Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

33.7 3 i; 1 3i; 4 3i; 1 2i; 2 i; 1 2 i; i; 3 4i .

				5	5
	4 2i	1, Im	4 2i	1;
33.8 1)	Re	1, Im		1;
	1 3i		1 3i

2) Re 2 4i 3 88, Im 2 4i 3																																16 .
33.9 1) 2; 2) – 2. 33.10 1) 3 cos 0 i sin 0 ;																																				2) 5 cos i sin ;
								3											3

3) 5			2									i sin														. 33.11 1) – 64; 2) – 25;
3) 5			2	cos								i sin														. 33.11 1) – 64; 2) – 25;
								4											4
								4											4
		1						3																		3

3)
3)			cos											i sin												5				.
		8							5																	5
																																				11				11

33.12 1) 1																		i sin																				i sin				;
33.12 1) 1								2 cos										i sin										; 2				2 cos						i sin				;
																4										4										12			12
																4										4										12			12
						19												19

3										i sin
3			2 cos							i sin													;
						12											12
						12											12
																																			11				11
2) 1														i sin													2										i sin				;

					2 cos																		;									2 cos
											4								4															12					12
											4								4															12					12
								19												19
3													i sin

			2 cos																								;
								12											12
								12											12
3)				3					1	i;													3						1		i;			i ;
3)										i;					2																i;		3	i ;
		1		2				2							2							2						2					3
				2				2														2						2
4)				2			1 i ;														2				1 i ;
4)							1 i ;									2									1 i ;
		1		2												2			2
				2															2
			2		1 i ;																2			1 i .
	3				1 i ;										4									1 i .
	3		2												4				2
			2																2

100

Типовой расчет № 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

З а д а ч а 1

Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить ее.

x1 x2 x3 x4 1,

1.1.а) 2x1 x2 x3 x4 3,3x1 x4 4.

2x1 x3 2x4 5, 1.2. а) x2 x3 x4 0,

2x1 x2 3x3 5.

x2 2x3 3x4 2, 1.3. а) x1 x2 x3 2x4 0,

x1 x2 x4 1.

2x2 x3 4x4 0, 1.4. а) x1 x3 x4 2,

x1 2x2 5x4 1.

4x2 2x3 3x4 0,

1.5. а) 3x1 3x2 x4 3,

3x1 x2 2x3 2x4 3.

x1 2x2 3x3 3, 1.6. а) 2x1 x3 x4 1,

x1 2x2 2x3 x4 2.

б)

2x1 3x2 x3 0,x1 x2 x3 1,3x1 2x2 1,

x1 2x2 2x3 1.

2x1 3x2 x3 0,x1 x2 x3 1,

4x1 5x2 x3 1,7x1 3x2 x3 3.

x1 x2 2x3 1,3x1 x2 x3 2,x1 x2 x3 3,

x1 x2 x3 0.

3x1 4x2 x3 0,x1 2x2 x3 0,

2x1 x2 x3 0.

3x1 x2 x3 4,x1 x3 2x4 2,

2x1 x2 2x4 2.

2x1 x3 2x4 0,x1 2x2 x3 1,x2 x4 2,

3x1 3x2 2x3 0.

101

4x		2x		5x		0,
	1	3			4
		x3	x4		0,
1.7. а) 3x1
	x 3x		6x			0.

	1	3		4

x1 x3 x4 0,

1.8.а) 2x1 x3 2x4 0,3x1 2x2 x4 0.

x1 x2 х3 x4 0,

1.9.а) 2x1 x2 х3 x4 0,x1 2x2 2x4 0.

x1 x2 x4 0,

1.10.а) x2 х3 x4 0,x3 4x4 0.

2x3 4x4 0,

1.11. а) x1 х2 x4 0,

2x1 3х2 x3 0.

3x1 х2 x4 0,

1.12. а) 2x1 х2 x4 0,

x1 3х2 0.

102

б)

x		x		x		7,
	1		3		4
	2x		x		x		6,
				2		4
	1
	x	x		x		5,

	1		2		3
4x			2x		0.
	1			3

2x1 2x2 x3 5,x1 x3 x4 0,3x1 2x2 x4 1,x2 x3 х4 0.

3x1 2x2 x3 1,x1 x2 x3 0,5x2 x3 7,

x1 3x2 6.

x2 x3 x4 2,x1 x2 x3 4,2x1 х2 x4 3,

3x1 3x2 0.

x2 x3 x4 1,

x1 x2 x3 х4 1,x1 2х3 0,

x1 2x2 2х4 2.

x1 х2 x3 7,x1 2x2 х4 5,2x2 х3 х4 0,

2x1 x2 х3 х4 1.

1.13. а)

1.14. а)

1.15. а)

1.16.а)

1.17.а)

1.18.а)

2x		х	2	x		0,
	1				3
	x х		x			3,
					4
	1	3
		х		2x			х		3,
3x			2					4
	1					3
4x		х	2	3x			2х		4	6.
	1					3

х2 х3 x4 3,x1 х2 x4 1,x1 х3 2х4 4.

x1 3х2 4х3 x4 0,3x1 2х2 5х3 4x4 0,

5x1 8х2 13х3 2х4 0.

x1 х2 x4 1,х2 х3 x4 1,2x1 х3 х4 0,3х1 х4 5.

x1 2х3 x4 0,

2x1 х2 x3 0,x1 х3 х4 0.

x1 2x2 4x3 0,

x1 x2 x3 0,2x1 x2 3x3 0.

