

в)

1.19.а)

в)

1.20.а)

в)

1.21.а)

в)

1.22.а)

в)

1.23.а)

в)

1.24.а)

x 2

lim

x 1

lim

cos3x cos x

. г)

cos x 1

x 0

lim

2x2 9x 5

4x 5

x 5

lim

tg 2 x sin 2x

. г)

x sin 2 2x

x 0

lim

5x2 9x 44

x 4 2x2

sin

2 x

lim

x 0

lim

3x2 14x 5

2x 15

x 5

lim

cos8x 1

x 0

1 cos4x

lim

3x2 4x 1

x 1 x2 3x 2

lim

1 cosmx

x 0

lim

x3 x 2

x 1 x3 x2 x

lim

1 cos3x

x 0

lim

x3 x2 x 1

3x 2

x 1

		x	4	3x 5
б)	lim						.
				2	x 1
	x 2x

lim x 4 ln 2 3x ln 5 3x .
x
б)	lim			x3 x				.
				3x2
	x x4					1

lim 2x 5 ln 2x 4 ln 2x 1 .

б) lim 3x3 2x 1 .

x 5x2 x 2

г)	lim	x 2 ln 2x 3 ln 2x 4 .
	x
б)	lim		10x3 3x2					.
б)	lim		2x3 100x					.
	x		2x3 100x				1
		ex e x
г)	lim					.
г)	lim					.
	x 0		sin x
б)	lim		x4 4x2 5				.
б)	lim		3x2 x 3				.
	x		3x2 x 3
г)	lim 1 3x			1	.
г)	lim 1 3x			x	.
	x 0
б)	lim		3x4 2x2 7					.
б)	lim		9x4 3x 5					.
	x		9x4 3x 5
г)	lim 1 sin x cosecx .
	x 0
б)	lim		2x2 5x 4				.
б)	lim		5x2 2x 3				.
	x		5x2 2x 3

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf