Математика. Ч. 1_2

ISBN 978-985-550-340-9 (Ч. 1)

© Белорусский национальный

ISBN 978-985-550-341-6

технический университет, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Занятие 1. Декартова и полярная системы координат.

Построение графиков функций....................................

5

Занятие 2. Матрицы и действия над ними .....................................

6

Занятие 3. Вычисление определителей .........................................

11

Занятие 4. Обратная матрица.

Решение матричных уравнений.................................

15

Занятие 5. Решение невырожденных систем

линейных уравнений....................................................

18

Занятие 6. Ранг матрицы .................................................................

20

Занятие 7. Решение произвольных и однородных систем

линейных уравнений....................................................

22

Занятие 8. Векторы. Линейные операции над векторами.

Скалярное произведение векторов............................

25

Занятие 9. Векторное и смешанное произведения векторов .....

28

Занятие 10. Прямая на плоскости ..................................................

31

Занятие 11. Плоскость ......................................................................

34

Занятие 12. Прямая в пространстве.

Прямая и плоскость в пространстве .........................

36

Занятие 13. Кривые второго порядка на плоскости ...................

40

Занятие 14. Поверхности второго порядка...................................

46

Занятие 15. Функция. Предел последовательности

и предел функции..........................................................

48

Занятие 16. Первый и второй замечательные пределы .............

52

Занятие 17. Сравнение бесконечно малых функций.

Непрерывность функций. Точки разрыва...............

55

Занятие 18. Производная функции, ее геометрический

и физический смысл .....................................................

57

Занятие 19. Производная функции. Логарифмическая

производная....................................................................

61

Занятие 20. Дифференцирование функций, заданных

параметрически и неявно.

Дифференциал функции..............................................

63

Занятие 21. Производные и дифференциалы

высших порядков..........................................................

66

Занятие 22. Правило Лопиталя-Бернулли....................................

68

Занятие 23. Формула Тейлора.........................................................

70

3

Занятие 24. Монотонность функций. Экстремум.

Наибольшее и наименьшее значения функций.

Выпуклость и вогнутость графиков функций ........

74

Занятие 25. Асимптоты. Построение графиков функций..........

79

Занятие 26. Кривизна кривой..........................................................

81

Занятие 27. Область определения и область значений функции

нескольких переменных. Частные производные....

83

Занятие 28. Полный дифференциал функции нескольких

переменных и его применение.

Частные производные и дифференциалы

высших порядков..........................................................

85

Занятие 29. Производные сложных функций нескольких

переменных. Производная функции,

заданной неявно ............................................................

88

Занятие 30. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производная по направлению. Градиент.................

92

Занятие 31. Экстремум и условный экстремум функции

нескольких переменных ..............................................

94

Занятие 32. Наибольшее и наименьшее значение функции

нескольких переменных в замкнутой области........

95

Занятие 33. Комплексные числа и действия над ними ..............

97

Типовой расчет № 1 Элементы линейной алгебры

и аналитической геометрии ......................................

101

Типовой расчет № 2 Предел функции. Производная

и ее применение к исследованию функций

и построению графиков .............................................

116

Аудиторные задания

1.1

Построить графики функций:

x

3

x

2

x 1

, 0 x 2,

log 2 cos x

y

2

1)

y 2

;

2)

; 3) y

;

2 | x 1|

x2

2x, 3 x 0.

4)

y 2x | x 2 | 1; 5)

y

1 cos2x

; 6) y sin | x | 1;

2

7)

y log

x2 1; 8)

y

1

.

1/ 2

| x | 1

1.2 Построить графики функций, заданных параметрически:

1) x 1 2t, y 2 t ;

2) x t, y t 2 4 ;

3)

x 2 cost,

y sin t ;

4) x 1 t 2 ,

y t t3 ;

5)

x at2 , y bt3 ;

6) x 2 cos3 t,

y 2sin3 t ;

7)

x 1 2 cost,

y 3 2sin t ;

8) x 2(t sin t), y 2(1 cost) .

1.3 Записать уравнения кривых в полярных координатах:

1)

y x ;

2) y 1;

3) x2 y2 4 ;

4) x2 y2 2y ;

5) x y 1 0 ;

6) x2 y2 a2 .

1.4 Построить графики функций, заданных уравнением в

полярной системе координат:

1)

r 1;

2)

r 2 ;

3)

r cos 2 ;

4) r e ;

r 2(1 cos ) ;

6

5)

r 4cos ;

6)

r 3sin 2 ;

7)

8) r

;

3 2 cos

9)

r

2

;

10) r 2 cos3 ;

11) r 2 36sin 2 .

sin

1

5

0

3

4

1

3

0

2

1

A

B

2

1

,

, C

.

2

3

2

3

4

3

1

5

3

2.10

Показать, что матрица

2

1

является корнем мно-

A

3

1

гочлена

f (x) x2

3x 5 .

f A , если:

2.11 Найти значение матричного многочлена

1) f x

1

0

2x2 3x 1, A

;

0

1

1

3

0

2) f x

x2 3x 2, A

0

2 1

;

3

3

2

3) f x

2x3 x2 3, A

1

2

.

3

1

Домашние задания

2.12

Найти:

1)

3A 2B ,

если

A

1

2

0

1

; B

;

3

4

1

2

2) 2B 5A , если

A

0

2

4

0

5

10

6 4

; B

15 10

.

0

0

2.13

Найти ( A 3B)2 , если

1

4 7

2

1 1

5 8

A

2

, B

1

0

2

.

3 6 9

4 1 0

2.14 Найти те из произведений

AB, BA,

AC, CA, BC, CB , кото-

рые имеют смысл, если

8