103

	3x		3	4x				4		0,

			x2				х4				0,
б)	x1
		2x		х				х				0.
						2					4
			1
x		2х			2	x					0,
	1									3
б) x 2x х										4	0,
	1				3
x1 3х4						0.
x 2х x х 4,
	1			2					3			4
б) 3x1 2x2 х3 х4 0,
2x1 х2 х3 2х4 1,
6x 3x							х				3.
		1			2					3

x1 х3 2x4 0, б) x1 x3 х4 0,

x1 х2 3х4 0.

2х2 2x3 4х4 1,
		x2	х3 х4 2,
б) 3x1
х1 x2 х3 х4 1,
4x 4x 2х 4х 0.
	1		2	3	4
2x1 x3 x4 3,
		x2	2x3 0,
б) 3x1
x1 x2 x3 1,
6x x x 3x 2.
	1	2		3	4

	3x			2	x		4x			4	0,
						3
				x3		x4			0,
1.19. а)	x1
		2x			3x			0.
							4
				1
	2x1 x3 3x4 1,
				x2		x4			1,
1.20. а) x1
	x3 x4					4,
	3x 2x x x 4.
			1			2			3		4

x2 x3 3x4 3, 1.21. а) x1 x3 x4 1,x1 x2 4x4 2.

x1 x3 x4 0,

1.22. а) 2x1 2x2 x4 0,

3x1 2x2 x3 0.

3x1 x3 5x4 5,

1.23. а) 2x1 x2 x4 1,

5x1 x2 x3 x4 6.

x	3x	x	4	2,
2	3		4
1.24. а) x1	7x3	x4 1,
x1 x2 10x3 2x4 0,
x	x x		0.
1	2	3

104

б)

x		2	5х					2x		4	0,
		2			3					4
	x			x				1,
	x			x		4		1,
			3			4
	x		2x					x		1,
	x	2	2x					x	4	1,
		2			3				4
x			2x		2		6x				2x	4	0.
	1				2				3			4

x		x	x	0,
	1	2	3
x		x	x	0,
	1	2	3

2x1 x2 x3 0.

2x1 3x2 x3 0,x2 x3 x4 0,x1 x2 2x3 0,

3x1 x2 2x3 x4 0.

3x1 x2 5x3 1,x1 x2 4x4 5,x2 x3 x4 1,

3x1 2x2 6x3 x4 9.

x1 2x2 x3 0,2x2 x3 x4 0,

3x1 x2 x3 x4 0,x1 3x2 x3 x4 0.

3x1 2x2 x3 x4 0,2x1 2x2 4x3 2x4 0.

1.25. а)

2x				x	x		2,
		1		2		4
	x		2x		x		0,
		2
				3		4
	2x			2x		3x		2,
					2
		1					3
2x				3x		2x		2.
		1		3			4

б)

2x			x	x	0,
		1	2	3
	x	2x		x	0,
	x	2x		x	0,
	1		2	3
			x	2x		0.
3x			x	2x		0.
		1	2	3

З а д а ч а 2


2.1. Вычислить	(a, b) , где	a	3m1	2m2;	b	m1

единичные векторы, угол между которыми равен

2.2. Найти		проекцию вектора
2.2. Найти		проекцию вектора		a	4i	3 j	4k

вектора b	2i	2 j	k .


4m2	;	m1, m2		–

на направление

2.3. Найти

, если

(a, b) ,

2i j k ,

j 2k .

2.4. Вектор

, коллинеарный вектору

2k , образует ост-

рый угол с осью Oz. Найти координаты вектора

, если

3 29 .

2.5.Найти

2.6.Найти

3b, a

b , если

2 ,

, a, b

(a, b) ,

, если a

2m 3n

4 p,

m, n, p –

ортогональный базис и				2,		3,		4 .
ортогональный базис и			m	2,	n	3,	p	4 .
2.7. Найти длину			вектора							, если			1,
2.7. Найти длину			вектора			a	3m		4n	, если	m	n	1,


m, n		.
m, n		.

	3
	3



2.8. Найти вектор	b	,	коллинеарный вектору

удовлетворяющий условию
удовлетворяющий условию			(a, b) 3 .


a	2i	j	k и

105

2.9. Найти


		5b,
	2a	5b,

, если

	2,		3,

a		b


a, b

2 3

2.10. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма,

сторонами которого служат векторы

k ,

3 j

k .

2.11. Найти

удовлетворяющий

вектор d ,

условиям d ,

a 5,

1, 0,

0 .

d, b

d, c 3

, если a 1 ,2 ,0 , b

5 , c

2.12. Даны векторы a 3i 6 j k ,

b i

4 j

5k , c

4 j

12k .

Найти проекцию вектора a

b на направление вектора c .

2.13. Вектор

b , коллинеарный вектору

8 j

7,5k , образует

50 .

острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора

b , если

2.14. Найти

площадь

треугольника,

построенного

на

векторах

AB 3a 2b и

AC 6a

3b , если

a, b

2.15. Найти

, если

15,

96 .

[a, b ]

a,b

2.16. Какой угол образуют векторы a и

					1 ?
n 5a		4b ортогональны,	a	b	1 ?
							,
	2.17. Вычислить a, b		b, c			c, a	,

b , если

если


m a		2b и
			0 ,
a	b	c	0 ,

2.18. Даны точки А(–5, 7, –6) и B(7, –9, 9). Найти проекцию век-

тора a

3 j

k на направление вектора АВ .

2.19. Найти

координаты вектора

a , если

a, i

106


				6 .
a,	j	,	a

		4

2.20. Найти вектор

, ортогональный вектору

a12,

имеющий с ним одинаковую длину и лежащий в плоскости Oyz.


2.21. Найти угол между векторами a	2m 4n		и b	m n , если

m, n

2.22. Найти проекцию вектора

a 4, 3, 4 на направление век-

2, 2, 1 .

тора b

2.23. Какой угол образуют единичные векторы

, если век-

ортогональны?

торы a

и b

5m 4n

2.24. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю.

2.25. При

каких

значениях

и векторы

2i j

2k и

коллинеарны?

З а д а ч а

3.1. Найти 2a

b, b , где

2k ; b

2 j

k .

3.2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-

торах

a m

2n и b

m 3n , если

m, n

3.3. Вектор с

	и
a	и	b равен

(a, b, c) .

3.4. Найти 2a

перпендикулярен векторам

и b , угол между

3 ,

. Зная, что

вычислить

b, 2a

b , где

j k ; b

2 j .

107

3.5. Найти вектор

, если известно, что он ортогонален векторам

j 3k ,

b 2i

3 j k и

3 j 4k 51.

3.6. Найти координаты вектора

x , если он ортогонален векторам

2, 3, 1 ,

b 1, 1,

=1.

3.7. Найти

единичный

вектор

компланарный

векторам

4, 2,

и ортогональный вектору

a 2, 1, 3

и b

c 1, 1, 1 .

3.8. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого явля-

ются

векторы

если

m 2n

m 3n

m, n

3.9. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма,

сторонами которого служат векторы

2i j k ,

3 j k .

3.10. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на век-

торах a

2 j 5k , b

4k ,

3 j k , если за основа-

ние взят параллелограмм, построенный на векторах

и b .

3.11. Вектор x ,

перпендикулярный векторам a

2 j

3k и

3k , образует с осью Oy тупой угол. Найти координаты век-

тора

26.

x , если

3.12. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого

являются векторы AB и AC , если A 1, 1 ,

B 2, 3 ,

C 1, 4 .

3.13. Вершины

треугольной

пирамиды

находятся

точках

A 0, 0,

0 ,

B 3, 4, 1 ,

C 2, 3, 5 ,

D 6, 0, 3

. Найти длину высоты,

проведенной из вершины А.

3.14. Проверить,

лежат ли точки A 2, 1,

2 ,

B 3, 0, 5 ,

C 1, 2, 3 ,

D 0, 2, 1 в одной плоскости.

3.15. Проверить,

компланарны

ли

векторы

2 j

k ,

3i j 2k , c

14 j 13k .

108

3.16. Дана

треугольная

пирамида

вершинами

A 0, 0, 1 ,

B 2, 3, 4 , C 6, 2, 3 ,

D 3, 7,

2 .

Найти длину высоты пирамиды,

проведенной на грань BCD.

3.17. Найти площадь параллелограмма,

сторонами которого яв-

3 j k

и b 2i j 3k .

ляются векторы a

3.18. Найти 3a

b, a , если a

4 j k ,

2k .

3.19. Найти

образуют правую

(a, b,

c) ,

если векторы a,

тройку и взаимно перпендикулярны,

3.20.Показать, что точки A(3, 1, –1), B(5, 7, –2), C(1, 5, 0) и D(9, 4, –4) лежат в одной плоскости.

3.21.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на


векторах	a	2i	3 j, b	i	4 j .

3.22. Найти единичный вектор, ортогональный векторам a						i	j	2k

иb 2i j k .

3.23.Вершинами треугольной пирамиды являются точки A(-5, 4, 8), B(2, 3, 1), C(4, 1, –2) и D(6, 3, 7). Найти длину высоты, проведенной на грань BCD.

3.24. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограм-


ма, построенного на векторах a	2i	j	k ,	b	i	3 j	k .

3.25.Проверить, лежат ли точки A(–1, 2, 3), B(0, 4, –1), C(2, 3, 1)

иD(–2, 1, 0) в одной плоскости.

За д а ч а 4

4.1.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2x 6y 13 0 .

4.2.Найти угол между прямой 2x 3y 1 0 и прямой, проходящей через точки M1 1; 2 , M2 0; 3 .

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf