4.8Скалярное произведение векторов

Оп р е д е л е н и е . Скалярным произведением ненулевых векторов a и b называется число, которое обозначается a b или (a,b )и определяется равенством

По определению (a,0)= (0,a)= 0 .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)(a,b )= (b,a)(коммутативность);

2)(a,b + c)= (a,b )+ (a,c) (дистрибутивность);

3)(αa,b )= (a,αb )= α(a,b ) (ассоциативность относительно скалярного множителя);

4)(a,b )= 0 a b (или a = 0 или b = 0 ) (критерий ортогональности);

5)(a,a)= a2 = a 2 ≥ 0 (скалярный квадрат вектора);

6)(a,b )= a ï ðab = b ï ðb a .

i , j,k : a(x1, y1, z1 ); b(x2 , y2 , z2 ), то

1)(a,b )= x1x2 + y1 y2 + z1z2 ;

2)a = a2 = (a,a)= x12 + y12 + z12 (следует из свойства 5);

вычисления (a,b )и a , b ).

Механический смысл скалярного произведения – это работа А, производимая силой F ,

точка приложения которой перемещается по отрезку М1М2 из точки М1 в точку М2:

A = (F,M1M 2 ).

=8 −15 − 27 = −34.

Ответ: – 34.

П р и м е р 4.25. Какую работу производит сила F = (2;−1;−4), когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки A = (1;−2;3) в точку B = (5;−6;1)?

Р е ш е н и е . Используя механический смысл скалярного произведения, имеем

A = (F, AB).

Найдем координаты вектора AB :

AB =(5 −1; −6 −(−2);1−3)=(4;−4;−2).

Тогда A = (F, AB)= 2 4 + (−1) (− 4)+ (− 4) (− 2)= 20 .

Ответ: 20.

4.9Векторное произведение векторов

Оп р е д е л е н и е . Векторным произведением вектора a и вектора b называется вектор c , удовлетворяющий трем условиям:

1)c = a b sin a , b ;

2)c a; c b ;

3)упорядоченная тройка векторов a, b, c – правая (рис. 4.12). Обозначение: c = [a, b] или c = a ×b .

38

Рис. 4.12

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1)[b,a]= −[a, b] (антикоммутативность);

2)[a, b + c]= [a, b]+[a, c] (дистрибутивность);

3)[αa, b]= [a, αb]= α[a, b] (ассоциативность относительно скалярного множителя);

4)[a, b]= 0 a || b (критерий коллинеарности);

5)геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения [a, b] равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b , отложенных от

одной точки:

Sп аралл = a, b ;

6) механический смысл векторного произведения: момент силы F , приложенной в точке В, относительно точки А определяется равенством: M A (F )= [AB, F ].