Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3533 34 35 > Следующая >>>

Контрольная работа «Предел функции. Непрерывность и дифференцируемость функции»

Вариант 1

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

a) lim	x2	−3x + 2		; á) lim	1−cos8x		.

		x			1	−cos 4x
x→2			−1	x→0
		2

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

x2 +1, x ≤1,

−3x +2

a) f (x)=

; á) f

(x)

, 1< x ≤ 4,

x − x3

x −2, x > 4.

3. Найти производные функций:

sin x

a) y = arcsin

; á)

=1; â) y = (x +1) x .

1+sin2 x

+ 2,

4. Найти

x = t

2 : a) y = cos2 x;

á)

t3 −1.

5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

3			+1		ln x
	2x +1
a) lim				; á) lim		.

x→−1		x +1		x→0 ctg x

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = 1−x2x2 .

Вариант 2

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

	(x +1)3	−(x −1)3		3x −2	2

a) lim			; á) lim			x	.
				3x + 2

x→∞ (x +1)2 −(x −1)2			x→0

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

	1		2	x +1, x ≤ 3,
a) f (x)=	1		2
		−		; á) f (x)= 3x −7, 3 < x ≤		4,
	1− x	−	1− x2	; á) f (x)= 3x −7, 3 < x ≤		4,

					x, x > 4.
				3 +	x, x > 4.

3. Найти производные функций:

a) y = ln x2 +1 −1; á) x4 + y4 = x2 y2; â) y = x2ex2 sin 2x. x2 +1 +1

257

x = arcsin t,

Найти

a) y = arctg x3

dx2

; á)

y = 1−t2 .

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

a) lim

1−cos x

;

á) lim (π−arcctg x)ln x.

x→0

x→+∞

Исследовать функцию и построить ее график: y =

(1+ x)3

Вариант 3

1.Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

a)lim 2x22 −9x + 4 ; á) lim x2 ctg 2x . x→4 x + x −20 x→0 sin 2x

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

		2		cos x, x ≤ 0,
	x	2	−5x +6
a) f (x)=	x		−5x +6	; á) f (x)= 1− x, 0 < x ≤	3,
a) f (x)=		x2 −2x		; á) f (x)= 1− x, 0 < x ≤	3,
		x2 −2x
				x2 −5, x > 3.

3. Найти производные функций:

a) y = ex −sin(ex cos3(ex )); á) x + y = a, a ≥ 0; â) y = x2ex2 ln x.

4. Найти	d 2 y	:
4. Найти	dx2	:
	dx2
			x = cost,
a) y = log2	3 1− x4		x = cost,
a) y = log2	3 1− x4		; á)
			y = sin t.

5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

a) lim	x −sin x	;	á) lim arcsin x ctg x.
	x3
x→0			x→0

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = x2x3−1 .

Вариант 4

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

	2x	4	−3x	2	+1			1
a) lim						; á) lim	(1	+ 2x)x .

x→∞ 4x6 +6x3 −3						x→0

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

	1	3, x ≤ 0,
a) f (x)=	1
		; á) f (x)= x, 0 < x ≤ π,
	4 − x2	; á) f (x)= x, 0 < x ≤ π,
	4 − x2
		sin x, x > π.

258

Найти производные функций:

a) y = arctg(x +1) +

x +1

; á) y = (ln x)x; â) ex sin y −ey cos x = 0.

x2 + 2x

+ 2

Найти

d 2 y

dx2

x = ln t,

a) y = e−x ; á)

−1.

y = t2

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

tg3x

a) lim

;

á) lim x2e

x→0 sin 2x

x→0

Исследовать функцию и построить ее график: y =

2(1+ x)2

Вариант 5

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

a) lim	x2 +7x +10	; á) lim	1	−cos6x	.

	2x2 +9x +10		1	−cos 2x
x→−2		x→0

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

x −1

ex , x ≤ 0,

a) f (x)=

; á) f (x)=

1+ x, 0 < x <1,

x −1

x, x ≥1.

3. Найти производные функций:

(x −2)2 3

x +1

a) y = ln tg

cos

x; á) y =

(x −5)3

; â) xy = arctg

4.Найти d 2 y : dx2

a)y = tg x; á) x = t2 + 2t,y = ln(t +1).

5.Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

a) lim	x3	−2x2 − x + 2	; á) lim	ln x	.
		x3 −7x +6
x→1			x→∞ x2

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = 4x2 +1. x

Вариант 6

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 259

a) lim	2x6 +5x2 −4		2x −1 x
	4x6 − x + 20	; á) lim	2x +1	.
x→∞		x→∞

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

0, x ≤ 0, a) f (x)= xx ++ 24 ; á) f (x)= 1, 0 < x <1,

2 − x, x ≥1.

3.Найти производные функций:

a)y = ln x2 + 2x ; á) y = (x +1)3 44 −2x ; â) sin(xy) +cos(xy) = 0. x +1 3(x −3)2

4. Найти d 2 y : dx2

x =1+et , a) y = x ln x; á) y =1+e−t .

5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

	ln x			1	x
a) lim	ln x	;	á) lim	3x	+1 .
a) lim	1− x	;	á) lim	3x	+1 .
x→1	1− x		x→∞

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = x3 + 2 .

Вариант 7

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

	x2 − x −2		x	x
a) lim		; á) lim		.
	x3 +1
x→−1		x→∞ x +1

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

	1		x +3, x ≤ 0,
	2x	−1		1

a) f (x)=	1		; á) f (x)=			, 0 < x ≤ 5,

			x +1
	2x +1
				2	−1, x > 5.
			x

3.Найти производные функций:

a)y = ln x2 −2x ; á) y = (x +1)4 34 −2x ; â) sin(2xy) +cos(3xy) = 0. x +1 3(x −2−5)

	2			2t
	d y			2t	,
4. Найти	d y	:	x = 2 −e		,
4. Найти	dx2	:	a) y = (x −1)ln 2x; á)
	dx2		y =1+e−3t .

5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

260

a) lim ln( x −1)			(	3x +1	1
	;	á) lim			x .
x→2 2x −4		x→0		)

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = x2 −4 .

Вариант 8

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

	arcsin(1−2x)		1
a) lim	arcsin(1−2x)	; á)	lim(cos 2x)	x2	.
1	4x2 −1		x→0
x→2

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

2x , −1 ≤ x <1,

−1

a) f (x)=

; á) f (x)= x −1, 1 < x ≤

x3 −1

1, x > 4.

3. Найти производные функций:

a) y = e

cos

3x;

á) y = (sin x)

cos x

; â) y

−

cos2 x

+tgy = 0.

4. Найти

2 y

dx2

sin2 t,

x = t −

a) y = ln ctg4x; á)

y = cos

5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

a) lim	2 −	x	; á) lim x(ln(x +3) −ln x).
a) lim			; á) lim x(ln(x +3) −ln x).
x→4	6x +1 −5		x→∞

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = x2 −9 .

Вариант 9

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

	sin 3x		1	sin x
a) lim		; á) lim		.

x→0	x + 2 − 2	x→0	x

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

		tgx, x ≤ 0,
	1
	1	x2
a) f (x)=		; á) f (x)=		, 0 < x ≤ 2,
a) f (x)=	(x + 2)2	; á) f (x)=	2	, 0 < x ≤ 2,
	(x + 2)2		2
		1, x > 2.

261

3. Найти производные функций:

	2 x		x			x x2
a) y = sin		ctg		; á) y =			; â) ln y − xy = a.
	2		2		1
						+ x

4. Найти	d 2 y	:
4. Найти	dx2	:
	dx2
			x = t −ln sin t,
a) y = 3 (1	− x)2 ; á)		x = t −ln sin t,
a) y = 3 (1	− x)2 ; á)
			y = t +ln cost.

5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

a) lim	1−cos x	; á) lim	2x2 +1	.
	x2		2x −1
x→0		x→∞

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = −x2 +9 .

Вариант 10

1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя:

	cos 2x −cos 4x		1
a) lim		;	á) lim x	ln(ex −1)	.
	3x2
x→0			x→0

2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва:

ln x, 0 < x ≤1,

a) f (x)=

; á) f (x)

= x −1, 1 < x ≤ 3,

(x −2)2

3, x >

3. Найти производные функций:

a) y = tg

2cos x

; á) y = (arctgx)ln x ; â)

2x + 2y = 2x+y.

cos 2x

4. Найти

d 2 y

dx2

a) y = 5 (4

x = ln(1+t

− x)2 ; á)

y = t −arctgt.

5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

	e5x −1			1
a) lim	tg2x	;	á) lim		−ctgx .
a) lim		;	á) lim		−ctgx .
x→0			x→0	sin x
6. Исследовать функцию и построить ее график:						y =	−x2	+ 4	.
6. Исследовать функцию и построить ее график:						y =	2x		.
							2x

262

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3533 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf