Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Задание 1. а) Проверить невырожденность системы линейных уравнений и решить ее по формулам Крамера и матричным способом.

б) Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить ее, используя метод Гаусса.

1.1.

а)

x1 + x2 − x3 = 6,

б)

6x1 + x2 − x3 =1,

2x1 +3x2 −4x3 = 21,

x1 − x2 + 2x3 = 3,

− x2

−3x3 = 6.

+3x3

= 7.

7x1

8x1 − x2

1.2.

а)

3x1 −3x2 + 4x3 = 7,

б)

2x1 +3x2 + 4x3 =1,

x1 + x2 −5x3 = −6,

x1 −2x2 + x3 = −3,

− x2

+ x3 =

2x1

5x1 −3x2 +7x3 = 2.

1.3.

а)

x1 + 2x2 − x3 = 2,

б)

x1 −2x2 + x3 = 6,

2x1 −3x2 + 2x3 = 2,

2x1 + x2 − x3 = 2,

+ x2

+ x3 =

+ 4x2

−3x3

= −2.

3x1

1.4.

а)

2x1 −3x2 +5x3 =11,

б)

4x1 −2x2 − x3 =1,

3x1 − x2 +5x3 =10,

x1 + x2 +3x3 = 3,

x + 2x

−4x

= −7.

−5x

−10x

= 0.

1.5.

а)

4x1 − x2 −3x3 =1,

б)

x1 + x2 − x3 = 2,

3x1 +6x2 + 2x3 = 4,

3x1 −3x2 + 2x3 = 5,

+ 4x2 + x3 = 4.

=16.

2x1

9x1 −3x2 + x3

1.6.

а)

x1 + 2x2 +3x3 = 6,

б)

x1 + 2x2 − x3 = 0,

2x1 +3x2 − x3 = 4,

5x1 + x2 −7x3 = 0,

= 0.

+ 2x2

+5x3

=1.

3x1 + x2 −4x3

1.7.

а)

2x1 + x2 = 3,

б)

2x1 +3x2 −4x3 =1,

x1 + x2 =1,

−5x1 + x2 =1,

= 0.

3x1 + x2 + 2x3

−3x1 + 4x2 −4x3 = 2.

1.8.

а)

x1 − x2 −3x3 =13,

б)

x1 − x2 −3x3 = 0,

2x1 + x2 − x3 = 0,

−2x1 + 2x2 +5x3 =1,

+ 4x3 = −15.

−3x2

−9x3

= 0.

3x1 −2x2

3x1

1.9.

а)

2x1 +3x2 +5x3 =12,

б)

x1 +3x2 =1,

x1 −4x2 +3x3 = −22,

2x1 +6x2 + x3 =1,

= 2.

3x1 − x2 −2x3 = 0.

3x1 +9x2 + x3

1.10.

а)

2x1 +3x2 − x3 = 4,

б)

x1 + 4x3 =1,

x1 + 2x2 + 2x3 = 5,

x2 −3x3 = 2,

+ 4x2 −3x3

= 2.

+7x3

= 0.

3x1

x1 + x2

1.11.

а)

x2 +3x3 = −6,

б)

x1 +5x2 −4x3 = −3,

x1 −2x2 − x3 = 5,

x2 +3x3 = 2,

=13.

+7x2

+ 2x3

=1.

3x1 + 4x2 −2x3

237

1.12.

а)

4x1 + 2x2 − x3 =12,

б)

3x1 + 2x2 −4x3 = 8,

x1 + 2x2 + x3 = 7,

2x1 + 4x2 −5x3 =11,

− x

= −1.

−2x

+ x

=1.

1.13.

а)

2x1 + x2 − x3 = 0,

б)

x1 + x2 + x3 =1,

3x2 −4x3 = −6,

x1 − x2 + 2x3 = −5,

+ x

=1.

+3x

= −2.

1.14.

а)

x1 + 2x2 + x3 = 8,

б)

2x1 − x2 + 4x3 =15,

3x1 −2x2 −3x3 = −5,

3x1 − x2 + x3 = 8,

−4x2 +5x3 =10.

−2x2

+5x3 = 0.

3x1

5x1

1.15.

а)

2x1 − x2 = −1,

б)

3x1 −3x2 + 2x3 = 2,

x1 −2x2 − x3 = −2,

4x1 −5x2 + 2x3 =1,

+ x

= −2.

−2x

= 5.

1.16.

а)

2x1 −3x2 − x3 = −6,

б)

3x1 + 2x2 −4x3 = 8,

3x1 + 4x2 +3x3 = −5,

2x1 + 4x2 −5x3 =1,

+6x2

−9x3 = 2.

x1 + x2 + x3 = −2.

5x1

1.17.

а)

3x1 + 2x2 +5x3 = −10,

б)

3x1 + x2 + 2x3 = −3,

2x1 +5x2 −3x3 = 6,

2x1 + 2x2 +5x3 = 5,

3x2 − x3 = −6.

+3x2

+7x3 =1.

5x1

1.18.

а)

x1 + 2x2 + x3 = 8,

б)

4x1 −7x2 −2x3 = 0,

−2x1 +3x2 −3x3 = −5,

2x1 −3x2 −4x3 = 6,

−4x2

+ 2x3 = 2.

3x1 −4x2 +5x3 =10.

2x1

1.19.

а)

3x1 + 4x2 + 2x3 = 8,

б)

5x1 −9x2 −4x3 = 6,

2x1 −4x2 −3x3 = −1,

x1 −7x2 −5x3 =1,

+ x

= 0.

−2x

+ x

= 2.

1.20.

а)

2x1 +3x2 − x3 = 5,

б)

x1 −5x2 + x3 = 3,

3x1 − x2 + x3 = 4,

3x1 + 2x2 − x3 = 7,

+ x

= 6.

−3x

=1.

1.21.

а)

2x1 − x2 = 0,

б)

5x1 −5x2 −4x3 = −3,

x1 + 2x2 − x3 = −2,

x1 − x2 +5x3 =1,

+ x

= −5.

−4x

−9x

= 0.

1.22.

а)

x2 +3x3 = −6,

б)

7x1 −2x2 − x3 = 2,

x1 −2x2 − x3 = 5,

6x1 −4x2 −5x3 = 3,

+ 4x2 −2x3 =13.

3x1

x1 + 2x2 + 4x3 = 5.

1.23.

а)

x1 +3x2 − x3 = −1,

б)

4x1 −3x2 + x3 = 3,

x1 − x2 +5x3 = 9,

x1 + x2 − x3 = 4,

−4x2

+ 2x3 = 2.

2x1 + x2 −2x3 = 3.

3x1

1.24.

а)

5x1 +8x2 − x3 = 7,

б)

3x1 + x2 + 2x3 =1,

2x1 −3x2 + 2x3 = 9,

2x1 + 2x2 −3x3 = 9,

+ 2x

+3x

=1.

− x

+ x

= 2.

238

1.25.

а)

2x1 − x2 +5x3 = 4,

б)

2x1 +3x2 + 4x3 = 5,

5x1 + 2x2 +13x3 = 2,

x1 + x2 +5x3 = 6,

− x2 +5x3 = 0.

+ 4x2

+9x3 = 0.

3x1

1.26.

а)

4x1 + x2 − x3 = 6,

б)

5x1 +6x2 −2x3 = 2,

x1 − x2 + 2x3 = −3

2x1 +3x2 − x3 = 9,

+3x2

− x3 =1.

2x1 −7x2 + x3 = 0.

3x1

1.27.

а)

2x1 − x2 = 0,

б)

4x1 −9x2 +5x3 =1,

x1 + 2x2 − x3 =1,

7x1 −4x2 + x3 =11,

+5x2

−4x3 = 5.

x2 + x3 = 0.

3x1

1.28.

а)

3x1 + 4x2 + 2x3 = 8,

б)

3x1 + 4x2 + x3 = 2,

x1 +5x2 + 2x3 = 5,

x1 +5x2 −3x3 = 4,

+3x

+ 4x

= 3.

− x

+ 4x

= 5.

1.29.

а)

x1 + x2 − x3 = −2,

б)

2x1 +8x2 −7x3 = 0,

2x1 + 4x2 +3x3 = 3,

2x1 −5x2 +6x3 =1,

−2x2 +5x3 =13.

+3x2

− x3 = 7.

3x1

4x1

1.30.

а)

4x1 + 2x2 − x3 = 0,

б)

3x1 −5x2 +3x3 = 4,

x1 + 2x2 + x3 = 8,

− x

= −3.

−7x

+ 2x

=1.

Задание 2. Заданы координаты точек А, В, С. Требуется найти: 1) ï ðAC AB ;

2) площадь треугольника с вершинами в точках А, В, С.

2.1. А(7,1,4),	В(9,–2,0),	С(0,3,–3).
2.2. А(3,1,4),	В(–3,–1,0),	С(2,1,–3).
2.3. А(2,1,0),	В(3,–1,–4),	С(0,2,–2).
2.4. А(3,–1,–1),	В(3,1,4),	С(1,0,5).
2.5. А(2,1,–1),	В(7,–1,3),	С(0,3,3).
2.6. А(2,–3,7),	В(–3,–1,5),	С(9,0,1).
2.7. А(7,–3,4),	В(3,2,–1),	С(4,1,1).
2.8. А(1,1,0),	В(2,1,–4),	С(0,1,0).
2.9. А(1,–1,4),	В(2,3,–4),	С(1,0,–5).
2.10. А(2,–4,7),	В(8,1,0),	С(–1,–3,0).
2.11. А(1,–1,0),	В(0,1,7),	С(–1,–2,–3).
2.12. А(0,9,–3),	В(1,3,4),	С(0,2,–5).
2.13. А(1,–1,3),	В(2,–2,4),	С(1,0,1).
2.14. А(2,–2,–3),	В(–1,–4,7),	С(0,4,–3).
2.15. А(1,0,0),	В(–3,1,–1),	С(1,–2,–3).
2.16. А(1,3,7),	В(7,3,–5),	С(–1,–4,0).
	239

2.17. А(1,–1,1),		В(0,1,0),		С(1,4,–5).
2.18. А(2,–2,3),		В(1,–1,4),		С(0,1,–1).
2.19. А(2,0,–1),		В(1,–1,1),		С(0,1,7).
2.20. А(1,–1,3),		В(2,1,–4),		С(0,1,0).
2.21. А(1,–2,2),		В(2,0,1),		С(1,4,–7).
2.22. А(1,2,–3),		В(2,–1,4),		С(2,3,–4).
2.23. А(7,9,–3),		В(1,0,–1),		С(0,3,0).
2.24. А(1,–2,0),		В(2,4,–1),		С(7,1,0).
2.25. А(3,–1,4),		В(–4,2,3),		С(0,1,–1).
2.26. А(6,–3,0),		В(3,0,1),		С(2,–4,3).
2.27. А(4,5,–1),		В(6,–4,2),		С(0,3,–1).
2.28. А(3,–1,2),		В(3,6,–4),		С(0,1,–1).
2.29. А(1,1,–1),		В(3,4,0),		С(0,5,–2).
2.30. А(1,0,2),		В(3,4,7),		С(5,–1,1).
Задание 3. Найти угол	(в градусах)	между прямой	x −1	=	y +3	=	z +1	и плоскостью,
Задание 3. Найти угол	(в градусах)	между прямой	2	=	−1	=		и плоскостью,
			2		−1	3
проходящей через точки M1, M 2 , M3 .
3.1.	M1(1,–3,4),	M2(0,–2,–1),		M3(1,1,–1).
3.2.	M1(1,1,4),	M2(–2,1,1),		M3(1,3,6).
3.3.	M1(1,2,–1),	M2(–1,0,4),	M3(–2,–1,1).
3.4.	M1(1,2,3),	M2(4,–1,–2),		M3(4,0,3).
3.5.	M1(1,3,–1),	M2(–3,1,–9),		M3(1,0,–7).
3.6.	M1(1,–2,–1/2),	M2(2,1,3),	M3(0,–1,–1).
3.7.	M1(1,1,4),	M2(2,–1,0),		M3(3,2,1).
3.8.	M1(–13,3,2),	M2(–3,–2,–4),		M3(0,0,–3).
3.9.	M1(1,–1,–3),	M2(0,6,1),		M3(2,2,–2).
3.10.	M1(2,3,–10),	M2(1,–1,–9),	M3(0,–1,–4).
3.11.	M1(1,1,4),	M2(2,0,2),		M3(0,3,3).
3.12.	M1(2,1,–3),	M2(1,1,0),		M3(–1,2,7).
3.13.	M1(1,0,1),	M2(0,0,2),		M3(1,1,1).
3.14.	M1(–5,–1,1),	M2(–2,0,1),		M3(–1,1,0).
3.15.	M1(2,1,3),	M2(0,0,4),		M3(1,1,1).
3.16.	M1(2,3,1),	M2(4,–4,–2),		M3(1,0,0).
3.17.	M1(–1,0,1),	M2(3,–2,–1),	M3(–4,–1,2).
		240

3.18.	M1(2,–2,9),	M2(–2,0,1),	M3(–4,1,3).
3.19.	M1(1,2,–1),	M2(2,3,–10),	M3(0,4,1).
3.20.	M1(1,–2,1),	M2(0,–1,2),	M3(2,–1,–1).
3.21.	M1(1,–2,–5),	M2(2,3,2),	M3(–1,0,5).
3.22.	M1(1,3,4),	M2(0,1,2),	M3(2,5,0).
3.23.	M1(1,–1,0),	M2(–3,–4,1),	M3(–1,–1,2).
3.24.	M1(–1,2,0),	M2(6,3,1),	M3(–15,0,2).
3.25.	M1(1,2,3),	M2(2,4,1),	M3(2,0,–3).
3.26.	M1(–1,1,0),	M2(3,–4,5),	M3(–2,0,2).
3.27.	M1(2,–3,5),	M2(1,–2,12),	M3(4,–1,7).
3.28.	M1(3,–1,2),	M2(4,–1,–1),	M3(2,0,2).
3.29.	M1(1,3,1),	M2(4,0,7),	M3(–2,1,2).
3.30.	M1(1,–1,1),	M2(5,4,–2),	M3(–1,–2,2).

Задание 4.Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке

4.1.x2 + 2y2 −2x +8y +7 = 0

4.2.9x2 + y2 −36x + 2y + 28 = 0

4.3.x2 +8x + 2y + 20 = 0

4.4.4x2 +9y2 −40x −36y +100 = 0

4.5.x2 − y2 + 2x +6y −12 = 0

4.6.x2 + y2 + 4x −10y + 20 = 0

4.7.9x2 + 4y2 −54x −32y +109 = 0

4.8.25x2 −9y2 −150x −72y −144 = 0

4.9.2x2 +8x − y +12 = 0

4.10.9x2 + 4y2 −18x = 0

4.11.x2 −4y2 −4x + 40 = 0

4.12.x2 −4y2 +6x +16y −11 = 0

4.13.9x2 +10y2 + 40y −50 = 0

4.14.9x2 −16y2 −18x +64y +89 = 0

4.15.x2 + 4y2 −6x +8y = 3

4.16.x2 + 4y2 + 2x = 0

4.17.4x2 − y2 −24x −6y + 43 = 0

241

4.18.x = 2y2 −12y +14

4.19.y2 + 4y = 2x

4.20.2x2 −5y2 + 4x + 40y −58 = 0

4.21.4x2 −9y2 + 4x = 0

4.22.x2 −8x + y +15 = 0

4.23.3x2 + 4y2 +30x −24y +99 = 0

4.24.3x2 −4y2 +18x +15 = 0

4.25.9x2 −16y2 −54x −64y −127 = 0

4.26.y2 −6x +6y + 27 = 0

4.27.5x2 +9y2 −30x +18y +9 = 0

4.28.4x2 +8x − y +7 = 0

4.29.y2 + 2x −4y +14 = 0

4.30.x2 −5x − y +7 = 0

Задание 5. Найти пределы функций:

5.1.

а)

lim

3x3 −5x2 + 2

;

б)

lim

1−cos x ;

2x3 −4x2 − x

x→∞

x→0

xsin 3x

5.2.

а)

lim

x2 + 3x + 2

;

б)

lim

cos x − cos 3

x ;

x→−1 3x2 + 4x +1

x→0 1− 1− x2

− 2

;

5x3 + x2 − 6

5.3.

а)

lim

x2 + 4

б)

lim

;

2x4 − x +12

x→0 x2 +16 − 4

x→∞

5.4.

x3 −27

2x +5 5x

а)

lim

;

б)

lim

;

x→3

3x − x

x→∞

2x +1

5.5.

а)

lim

(x +1)3 −(x −1)3

;

б)

lim

1−cos3x

;

(x + 2)2 +(x +1)2

2x tg 4x

x→∞

x→0

x3 −64

5.6.

а)

lim

;

б)

lim

(

x + 2 −

x );

7x2 −27x −4

x→4

x→∞

5.7.

а)

lim

3x3 −2x +1

;

б)

lim cos x −cos 2

x ;

5x2 − x + 2

x→∞

x→0 2 − 4 − x2

5.8.

3x2 − x −10

3x +1 x+1

а)

lim

x3 − x −6

;

б)

lim

;

x→2

x→∞

3x + 4

5.9.

а)

lim

2x2 + x −3

;

б)

lim

11x5 −5x2 −1

;

x→1

3x2 −2x −1

x→∞ 20x4 −4x +8

242

в) lim 2x −1 x ; x→∞ 2x +1

в)	lim	1	−	1	;

				ex −1
	x→0 x

в) lim xsin 2x ; x→0 1− cos 4x

в)

lim cos x −cos3 x ;

x→0

3x2

в)

lim

1− x2

−1

;

e−x

−

x→0

в)

lim

1−cos 2x

;

x→0

xsin 3x

в)

lim

2x2 −9x −5

;

x2 −4x −5

x→5

в)

lim

1−cos7x

;

x→0

2x tg 3x

г)	lim			ln(x2 −3)					.
			x
	x→2			2 +3x −10
г)	lim		1			tg x
						.
	x→0 x
							1	x2
г)		lim cos						.
							x2
		x→∞
г)		lim			x + 2ln x			.

		x→∞				x

π−x

г) lim (cos x)2 .

x→π2

г) lim (1− x)ln(1− x).

x→1−0

г) lim 1 tg x . x→0 x

г) lim x2e x2 .

x→0

					2
в) lim	1+sin x	−	1−sin x	;	г) lim(3x + x)x .
в) lim	tg 3x			;	г) lim(3x + x)x .
x→0	tg 3x				x→0

x3 +5x

cos x −1

1−e

−1

5.10.

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

(5 −2x)

x−2

x→∞

2x4 −3x2

x→0 cos 2x −cos5x

x→∞

x→2

ln 1−

5.11.

5x2 −3x +1

x2 −3x

+ 2

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim x

sin

x→∞ 7x

+ x −5

x→2 5 − x − x +1

x→∞ x

−1

x→∞

5.12.

4x2 −5x −21

tg x −sin x

г) lim(1− x)

а)

lim x

−2x −1 −

−7x

+3 ;

б)

lim

;

в)

lim

;

ln x

x→∞

x→3

2x2 −3x −9

x→0

x→1

5.13.

а)

lim

5x2 +9x −44

;

б)

lim

3x3 + x2 −1

;

в)

lim

ln(1+ x)

;

г)

tg x

4x4 + x +3

lim (sin x)

x→−4 2x2 +5x −12

x→∞

x→0

−1

x→

x − x2 +3x3

1−cos x2

)

5.14.

а)

lim

;

б)

lim

−

;

в)

lim

;

г)

lim

+ e

x→∞

4x3 −2x2

x→5 x −5

x2 − x −

x→0

x2 −sin x2

x→0

5.15.

а)

lim

x3 − x −6

;

б)

lim

4 +5x2 −4x3

;

в)

lim(1−4x)1−xx ;

г)

lim

ln(1+ x2 )

x→2

3x2 − x −10

x→∞

8 −6x + x5

x→0

x→0 cos3x −e−x

4x2 −12x +17

2x2 −9x + 4

cos5x −cos 2x

ctg x

5.16.

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim (1+ x)

5x2 +3x

3x2

x→∞

x→4

5 − x − x

−3

x→0

x→+0

5.17.

а)

lim

20 + x − x2

;

б)

lim

x + x2 +3x3

;

в)

lim

1−cos5x ;

г)

lim ln2 x .

3x2 −11x −20

x2 + 2x −3

x→5

x→∞

x→0

3x tg 3x

x→1

1− x

−

−4x

1−sin x

5.18.

2 − x

ln 2x ln(2x −1).

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

1+ 2x

x→1

5 − x

−2

x→∞

x→

− x

x→1 +0

5.19.

а)

lim

7x5 −3x2 +1

; б)

lim

x3 +1

;

в)

lim (x + 2)(ln(2x +1)−ln(2x −1));г) lim

1−e−x − x .

x→∞

5 + 2x3 + x4 +3x5

x→−1 x3 − x2 −2x

x→∞

x→0

sin x + x

5.20.

а)

lim

x2 −4x +3

;

б)

lim

4x3 + 2x2 −3

; в)

lim

1−

1− x2

; г) lim (x +3x )x .

x→1 2x2 + x −3

x→∞

3x4 + x3 + 2x2 +1

x→0 cos3x −cos5x

x→∞

5.21.

а)

lim

x3 + 2x2 −5

;

б)

lim

x2 −8x +15

; в)

lim

(x −4)(ln(2 −3x)−ln(5 −3x));

г)

lim e3x −3x −1 .

4x2 − x +1

2x2 −9x −5

x→∞

x→5

x→∞

x→0 sin 2x − 2x

− x

5x −1 3x

5x2

1−sin2

πx

5.22.

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

−8

5x + 2

x→2

x→∞

x→0 cos3 2x −cos 2x

x→1

(x −1)2

6x2 −5x +1

π−2arctg x

5.23.

lim(1+ tg

x )

а)

lim

;

б)

lim

−7x + 4 −2x ;

в)

;

г)

lim

−1

e x

−1

x→2

x→∞

x→0

x→+∞

3x3 + x

−

1−cos 4x

5.24.

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim (ctg x)

ln x

1−cos7x

x→∞ x4 −3x2 +1

x→1

x −1

x→0

x→+0

2x4 − x +7

5.25.

а)

lim

x2 +9

−3

;

б)

lim

;

в)

lim (2x +5)(ln(x −2)−ln(x −1));

г) lim

x −sin x

5x4 + x2 +11

x→0

x2 +1 −1

x→∞

x→0 ex −e−x −2x

243

5.26.

x3 −100x2 +1

− x2 − x +1

(1−cos x)2

а)

lim

; б) lim

; в) lim

;

г)

x→∞

100x2 +15x

x→1

x3 + x −2

x→0

tg x

1−

;

3x4 +9x3 −12

5.27.

а)

lim

4 + x

б) lim

; в) lim (3x +1)(ln(1−3x)−ln(5 −3x));

г)

4x3 + x2 −6

x→−3

5 − 22 − x

x→∞

lim (ex + x)x .

x→0

	1		1
lim		−		.
			x2
x→0 xsin x

5.28.

а)

lim

(x + 2)2 +(x −1)2

;

б)

lim

x3 + 2

x2 −8x

;

в)

lim

x arcsin 3x

;

x→∞ (x +1)3 −(x −1)3

x→2

1−

3 − x

x→0 cos 2x −cos6x

+ x

2x3 +

4x2 + x −3

+ 4

5.29.

а)

+ x

;

б)

; в)

;

lim

x→−1 x

−

−5x

x→∞

+ 2x −1

−2

x→∞ x

	π		1
г)				x	.
	lim		−arctg x
		2
	x→+∞

г) lim ln(x −1)ln x .

x→1+0

+ x −2

2x3

−5x2 −9

2arcsin 3x

tg x

5.30.

а)

lim

; б) lim

;

в) lim

; г)

lim (lnctg x)

3x3 + x −1

+ x −12

x→∞ 7x4 +

x→3

x→0

1+sin x − 1−sin x

x→+0

Задание 6.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

Исследовать функции на непрерывность и установить характер точек разрыва, если таковые имеются. В пункте б дополнительно построить график функции

а) f (x)= x2x++12x ;

а) f (x)= 21−x ;

а) f (x)=		x + 4	;
		x + 4

	x2 + 4x
	x2 + 4x

а) f (x)= sin(x + 2) ;

x2 + x −2

а) f (x)= xx23++28x ;

а) f (x)= lnx(21−+ xx);

	1,				x < 0,
б) f (x)= 2x , 0 < x ≤ 2,
	x +3,								x > 2.

							,			x ≤ 0,
			1− x				,			x ≤ 0,
б) f (x)= 0, 0 < x ≤ 3,
	x −3,								x > 3.

	2,					x < 0,
б)	f (x)= cos x +1, 0 ≤ x ≤ π,
									x > π.
	1− x,								x > π.
	ln x, 0 < x ≤1,
б) f (x)= x −1, 1 < x ≤ 4,
		2		−10,						x > 4.
	x			−10,						x > 4.
		2
		2		+1,					−∞ < x ≤ 0,
	x			+1,					−∞ < x ≤ 0,
б) f (x)= tg x, 0									< x ≤ π		,
									π	4
									π
	1,				x >					.
	1,				x >				4	.
									4

		1		− x			2	, −1 ≤ x ≤1,
б)		1		− x				, −1 ≤ x ≤1,
б)	f (x)= x −1, 1 < x ≤ 3,

					x,				x > 3.
	−				x,				x > 3.

244

6.7.а) f (x)= 1+231/ x ;

6.8.а) f (x)= x4 x−2x−3 2−xx+21+ x ;

6.9.а) f (x)= 1−cos x ; x2

6.10.а) f (x)= x22−4 ;

	1
6.11.	а) f (x)= e		;
		2x+4

6.12. а) f (x)= arcsinx2 − xx ;

6.13. а) f (x)=	1	−	2	;
	1− x		1− x2

6.14. а) f (x)= 1−31x ;

1+3 x

6.15. а) f (x)= arctg x1−1 ;

6.16. а) f (x)=	x +8	−3	;
	x2 −1

6.17.а) f (x)= sin(3x2 −1); x − x

sin x,

−∞ < x ≤ π,

б) f (x)= x −π, π < x ≤ 2π,

x > 2π.

cos x,

x ≤ 0,

б) f (x)= 3x , 0 < x ≤1,

2x + 2,

x >1.

− x,

x ≤ 0,

б) f (x)= ln x, 0 < x ≤ e,

x > e.

x −e,

−1,

x < 0,

б)

f (x)

≤

≤ π

cos x,

x > π.

1− x,

0 ≤ x <1,

б) f (x)= x2 +1, 1 < x ≤ 2,

+3,

x > 2.

x +1,

x ≤ 0,

б) f (x)= 4x , 0 < x ≤1,

6 − x2 ,

x >1.

4 − x

, −2 ≤ x ≤ 2,

б)

f (x)= x −2, 2 < x ≤ 4,

x > 4.

−

tg x,

≤ x ≤

б)

f (x)=

< x < π,

x ≥ π.

sin x +

−∞ < x ≤1,

б)

f (x)=

, 1

< x < 4,

−2

x > 4.

x3 +1,

x ≤ 0,

б)

f (x)= 3x , 0 < x ≤ 2,

6 − x,

x > 2.

x +1,

−∞ < x ≤ 3,

б) f (x)= 3x −7, 3 < x ≤ 4,

x > 4.

3 +

245

6.18.

а)

f (x)= 5

;

x−3

6.19.

а)

f (x)=

ex −e−x

;

6.20.

а)

f (x)=

tg(x −1)

;

2 −3x + 2

−3

;

6.21.

а)

f (x)=

7 + x

x2 −4

6.22.

а)

f (x)= ln(1+ 2x);

x2 −3x

6.23.

а)

f (x)=

x2 −5x +6

;

x2 −2x

6.24.

а)

f (x)=

1−cos x

;

3x2 − x3

6.25.

а)

f (x)=

;

1+ 4

x−1

6.26.

а)

f (x)=

x −2

;

2 −2x

6.27.

f (x)=

x2 + 2x

а)

x2 (

−1);

x +3

cos x,

x < 0,

б) f (x)= 1− x, 0 < x ≤ 3,

−5,

x > 3.

x ≤

б) f (x)= tg x, 0 < x <

−

≥

x ≤ 0,

б) f (x)= x2 , 0 < x ≤1,

+1,

x >1.

x + 2,

x ≤1,

б) f (x)= 3x , 1 < x < 2,

− x +5,

x ≥ 2.

sin x,

x ≤ 0,

б) f (x)= x2 , 0 < x ≤1,

x +1,

x >1.

− x2 ,

x ≤1,

б) f (x)= ln x, 1 < x ≤ e,

−3x + 4,

x > e.

x ≤ 0,

б) f (x)= −

, 0 < x ≤ 4,

(x −4)2 , x > 4.

x ≤

б) f (x)= ctg x,

0 < x ≤

−

sin x,

x ≤ 0,

б) f (x)= x2 −3, 0 < x < 2,

x −1,

x ≥ 2.

x < 0,

−

б) f (x)= tg x, 0 ≤ x ≤

x >

246

6.28.а) f (x)= arcsin(x +1); x2 + x

6.29.а) f (x)= x3 −3x3+ 2 ; x − x

6.30. а) f (x)=	e2x −1	;
	x2 +3x

Задание 7. Найти dydx функций


						x ≤ 0,
	− x2 ,
б) f (x)=				, 0 < x ≤1,
			x
	3
					1,	x >1.
	x −
	− x,					x ≤ 0,
б) f (x)= 1− x2 , 0 < x ≤1,
	ln x,					x >1.

	(x + 2)2 , x ≤ −2,

б)	f (x)=	4 − x2					, −2 < x ≤ 0,
					x > 0.
	x,

	2x +1		1
7.1. а) y = lntg
		;	б) y = x ln x ;
		;	б) y = x ln x ;
4

в) x y − yx = 0 ;

7.2. а) y = sin2 x ctg x ;

в) y2 cos x = 4sin 3x ;

7.3.а) y = x arcsin x + 1− x ;

в) x4 − 6x2 y2 + 9y4 −5x2 +15y2 −100 = 0 ;

7.4.а) y = ln 3x2 + 9x4 +1 ;

в) sin(y − x2 )− ln(y − x2 )+ 2 y − x2 −3 = 0 ;

7.5. а) y = tg x + 2 cos x ;

2cos 2x

в) xy2 −3 y + 2x3 = 0 ; x

7.6. а) y = ln 1+ sin x ; 1−sin x

в) ex + e y − 2xy −3 = 0 ;

г)	x = arcsin t;					y =	1−t2	.
	y = (		)3		;
б)				x
б)		x		x
г)	x = 2 cos2 t;					y = 2sin2 t .
б)	y = xarcsin x ;

г) x = t2 + 2; y = 1 t3 −1.

			3
б)	y = xln x ;
г)	x = cos3 t;		y = sin t .
		1
б)	y = (ln x)x		;

г) x =1+ et ; y = t + e−t .

б) y = (x +1)8 (x −3)2 ;

(x + 2)5

г) x = 5t2; y = 4t3 + tg t .

247

7.7.а)

в)

7.8.а)

в)

7.9.а)

в)

7.10.а)

в)

7.11.а)

в)

7.12.а)

в)

7.13.а)

в)

7.14.а) в)

7.15.а)

в)

y = arctg

1− x

;

б)

y = (sin x)cos x ;

1+ x

x2 sin y + y3 cos x − 2x − 3y +1 = 0 ;

г)

x =11cos2 t;

y =11sin3 t .

y = (sin x)arcsin x ;

y = arc cos

1− ex

;

б)

ey + xy = 3;

г)

x = et cos t;

y = et sin t .

y = arcsin

2x3

;

б)

y = xsin x ;

1+ x6

= 0 ;

г) x = 2(t −sin t);

y = 2(1− cos t).

+e x −3

x x

y = ln

+1 −1

;

б)

y = x2ex

sin 2x ;

+1 +1

y = ln(1−t2 ).

x4 + y4 = x2 y2 ;

г)

x = arcsin t;

y = log2 (sin2 x)−3x2

;

б)

y = (sin x)tg x ;

1+ x

x sin y + y sin x = 0 ;

г)

x = ln(1+ t2 );

y = t − arctg t .

y = arcsin				sin x			;
				1+ sin2
						x
x2		y2
	+		=1;
25		9

y = arctg(x +1)+						x +1		;

					x2 + 2x + 2

2y ln y = x ;

y= 5(x + 4)2 arcsin 7x2 ; ln y − xy = 5;

y= ex −sin ex cos3 ex ;

x + y = 7xy ;

б) y = (x2 + 3x −1)x ;

г) x = ln t; y = t2 −1.

б) y = (x +1)x ;

г)	x = arccos					;		y =	t −t2	.
				t
	y = (		)cos				;
б)					x
		x
г)	x = t − ln sin t;							y = t + ln cos t .
б) y = x2ex2 ln x ;
г)	x = 4t cos t;					y = 4t sin t .

248

1 1

7.16.а) y = ln 1− x + x ;

в) xy = arctg x ; y


7.17.	а)	y =	2 + ctg3(2x −3)						;
			ln(				+ 2)
						x
	в)	y2 −5cos2 x + tg y = 0 ;
7.18.	а)	y = lntg		x	+ cos x +			1		cos2 x ;

			2						3
	в)	ex sin y − e y cos x = 0 ;

7.19.а) y = arccos(2e2x −1); в) sin(xy)+ cos(xy)= 0;

7.20.а) y = 35x4 − 2x −1 + e−cos x sin 2x ;

в) y = cos(x + y);

7.21.

а)

y = ln

x2 + 2x

;

x +1

в) x 3 + y 3 = 4 3 y ;

7.22.

e2sin x

а)

y = lntg

;

в)

x − y = arcsin x − arcsin y ;

7.23.

а)

y =

e3x

+ lg2

(1+ sin x);

2 − 4x

в) e y − e−y − 2xy = 0 ;

7.24.а) y = arctg 3x − x3 ; 1−3x2

в) 2x + 2y = 2x+ y ;

249

(x − 2)2 3

б) y =

x +1

;

(x −5)3

г)

x = arctg t;

y = ln(1+ t2 ).

б)

y = (arctg x)ln x ;

г)

x = tg t; y = ctg t .

б)

y = (ln x)x ;

г) x =

; y = tg t .

cos t

б)

y =

x sin x

1− ex

;

г)

x = 2sin t + sin 2t;

y = 2 cos t + cos 2t .

б)

y = (arccos3x)lg(5x−1);

г)

x = arcsin t;

y = arccost .

(x +1)3 4

б) y =

x − 2

;

3 (x −3)2

г)

x = 6 cos3 t;

y = 6sin3 t .

б)

y = (cos x)x2

;

г) x =1+ e4t ; y = 4t + e−4t .


б) y = 9	(x + 3)ln(2x −3)	;
б) y = 9	(x −3)2	;
	(x −3)2
г) x = tet ; y = t2 + 2t .
1

б) y = (ctg x)x ;

г) x = t2 + 2t; y = ln(t +1).

y = 2(x3 − 4)

;

7.25.

а)

y =

(ln(2x +1)− 2);

б)

2x +1

в) arctg

= ln

x2 + y2

;

г)

x = 2cost; y = sin 2t .

ln x

y =

(x − 7)10

7.26.

а)

y = sin3 ex cos ex −

;

б)

3x −1

;

1− x4

3 (x + 3)5

в)	x + y = e y ;
7.27. а)	y =	arctg x	− ln		x	;
7.27. а)	y =		− ln			;
	2			1+ x2
в)	x2 + y2 = 25 ;

7.28.а) y = ex 1−e2x −arcsin ex ;

в) cos(xy)= x ;

7.29.а) y = 3arcctg 2x + 4−x ln5 (x + 2);

в) x − y = exy ;

7.30.а) y = − 1+ ln cos x ;

cos x

в) y3 −3yx + 6x2 = 0 ;

г) x = 2t −t2; y = 3t −t3 .

б) y = 1+xx2 x ;

г)	x = cos t + t sin t;					y = sin t −t cos t .
	3
б)			(x2	+ 3)(x2		−3)2	;
	y =
				(x + 5)4

г) x = e2t ;				y = e3t .

			x(x2 +1)
б)	y = 3				;
		(x2 −1)2
г)	x = 2sin t; y = 4 cos2 t .
б)	y = (x2 +1)sin x ;

г) x = t2 + 2t −3; y = t + t3 .

Задание 8. Исследовать функцию и построить ее график

8.1.y = x2 −1 . x2 +1

8.4. y =	x		.
8.4. y =	(1+ x)3		.
	(1+ x)3
8.7. y =	4x3	.
8.7. y =	1− x3	.
	1− x3

8.10. y = 4x3 +5 . x

8.13. y = x2x3−1 .

8.2. y = x2x+1 .

8.5. y = (x −1)ex .

8.8. y = 1+xx2 .

8.11. y = x2e−x .

8.14. y = x3 −6x2 +16 .

8.3. y = 1−x2x2 . 8.6. y = 1−x3x2 .

8.9. y = xx−21 .

8.12. y = 4x2 +1 . x

8.15. y = 1x−2x .

250

8.16. y =		x4	.
	1− x2

8.19. y =		2 − 4x2			.

		1− 4x2
8.22. y =		x3 + 2		.

		2x
8.25. y =		x3				.
		(x − 2)2

8.28. y = x4 2+1 . x

8.17. y = ln(4 − x2 ).

8.20. y = x1− x2 .

8.23. y = x2x−4 .

8.26. y = x3 −6x2 +9x −3 .

8.29. y = ln(1− x2 ).

251


8.18. y =		x4		.
8.18. y =	x	3 −1		.
	x	3 −1
8.21. y =		x3				.
8.21. y =	2(1+ x)2					.
	2(1+ x)2
8.24. y =		x3		.
8.24. y =	x	2 − 4		.
	x	2 − 4
8.27. y =	2 + x3		.
8.27. y =			.
		x2
8.30. y =		4x			.
8.30. y =	4 + x2				.
	4 + x2

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf