Аналогично вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат: F (r,ϕ)= 0 . Линию на плоскости можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки M(x; y) изменяется по закону x = x(t), а ордината – по закону y = y(t), где t – переменная, называемая параметром, то

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением r = r (t), где t – скалярный параметр; при изменении t конец вектора r = r (t) описывает некоторую линию, называемую

Так, например, параметрическими уравнениями окружности с центром в точке О и радиу-

Здесь в качестве параметра t использован угол между осью Ox и вектором OM , где M – текущая точка кривой.

Примером векторного уравнения кривой является уравнение окружности диаметра 2R, центр которой лежит на полярной оси, а полюс системы координат лежит на окружности: r = 2Rcosϕ.

4.12 Прямая на плоскости

Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy.

4.12.1 Различные виды уравнений прямой

Положение прямой на плоскости однозначно определяется какой-либо фиксированной точкой M0 (x0 , y0 ), лежащей на ней, и либо:

1) ненулевым вектором n(A, B)≠ 0 , перпендикулярным к прямой, который называется

нормальным вектором прямой;

45

2) ненулевым вектором s(m,n)≠ 0 , параллельным прямой, который называется направ-

ляющим вектором прямой;

3)угловым коэффициентом прямой k, который равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox;

4)еще одной точкой M1(x1, y1 ), не совпадающей с точкой M0 (x0 , y0 ).

В каждом из перечисленных случаев получаются свои уравнения прямой.

где C = −(Ax0 + By0 ), причем A2 + B2 ≠ 0 (т. к. n ≠ 0 ).

О п р е д е л е н и е . Уравнение (4.34) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Уравнение Ax + By +C = 0 с условием A2 + B2 ≠ 0 называется уравнением первой степени

уравнение называется уравнением прямой в отрезках, где a и b – длины отрезков с учетом знака, отсекаемых прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно.

2) Даны точка M0 (x0 , y0 ) прямой и направляющий вектор s(m,n), т. е. s ≠ 0 и s параллелен прямой.

Имеем уравнения:

или при условии m ≠ 0, n ≠ 0 :

(4.36) – каноническим уравнением прямой на плоскости.

46

Несложными алгебраическими преобразованиями уравнения (4.35) и (4.36) могут быть сведены к общему уравнению (4.34), т. е. к уравнению первой степени относительно x и y.

Замечание. В случае, когда одна из координат направляющего вектора s(m,n) равна нулю, запись уравнения прямой в канонической форме сохраняется в виде (4.36). При этом если в знаменателе стоит нуль, то к нулю нужно приравнять и числитель. Полученное равенство (или y = const , или x = const ) и будет уравнением прямой на плоскости.

3) Если заданы точка M0 (x0 , y0 ) прямой и ее угловой коэффициент k, то уравнение с угло-

вым коэффициентом имеет вид

Все уравнения (4.35–4.38) можно записать в виде уравнения первой степени относительно x и y.

Вывод. Каждая прямая на плоскости Oxy определяется уравнением первой степени с двумя переменными x и y:

Ax + By +C = 0; A2 + B2 ≠ 0 .

Верно и обратное: каждое такое уравнение первой степени относительно x и y задает на плоскости прямую.

Заметим, что нормальный и направляющий векторы прямой на плоскости связаны следующим образом: если n(A, B), то s(B,−A) (т. к. (n,s )= AB − AB = 0 , то s n ).

Расстояние ρ(M0 ,l) от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой l, заданной уравнением (4.34), вычисляется по формуле

П р и м е р 4.34. Составить каноническое и общее уравнения прямой, проходящей через точки M1(2;1) и M2 (−1;2). Найти угловой коэффициент этой прямой.

Р е ш е н и е . Для составления канонического уравнения воспользуемся формулой (4.38):

Общее уравнение получим из данного канонического, умножая обе части равенства на – 3, перенося все слагаемые в левую часть и приводя подобные члены:

x − 2 +3(y −1)= 0 x +3y −5 = 0 – общее уравнение.

Чтобы получить угловой коэффициент прямой, выразим из общего уравнения y:

М(–1, 2) перпендикулярно вектору, проходящему через точки М1(3, 1) и М2(4, –2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М1 и М2.

Р е ш е н и е . Уравнение прямой запишем в виде (4.33):

A(x – x0) + B(y – y0) = 0,

где x0, y0 – координаты точки М, а А и В – координаты нормального вектора.

Так как n = M1M2 = (1,−3) , то уравнение имеет вид 1(x + 1) – 3(y – 2) = 0 или x – 3y + 7 = 0. Для нахождения расстояния от точки М до прямой М1М2 запишем уравнение этой прямой

в виде (4.38):

Подставляя в формулу (4.39) координаты x0 = –1, y0 = 2 точки М, получаем

П р и м е р 4.36. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1; –2) и обр а- зующей с осью Ox угол α = 60°.

Р е ш е н и е . Найдем угловой коэффициент k = tg α = tg 60° = 3 . Подставляя координаты данной точки М0 и значение углового коэффициента в уравнение (4.37) получим искомое уравнение прямой: y + 2 = 3(x −1) или y − 3x + 2 + 3 = 0 – общее уравнение прямой.

4.12.2 Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

О п р е д е л е н и е . Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из углов, образованных этими прямыми. Один из углов, образованных пересечением прямых, совпадает с углом между векторами нормали или направляющими векторами прямых.

48

где n1(A1, B1 ), n2 (A2 , B2 ) – векторы нормали прямых. Условие пересечения прямых:

в частности, условие перпендикулярности прямых:

Условие параллельности прямых:

условие совпадения прямых:

где s1(m1,n1), s2 (m2 ,n2 ) – направляющие векторы прямых. Условие пересечения прямых:

49

параллельности прямых:

Условие пересечения прямых: k1 ≠ k2 ;

параллельности прямых:

k1 = k2; b1 ≠ b2 ;

совпадения прямых:

k1 = k2; b1 = b2 ;

перпендикулярности прямых: