|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Тогда c = ± |
|
|
|
|
|
|
|
= ± |
− |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
= ± |
− |
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
90 |
90 |
90 |
3 10 |
3 |
10 |
3 10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
± |
− |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
10 |
|
3 |
10 |
|
|
|
3 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4.10 Смешанное произведение векторов
О п р е д е л е н и е . Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число,
получаемое следующим образом: векторное произведение [a,b] умножается скалярно на вектор
c. Смешанное произведение векторов |
a, b, c |
обозначается (a, b, c ). Таким образом, |
(a, b, c)= ([a, b],c). |
|
|
Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1)(a, b, c )= ( a, b ,c )= (a, b, c );
2)(a, b, c )= (c,a, b )= (b,c,a)= −(b,a,c )= −(c,b,a)= −(a,c,b ), т. е. смешанное произведение
не меняется при циклической перестановке векторов и меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух рядом стоящих векторов – сомножителей;
3)(a + d, b, c)= (a,b,c)+ (d,b,c);
4)(αa, b, c)= (a,αb,c)= (a,b,αc)= α(a,b,c);
5)модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на
векторах a, b, c : V = |
|
(a, b, c) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6) равенство (a, b, c)= 0 |
является необходимым и достаточным условием компланарно- |
||||||||||||||||||||
сти векторов a, b, c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если (a, b, c)> 0 , то a, b, c – правая тройка; если (a, b, c)< 0 |
– левая тройка. |
||||||||||||||||||||
|
Если |
векторы |
a, b, c |
|
|
заданы |
в |
ортонормированном |
базисе i , j,k координатами |
|||||||||||||
a(x |
|
, z ); b(x |
|
|
); c(x , |
|
|
, z ), то (a, b, c)= |
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
, y |
, y |
, z |
y |
|
x |
y |
z |
|
|
|
||||||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
|
|
|
П р и м е р |
4.29. |
|
|
Вычислить объем |
треугольной пирамиды с вершинами А(0, 0, 1), |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
В(2, 3, 5), С(6, 2, 3), D(3, 7, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Р е ш е н и е . Рассмотрим три вектора (рис. 4.14): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB = 2i +3 j + 4k; |
AC = 6i + 2 j + 2k; |
AD = 3i + 7 j + k . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
||
Можно показать, что объем пирамиды АВСD равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD.
D
C
A
B
Рис. 4.14
|
|
Тогда V = |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
то V = 1 120 = 20. |
|||
|
|
|
(AB, AC, AD) |
|
, а т. к. (AB, AC, AD) = |
|
||||||
|
|
|
|
6 |
2 |
2 |
=120, |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
7 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Ответ: 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
|
4.30. Доказать, что четыре точки А1(3, 5, 1), А2(2, 4, 7), А3(1, 5, 3), А4(4, 4, 5) ле- |
||||||||
|
|
|
||||||||||
жат в одной плоскости. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Р е ш е н и е . Достаточно показать, что три вектора |
A1A2 , A1A3, A1A4 , имеющие начало в |
|||||||||
одной из данных точек, лежат в одной плоскости (т. е. компланарны). Находим координаты векторов A1A2 , A1A3, A1A4 :
A1A2 = (2 −3;4 −5;7 −1)= (−1;−1;6);
A1A3 = (1−3;5 −5;3 −1)= (− 2;0;2);
A1A4 = (4 −3;4 −5;5 −1)= (1;−1;4).
Проверяем условие компланарности векторов (свойство 6 смешанного произведения):
(A1A2 , A1A3, A1A4 )= |
|
−1 |
−1 |
6 |
|
= 0 − 2 +12 −0 − 2 −8 = 0 . |
|
|
|||||
|
− 2 |
0 |
2 |
|
||
|
|
1 |
−1 |
4 |
|
|
Следовательно, векторы A1A2 , A1A3, A1A4 компланарны, а значит, точки А1, А2, А3, А4 лежат в одной плоскости. 
П р и м е р 4.31. Образуют ли векторы a = (2;3;−1), b = (5;7;4), c(2;7;−4) базис в трехмерном пространстве? Если да, то определите, какой тройкой является тройка векторов a, b, c – правой или левой.
42