Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3532 33 34 35 > Следующая >>>

Контрольная работа «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»

Вариант 1

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

x + x + x = 4,				x + x + x = 3,
1	2	3		2	3	4
а) методом Крамера x1	− x2	+ 2x3 =1,	б) методом Гаусса	x1	− x2	+ x4 =1,
−x + 2x + x = −1;				x + x + 2x = 4.
	1	2 3		1	3	4

2.	Найти длину вектора a = 3m −5n , если			=		=1,
2.	Найти длину вектора a = 3m −5n , если		m	=	n	=1,	(m, n) = π .
							4
							4
3.	Привести к каноническому виду уравнение прямой 2x −3y −3z −9 = 0,
							x −2y + z +3 = 0.
4.	Даны	координаты вершин пирамиды					А1А2А3А4: A1 (0; 0; 0), A2 (3; −2; 1), A3 (1; 4; 0),
A4 (5; 2; 3).		Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на
грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.
5.	Построить на плоскости кривую x2 +8x + 2y + 20 = 0 , приведя ее уравнение к каноническо-
му виду.

Вариант 2

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

x −2x − x = −2,

x −2x − x = 0,

а) методом Крамера x1 + 2x3

− x3 = 0,

б) методом Гаусса

x1 + 2x3 − x4

= 0,

x +3x =1;

x +3x = 0.

2. Какой угол образуют

единичные векторы

орто-

n , если векторы

a = m −n,

b = 3m +6n

гональны?

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (–1; 3) и точку перес ечения прямых

2x − y −1 = 0, 3x + y −4 = 0 .

4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (3; 1; 0), A2 (0; 7; 2), A3 (−1; 0; −5),

A4 (4; 1; 5) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

5. Построить на плоскости кривую 3x2 −4y2 =18x +15 , приведя ее уравнение к каноническому виду, найти фокусы.

Вариант 3

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

252

x1 − x2 + x3

=1,

− x

+ x

=1,

а) методом Крамера

− x

=1,

б) методом Гаусса x2 + x3 − x4 =1,

2x − x + x = 0,

2x1 − x3 + x4 = 0;

3x1 + x4 = 5.

2. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 3m + 4n

b = m −2n , если

=1,

(m, n)

3. Привести к каноническому виду уравнение прямой x +3y −3z −6 = 0,

x −2y + z +3 = 0.

4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (3; 1; 1), A2 (1; 4; 1),

A3 (1; 1; 7),

A4 (3; 4; −1) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4

на

грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

5. Построить на плоскости кривую

x2 + 2y2 − 2x +8y + 7 = 0 , приведя ее уравнение к кано-

ническому виду, найти фокусы.

Вариант 4

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

x		+ 2x	− x =1,	б) методом Гаусса	x		+ 2x	− x = 0,
а) методом Крамера	1	2	3	б) методом Гаусса		1	2	4
2x1 + x2 + x3 = −2,					2x1 + x2 + x3 = 0,
x		− x + x = −1;			x		− x + x = 0.
	1	3	2			1	3	4

2.Найти скалярное произведение векторов a, b , если a = 2i + j −k, b = j + 2k .

3.Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (0; 3) и точку пересечения прямых x − y −1 = 0, −3x + y −4 = 0.

4.Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (5; 1; 0), A2 (7; 1; 0), A3 (2; 1; 4),

A4 (5; 5; 3) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

5. Построить на плоскости кривую x2 +8x + y +15 = 0 , приведя ее уравнение к каноническому виду.

Вариант 5

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

	2x2 + 2x3 −4x1 = 2,				2x		+ 2x	−4x			=1,
	2x2 + 2x3 −4x1 = 2,					2	3	4				=	2,
а) методом Крамера			− x = −2,	б) методом Гаусса		3x	+ x − x − x					=	2,
а) методом Крамера	3x + x		− x = −2,	б) методом Гаусса		1	2	3		4
		1 2	3		x + x + x + x = −1,
	x1	+ x2 + x3 =1;				1	2	3	4					= 0.
					4x		+ 4x	+ 2x		−4x				= 0.
						1	2	3					4

253

2. Зная, что

= 2,

= 5, (a,b) =

2π

, определить, при каком значении α взаимно перпендику-

лярны векторы

p = αa +17b и

q = 3a −b .

3. Даны уравнения сторон треугольника x +2y −1 = 0, 5x +4y −17 = 0, x −4y +11 = 0 .

Составить уравнение прямой, проходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне.

4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (0; 0; 0), A2 (5; 2; 0), A3 (2; 5; 0),

A4 (1; 2; 4 ). Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

5. Построить на плоскости кривую x2 + y2 + 4x −10y + 20 = 0, приведя ее уравнение к каноническому виду, найти фокусы.

Вариант 6

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

	2x1 − x2 − x3 = −3,				2x		− x	− x	= −3,
	2x1 − x2 − x3 = −3,					1	3	4
а) методом Крамера		+ x2	−2x3		б) методом Гаусса 3x1 + x2 −2x3 = 0,
	3x1	+ x2	−2x3	= 0,	x − x − x = −1,
	x − x − x =1;					1	2	3
	1	2	3		6x		− x	− x	−3x = 2.
						1	2	3	4
2.	При каких значениях α и β векторы a = αi − j + 2k иb = 5i +β j −k					коллинеарные?
3.	На прямой 2x + y +11 = 0			найти	точку, равноудаленную от двух данных точек
A(1; 1), B (3; 0) .
4.	Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (3; 1; 1), A2 (1; 4; 1), A3 (1; 1; 7),
A4 (3; 4;−1) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на
грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.
5.	Построить на плоскости кривую 5x2 +18y −30x +9y2 +9 = 0 , приведя ее уравнение к кано-

ническому виду, найти фокусы.

Вариант 7

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

		3x + 2x − x =1,					б) методом Гаусса	3x + 2x − x − x =1,
а) методом Крамера 1				2	3			1	2 3 4
		6x1 + 4x2 −2x3 = 2,						6x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 2,
			− x2 − x3		=1;				+ 2x2 + 2x3 +3x4 =1.
		x1						3x1
2. На векторах		(4;−	5; 0)	и		(0; 4; −2) построен треугольник АВС . Вычислить длину
	AB				AC

его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

3. Найти проекцию точки Р (3; 1; –1) на плоскость x + 2y +3z −30 = 0 . 254

4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (3; 1; 0), A2 (1;−2; 1), A3 (0; 1; 7),

A4 (−3; 4;−1) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

5. Построить на плоскости кривую 5x2 +18y −30x −9y2 +9 = 0 , приведя ее уравнение к каноническому виду, найти фокусы.

Вариант 8

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

x − x			− x	= −1,	б) методом Гаусса	3x − x − x − x = 0,
а) методом Крамера	1	2	3			1	2	3	4
−x1 + x2 + x3 =1,						5x1 +3x2 + x3 + x4 = 2,
x − x			− x	= 0;		x + 2x + x + x =1.
	1	2	3			1	2	3	4

2. Даны векторы OA = 2i −3 j + k, OB = i + 4 j, OC = −4i + j + k, OD = −5i −5 j +3k. Доказать, что диагонали АС и BD четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

3. Найти точку пересечения прямой	x −1	=	y +1	=	z	и плоскости 2x +3y + z −1 = 0 .
	1		−2		6

4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4:					A1 (−3; 1; 2), A2 (1;−2; 1), A3 (1; 1; 0),

A4 (2; 4;−1) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

5. Построить на плоскости кривую −5x2 +18y −30x +9y2 +9 = 0 , приведя ее уравнение к каноническому виду, найти фокусы.

Вариант 9

Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

а)

x − x − x = −1,

2x − x + x − x =1,

методом Крамера 1

б) методом Гаусса

2 3 4

x1 + x2 + x3 =1,

−2x2 +3x3 + x4 = 3,

−2x2 − x3 = 0;

5x1 −4x2 +5x3 − x4 = 5.

Выяснить, компланарны ли векторы a

= 2i +5 j +7k, b = i + j −k, c = i + 2 j + 2k.

Через

прямую

x −2

z +1

провести плоскость,

параллельную прямой

−2

y −2

z +3

−1

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (3; 1; 1), A2 (1; 5; 1),

A3 (1; 1; −3),

A4 (−4; 4;−1) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

255

5. Построить на плоскости кривую 18y −30x +9y2 +9 = 0, приведя ее уравнение к каноническому виду.

Вариант 10

1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:

а)		x − x −2x = −1,			б) методом Гаусса		x + x − x = 2,
	методом Крамера 1		2	3			1	2	3
		x1 + x2 + x3 =1,					3x1 −3x2 + 2x3 = 5,
			−2x2	− x3 = 0;				−3x2	+ x3 =16.
		x1					9x1
2.	Найти	площадь		параллелограмма,		построенного			на	векторах

a = 2i +5 j +7k, b = i + j −k, c = i + 2 j + 2k.

3.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно плоскостям x +5y − z +7 = 0, 3x − y + 2z −3 = 0 .

4.Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1 (0; 1; 1), A2 (−2; 4; 1), A3 (1; 1; −3),

A4 (3; 5; −1) . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды.

5. Построить на плоскости кривую 5x2 +18y −30x = 0 , приведя ее уравнение к каноническому виду.

256

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3532 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf