Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3527 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

на плоскости Oyz; 8) параллельна плоскости Oxy; 9) совпадает с плоскостью Oxz. 11.4 2; 3; 6.

11.5 1)

8x +3y − 2z −5 = 0 ;

x − 7 y −3z −8 = 0.

11.6

1) 3x − 2y + 4z −1 = 0 ;

x =1. 11.7 5x + y −3z −11 = 0 . 11.8

arccos

11.9 1) пересекаются; 2)

параллельны;

совпадают. 11.10

h = 5 .

11.11

5,5.

11.12

13x + 2y + z −48 = 0 ;

2) y = 0 ;

2x + y + 2z −1 = 0. 11.13 x +3y −2z +1 = 0 .

11.14 1) α = 2 ; 2) α = 0;

α = 0,4; 4) α = 0,5 .

11.15 x − y + z − 2 = 0 . 11.16

. 11.17 (1;2;3).

Занятие 12. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве

Аудиторные задания

12.1

Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей

через точку M0 (2;0;−3) параллельно вектору a = (2;−3;5).

12.2

Составьте

канонические

параметрические

уравнения

прямой:

x + y + 2z −3 = 0,

2x + y + z −1 = 0,

−1 = 0;

x − y + z

3x + 2y + z −2 =

12.3

Найдите угол между прямыми

x −1

y − 2

z + 3

x +1

z −10

−1

−3

12.4

При каких значениях a прямые

x −1

y −1

z −(a − 2)2

1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают?

12.5 Составьте уравнения сторон треугольника с вершинами в точках

A(−3;2;1); B(1;−1;0); C(2;3;−5).

12.6Найдите уравнения прямой, проходящей через точку M (2;−5;4) параллельно

прямой x +1 = y −2 = z +5 .

2	−3	4
12.7	Выясните взаимное расположение прямой и плоскости:		x +1	=	y −3	=	z	и
		2		4		5

x −3y + 2z −5 = 0 .

12.8Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (2;−1;3) перпендикулярно плоскости 3x − y + 2z − 4 = 0 .

12.9Найдите угол между прямой и плоскостью:

1)	x −1	=	y + 2	=	z	и 4x + 4y −7z +1 = 0	; 2)	x + 4y − 2z + 7 = 0,		и 3x + y − z +1 = 0 .
									0
	3		2		− 6
								3x + 7y − 2z =
							145

12.10

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку

M (2;0;−3) парал-

лельно прямым

x − 2

y +1

12.11

Найдите координаты точки пересечения прямой

x −1

y + 2

z − 2

с плоско-

стью 3x − y + 2z + 5 = 0 .

12.12

Найдите проекцию точки A(3;−1;4)

на плоскость 2x + y − z +5 = 0 .

12.13

Найдите точку A, симметричную

точке P(6;−5;5)

относительно

плоскости

2x − y + z − 4 = 0.

12.14

Найдите проекцию точки A(2;3; 1)

на прямую

x +7

y + 2

z + 2

и расстоя-

ние от этой точки до данной прямой.

	Домашние задания
12.15	Составьте уравнения прямой,	проходящей через точку M (4;−3;2): 1) парал-
лельно оси Ox; 2) параллельно оси Oz; 3) перпендикулярно к плоскости					x −3y + 2z −5 = 0 ;
4) перпендикулярно к плоскости Oxz.
12.16	Вычислите угол между прямой	x − 2y + 3 = 0		и плоскостью	2x + 3y − z +1 = 0 .
			0
		3y + z −1 =

12.17Найдите уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A(3;−5;1) на плос-

кость: 1) 2x − y +5z +3 = 0 ; 2) 3x −2z + 4 = 0 ; 3) y −1 = 0.

12.18Пересекаются ли прямые:

x +2

y −3

z −4

y +4

z −3

; 2)

x +3y −4z +7 = 0,

x − y + 3z − 6 = 0,

= 0

−1

3x + y + 2z −5 = 0,

2x + y − z + 3

12.19Составьте параметрические уравнения медианы треугольника с вершинами

A(3;6;−7), B(−5;1;−4),C(0;2;3) , проведенной из вершины С.

12.20Найдите координаты точки Q, симметричной точке P(−3;1;−9) относительно плоскости 4x −3y − z −7 = 0.

12.21Найти координаты точки Q, симметричной точке P(2;−5;7) относительно прямой, проходящей через точки M1(5;4;6) и M2 (−2;−17;−8) .

12.22Найдите угол между прямыми:

1)	x +2		y		z +1	и осью Ox; 2)	x + y = 0,	y + z = 0,
		=		=				и
		=		=				и
	3		4		0		x − y = 0,	y − z + 2 = 0.
							146

x −2

z +3

x = 2 + 2t,

x −2

y −1

x = 2 +3t,

Ответы: 12.1

12.2 1)

; y = −3t,

; y =1+t,

−3

−2

z = −3 +5t.

z = −2t.

	x +1		y − 2		z −1	x
2)	x +1		y − 2		z −1
		=		=		; y
	−1	=	1	=	1	; y
	−1		1		1
						z

= −1−t,	π
= 2 + t, . 12.3		. 12.4 1) a = 3; 2) a ≠ ±1; a ≠ 3; 3) a = −1;
	2
=1+ t.

4)		a =1.				12.5								x +3					=		y −2		=		z −1		;			x +3				=	y −2				=		z −1			;			x −1				=		y +1			=		z			.		12.6				x −2				=		y +5			=			z −4		.
																4						−3				−1					5					1					−6						1							4				−5										2					−3				4
12.7																																			12.8							x − 2 y +1 z −3																					12.9					1)											62
				Прямая						параллельна															плоскости.																																					.																			;
				Прямая						параллельна															плоскости.																		3				=			−1				=				2				.									arcsin										;
																																											3							−1								2																					63
							19																														12.11 (−3;−4;0).																		12.12. (1;−2;5). . 12.13																		A(−2;7;1).
2)																12.10						x +		2y −5z −17 = 0 .

	arcsin					11						.
						11			7
12.14				(−5;2;4);														. 12.15							1)			x −4			=		y +3			=		z −2				; 2)						x −4				=		y +3			=		z −2						;	3)	x −4			=		y +3			=			z −2		;
														59														x −4					y +3					z −2										x −4						y +3					z −2								x −4					y +3						z −2
														59
																									1						0									0									0					0				1										1					−3				2
4)				x −4				y +3							z −2							12.16													5											′				12.17								1)								x −3			y +5								z −1				;
4)			0			=	1				=					0				.		12.16							sin ϕ =						7	;	ϕ ≈ 45 36 .													12.17								1)								2		=			−1			=			5				;
			0				1									0																			7																															2					−1						5
		x −3						y + 5									z −1									x −3						y + 5						z −1																															x = 2t,
2)		x −3			=			y + 5					=				z −1					; 3)				x −3			=			y + 5				=		z −1					. 12.18							1)					нет;			2)					да.			12.19						y = −3t + 2,

			3				0										− 2								0						1									0
			3				0										− 2								0						1									0
																																																																					z =17t +3.
12.20 Q(1;−2;−10) . 12.21 Q(4;1;−3) . 12.22. 1) cosϕ =																																													3	; 2) cosϕ =												6						.
12.20 Q(1;−2;−10) . 12.21 Q(4;1;−3) . 12.22. 1) cosϕ =																																														; 2) cosϕ =																		.
																																											5																	61
																	Занятие 13. Кривые второго порядка на плоскости
																														Аудиторные задания
			13.1						Для											следующих										эллипсов и																	гипербол												найдите:									а)					полуоси;

б) расстояние между фокусами; в) эксцентриситет ε; г) координаты фокусов; д) координаты вершин; е) для гипербол составьте уравнения асимптот.

=1; 2)

=1; 3)

−

= −1; 4)

−

=1.

144

13.2 Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если:

1)его полуоси равны 1 и 7;

2)расстояние между фокусами равно 8 и малая полуось равна 3;

3)большая полуось равна 5 и точка M0 (3;−2;4) лежит на эллипсе.

147

13.3 Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:

1)его полуоси равны 2 и 5;

2)расстояние между фокусами равно 12 и большая полуось 13;

3)малая ось равна 10, а эксцентриситет ε = 12 .

13.4Составьте уравнение гиперболы, если:

1)ее фокусы находятся в точках F1(7;0), F2 (−7;0), а действительная полуось равна 5;

2)гипербола проходит через точку M0 (6;−2,53 ), а ее вершины находятся в точках

A1(− 4;0), A2 (4;0).

13.5 Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:

1)ее действительная и мнимая полуоси равны 11 и 4 соответственно;

2)расстояние между фокусами равно 10, а эксцентриситет ε = 5 ;

3) уравнение одной из асимптот y = 3 x , а действительная полуось равна 6.

13.6Составьте каноническое уравнение параболы, если:

1)ее вершина совпадает с началом координат, а фокус находится в точке F(2;0);

2)ветви направлены вверх, а параметр равен 4;

3)уравнение директрисы y = 3 , а фокус находится в точке F(0;−3);

4) ее вершина совпадает с началом координат, парабола проходит через точку

M0 (9;−6) и ось абсцисс является осью параболы.

13.7Определите вид и расположение линии 2-го порядка, постройте ее:

1) 9x2 + 4y2 −18x +16y −11 = 0 ;

2)9x2 −16y2 +54x + 64y −127 = 0 ;

3)x2 −10x −8y + 49 = 0 ;

4)y2 − 2x − 4y − 2 = 0 ;

5)4x2 −9y2 −16x −18y + 7 = 0 ;

6)x2 + 4y2 + 4x −32y + 68 = 0 .

148

Домашние задания

13.8Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3; 2) малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 4/5.

13.9Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 4x2 + y2 = 4.

13.10

Составить

каноническое уравнение

эллипса, проходящего

через точки

3 3

4 2

; −1 и M 2

−1;

, и найти его эксцентриситет.

13.11

Найти

уравнение гиперболы, если

ее асимптоты заданы

уравнениями

x ± 2y = 0 , а расстояние между вершинами, лежащими на оси Ox, равно 4.

13.12

Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:

1)расстояние между фокусами равно 30, а расстояние между вершинами равно 24;

2)действительная полуось равна 4 и гипербола проходит через точку M (2;42 ) . 13.13 Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы

–в вершинах эллипса 6x2 +5y2 = 30 .

13.14 Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что:

1)парабола имеет фокус F(0;2) и вершину в точке O(0;0) ;

2)парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку M (4;− 2) .

13.15Найти длину общей хорды параболы y = 2x2 и окружности x2 + y2 = 5 .

13.16Написать уравнение параболы, проходящей через точки (0; 0) и (−2; 4) , если парабола симметрична: 1) относительна оси Ox ; 2) относительно оси Oy .

13.17Составить канонические уравнения парабол, фокусы которых совпадают с фо-

кусами гиперболы x2 − y2 = 8.

13.18 Выяснить, какая фигура соответствует каждому из данных уравнений, и (в случае непустого множества) изобразить ее в системе координат Оху:

1)x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0 ;

2)3x2 − 4y2 −12x −8y + 20 = 0 ;

3)y2 −3x − 4y +10 = 0 ;

4)2x2 +3y2 + 6x + 6y + 25 = 0 .

5)4x2 + 25y2 + 4x −10y −8 = 0;

149

6)x2 − y2 + 2x − 2y = 0 ;

7)x2 −6x + 2y +11 = 0 .

Ответы:

13.1

а)

a = 4; b = 5 ;

б)

2c = 6 ;

в)

ε =

;

г)

(0;−3),

F (0;3);

д)

(4;0), (− 4;0), (0;5), (0;−5);

2) а) a = 5; b = 4 ; б) 2c = 6 ; в)

ε =

; г)

F (3;0), F (−3;0); д)

(5;0), (−5;0), (0;4), (0;−4);

а) a =12; b = 5;

б)

2c = 26 ;

в) ε =

;

г) F (0;−13), F (0;13);

д)

A (0;−5), A (0;5);

е)

y = ±

x ;

а)

a =12; b = 5;

б)

2c = 26 ;

в)

ε =

; г)

F (13;0), F (−13;0);

д) A (−12;0),

A (12;0); е)

y = ±

x .

13.2 1)

=1; 2)

=1; 3)

=1.

13.3 1)

=1; 3)

=1;

=1.

133

169

13.4 1)

−

=1;

−

=1.

13.5 1)

=1; 2)

=1; 3)

−

=1.

121

13.61) y2 = 8x ; 2) x2 = 8y ; 3) x2 = −12y ; 4) y2 = 4x .

13.7Во всех задачах новые координатные оси Ox, Oy, Oz сонаправлены старым, начало координат новой системы координат находится в точке O′.

эллипс

Y 2

=1, O

′

гипербола

X 2

Y 2

′

−

(1;−2); 2)

=1, O (−3;2);

парабола X

′

3;2);

= 8Y, O

(5;3); 4) парабола Y = 2X

, O (−

пара пересекающихся прямых 2x −3y −7 = 0 и

2x +3y −1 = 0 ; 6)

′

точка O (− 2;4).

13.8 1)

=1;

=1; 2)

=1;

=1.

100

150

																				x2		y2											.						x2	−		y2
13.9	F	(0, −				),	F (0,			),	ε =		3	.	13.10						+			=1; ε =							5			13.11									=1.
13.9	F	(0, −			3	),	F (0,		3	),	ε =		3	.	13.10						+			=1; ε =							5			13.11									=1.
	1						2				2							9			4								3									4		1
											2							9			4								3									4		1
			x2			y2		y2			x2					y2		x2							y2					x2										x2 = 8y;
13.12.	1)			−			=1;			−		=1; 2)					−		=1. 13.13								−					=1. 13.14 1)
13.12.	1)			−			=1;			−		=1; 2)					−		=1. 13.13								−					=1. 13.14 1)
		144				81		144			81				16			4							1				5
2) y2 = x . 13.15 2. 13.16 1)									y2 = −8x ; 2)						y = x2 . 13.17						y2 = ±16x .
13.18 1) окружность (x −2)2 +(y +3)2 =12; 2) гипербола																							(y +1)2			−		(x − 2)2								=1;
13.18 1) окружность (x −2)2 +(y +3)2 =12; 2) гипербола																										−										=1;
																								3					4
3) парабола (y − 2)2 = 3(x − 2); 4) пустое множество;																					5) эллипс						(x + 0,5)2								+		(y −0,2)			2	=1; 6)
3) парабола (y − 2)2 = 3(x − 2); 4) пустое множество;																					5) эллипс								2,5						+			0,4			=1; 6)
																													2,5									0,4

пара пересекающихся прямых x + y + 2 = 0; x − y = 0 ; 7) парабола (x −3)2 = −2(y +1) .

Занятие 14. Поверхности второго порядка Аудиторные задания

14.1Определите вид поверхностей и их расположение относительно координатных

осей: 1)

=1; 2)

−

= −1; 3)

−

=1;

100

−

= −1; 5)

= 2z ; 6)

−

= 0 ;

−

= −1; 8)

= −2x ; 9)

=1;

100

10)

−

=1; 11) z2 =18x .

1625

14.2Привести к каноническому виду уравнение 2-го порядка, используя преобразование параллельного переноса, определить вид поверхности и ее расположение относительно новой системы координат:

1) 9x2 + 4y2 + 4z2 −18x +16z −11 = 0 ; 2) 9x2 + 4y2 −4z2 −18x −16z −43 = 0 ;

3) 9x2 −4y2 + 4z2 +18x +16z + 25 = 0; 4) 9y2 + 4z2 = 36x + 72 ;

5) x2 + y2 + 6x − 4y +12 = 0 ; 6) y2 = 4x +16 ; 7) x2 + y2 + z2 + 6x − 4y + 2z −10 = 0 .

14.3Постройте тело, ограниченное поверхностями:

1) x2 + y2 = 4; z = 0; z =1; y = x; y = x3 , расположенное в первом октанте;

2) x2 + y2 = 2x; z = 0; z = x2 + y2 ; 3) z = x2 + y2 +1; x = 0; y = 0; z = 0; x = 4; y = 4 ;

151

4) z = x2 − y2; z = 0; x = 3 ; 5) x2 + y2 + z2 = 9; x2 + y2 = 3a .

Домашние задания

14.4Определить вид поверхности и построить ее:

1) x2 + y2 + z2 −3x +5y −4z = 0 ; 2) x = y2 + 2z2 ; 3) 2x2 − y2 + z2 = 4 ;

4) 2x2 − y2 + 3z2 = 0 ; 5) z2 = 4x ; 6) x2 + z2 = 5 ;

7) x2 + y2 + z2 = 2z ; 8) x2 +3z2 −8x +18z +34 = 0 ; 9) 5x2 + y2 +10x −6y −10z +14 = 0 ;

Ответы: 14.1 1) эллипсоид; 2) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Oz; 3) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Ox; 4) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Oy; 5) эллиптический параболоид, вытянутый в положительном направлении оси Oz; 6) конус, вытянутый вдоль оси Ox; 7) однополостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Ox; 8) эллиптический параболоид, вытянутый в отрицательном направлении оси Ox; 9) эллиптический цилиндр, образующие параллельны оси Oy; 10) гиперболический цилиндр, образующие параллельны оси Oy; 11) параболический цилиндр, образующие параллельны оси Oy.

14.2 Во всех задачах новые координатные оси OX, OY, OZ сонаправлены старым, начало координат новой системы координат находится в точке O′.

эллипсоид

X 2

Y 2

Z 2

′

=1; O (1;0;−2);

однополостный гиперболоид

X 2

Y 2

−

′

=1, вытянутый вдоль оси OZ, O (1;0;−2);

конус второго порядка

− 4Y

+ 4Z

= 0

, вытянутый вдоль оси OY, O (−1;0;−2);

′

Y 2

Z 2

эллиптический параболоид

= X , вытянутый в положительном направлении оси

′

OX, O (− 2;0;0);

эллиптический

цилиндр

(круговой)

X 2 +Y 2 =1,

образующие параллельны оси OZ,

O′(−3;2;0);

6)параболический цилиндр Y 2 = 4X , образующие параллельны оси OZ, O′(− 4;0;0);

7)сфера X 2 +Y 2 + Z 2 = 4, O′(−3;2;−1).

		3	2		5	2	2	25
							2
14.4 1) сфера							+(z −2) =		; 2) эллиптический параболоид;
14.4 1) сфера	x −	2		+ y +	2		+(z −2) =	2	; 2) эллиптический параболоид;
		2			2			2
								152

3) однополостный гиперболоид; 4) коническая поверхность; 5) параболический цилиндр;

6) круговой цилиндр;							7) сфера x2 + y2 + (z −1)2 =1;			8)			эллиптический цилиндр
	(x − 4)	2	+	(z + 3)	2	=1; 9)	эллиптический параболоид	z =	(x +1)		2	+		(y −3)	2	.

9				3						2			10
9				3						2			10

Занятие 15. Функция. Предел последовательности и предел функции Аудиторные задания

15.1Найти области определения функций:

1) y = x2 −6x +5 ; 2) y = arccos 2x ; 3) y = 25 − x2 + lgsin x ; 4) y = 2x2 −2 . 1+ x

15.2Проверить функции на четность или нечетность:

1) f (x) = x4 +5x2 ; 2)	f (x) = x2 + x ; 3)	f (x) =	x	; 4) f (x) =	ex +1	.
			2x −1		ex −1

15.3Построить графики функций:

1) y = 2x + 3 ; 2) y =| 3x + 4 − x2 | ; 3) y = −2sin(2x + 2) ; 4) y = xsin x .

x−1

15.4Вычислить пределы:

lim(2x2 + 2x −3);

lim (x +3)2

(x −1);

lim

1−3x − x2

;

x→1

x→−3

x→0 2x2 + x −3

lim

;

lim

5x2 −3x +1

;

lim

x3 + 2x

;

+ 4x4

x→∞ x +1

x→∞ 3x2

+ x −5

x→∞ 5 −3x2

2n −1

+ 2n3

(n +1)3

−(n −1)3

lim

−

;

10)

lim

;

11)

5n + 7 2

+ 5n

n→∞ (n

n→∞

+1)

+(n −1)

12)

lim

;

13)

lim

x3 −8

; 14)

lim

3x2 − 27

;

15)

n→∞

(n +1)!−n!

x→2 4 − x

x→3 81− x4

4) lim 3x +1 ;

x→2 2 − x

lim	1−3x2 + x3			;

x→∞			2x +1
	3
lim		n2 + n + 2		;

n→∞			n +1
lim	2x2		−9x + 4	;

x→4 x2			+ x − 20

−25

4x2

+5x −9

−3

− 4

16)

lim

;

17)

lim

; 18) lim

x +8

;

19)

lim

3x + 4

;

x→5 x2 −6x +5

x→1 2x2 +3x −5

x→1

x −1

→4

− 2

−

2 + 3 +... + n

x + 7

20)

lim

;

21)

−

;

22)

lim (

x + 2 −

x );

lim

x→2 1−

x→∞

3 − x

n→∞

n + 2

3/ 2

23)

− 2n −1

− n

−

7n +3

;

24)

lim x

− x

−

;

lim

n→∞

x→∞

153

x2 +1

−1

sin x − cos x

sin n

25)

lim

;

26)

lim

;

27)

lim

;

28)

lim

;

→0 16 + x2

− 4

x→1

−1

x→

cos 2x

n→∞ n +1

x3 −3x2 + 2

−1

3n +5n

29)

lim

; 30) lim

x −1

;

31) lim

; 32)

−

n n

lim

x→1

n→∞

x −7x +6

−1

3 −5

x→1

1− x

Домашние задания

15.5Найти пределы указанных последовательностей функций:

lim

2 + 4x2 +3x3

;

lim

7x2 +10x + 20

;

lim

(n + 2)!+(n +1)!

;

(n + 3)!

x→∞ x3 −7x −10

x→∞ x3 −10x2 −1

n→∞

lim

5n −3

;

lim

(1+ 2

+3 +...+ n);

lim

3x2

−10x −8

; 7)

lim

− x2 + x −1

;

n→∞ 5n+1

+ 2

n→∞ n2

x→4

16 − x2

x→1 x

2 − 4x + 3

− 25

+ 4

−2

−1

lim

;

10)

1− x

;

lim

x→5

x −1

− 2

→0 x2

+9 −3

x→0

x2 + x − 6

11)

12)

13)

lim x

−

;

lim

−

;

lim

;

→∞

→2 2 − x 8 − x2

x→−3 7 −3x − 4

3x +17 −

2x +12

14)

lim

x −

; 15)

lim

+ 3x −

x→−5

8x +15

x→∞

Ответы:

15.1

(−∞;1] [5;+∞);

−

;1 ;

[−5;−π) (0;π); 4)

(−∞;+∞).

15.2 1) четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3)

ни

четная,

ни

нечетная; 4) нечетная.

15.41) 1; 2) 0; 3) −

; 4) ∞; 5) 0; 6)

; 7) 0; 8) ∞; 9) 0; 10) 3; 11) 0; 12) 0; 13) – 3; 14) −

; 15)

−

; 16)

; 17)

; 18)

; 19)

; 20)

; 21)

−

; 22) 0; 23)

; 24) 1; 25) 3; 26)

;

; 31) – 1; 32) – 1.

27) −

; 28) 0; 29)

; 30)

15.5

1) 3; 2) 0; 3) 0; 4)

; 5)

; 6) −

; 7) – 1; 8) 40; 9)

; 10) −

; 11) 2; 12) ∞; 13)

;

14) 3; 15) −

154

Занятие 16. Первый и второй замечательные пределы Аудиторные задания

16.1Вычислить, воспользовавшись первым замечательным пределом:

lim

sin 5x

; 2)

lim

; 3)

lim

tg 7x

; 4)

lim

; 5)

lim

arctg5x

;

x→0

x→0 sin 3x

x→0 sin 2x

x→0 3arcsin 2x

x→0

lim 1−cos x ;

lim

1−cos6x

;

lim

sin2 3x

;

lim

cos x − cos3x

;

x→0

→0

xsin 3x

x→0 tg2 5x cos 2x

x→0

10)

lim

tg x −sin x

;

11)

lim

sin 3x

;

12)

lim

x2 −7x +6

;

13)

lim

tg(x +1)

;

x→0

x + 4

− 2

x→1 sin(2(x −1))

x→−1 x2

−4x −5

−

sin x −cos x

−2cos x

;

14)

lim

2 +sin 3x

2 −sin 3x

;

15)

lim

;

16)

lim

x→0

5tg 2x

x→

cos 2x

x→

π−4x

17)

cos2x − cos3

;

18)

;

19)

;

lim

lim x sin

lim

−ctg x

x→0

x→∞

4x tg3x

x→0 sin x

20)

lim

3x arctg5x

; 21)

lim

− x tg x .

x→0 cos x −cos 4x

x→

16.2Используя второй замечательный предел, найти:

1/ x

2 2x−3

x −6 x+2

2x −1 x

lim (1+ 2x)

; 2)

; 3) lim

; 4) lim

;

lim 1+

x→0

x→∞

2x −1

x→∞ x +5

x→∞

2x +3

3/ x

7x +3 1/ x

2x +1 x

8) lim ((2x +1)(ln(3x +1)−ln(3x −2)));

lim(1

−7x)

; 6)

lim

;

lim

;

x→0 9x +3

x→∞

x→0

x→∞ 6x −3

1−x3

6 − x x2

lim

;

10)

;

11)

lim ((x −4)(ln(2 −3x) −ln(5 −3x))) ;

lim

x→∞ 7

− x

x→+∞ 1+ x

x→∞

−2x +

lim (1+3tg2 x)ctg

x ;

12)

lim (1+sin x)cosec x ;

13)

lim

;

14)

x→0

−4x +

x→0

x→∞ x

15)

lim (1−4x)(1−x)/ x ; 16)

lim

ln(1+7x)

; 17) lim(2x −1)2x /(x−1).

x→0

x→1

16.3Вычислить пределы:

1) lim(cos x)1/ x2 ; 2) lim (1+ tg2			)1/ 2x ; 3)	lim (1+ x + x2 )1/ sin x ; 4)	lim	e2x −1	;
		x

x→0	x→0			x→0	x→0 3x

155

5) lim	ex −e−x	; 6)	lim	ln(1+ x)	; 7)	lim	a2x −1	.
				3x −1
x→0 sin x			x→0			x→0	x

Домашние задания

16.4Найти пределы следующих функций:

1) lim

sin8x

; 2)

lim

1−cos 4x

; 3) lim cos3x

− cos

x ; 4) lim

xsin 4x

;

x→0 2arctg3x

x→0 3sin x tg3x

x→0 1−

1− x2

x→0

1+ tg2 2x −

1− tg2

1−cos3 x

2x2

−7x +

sin x −

lim

;

lim

;

lim

;

lim

;

→0 x2 sin x

x→

tg(2x −1)

x→

1−2cos x

x→∞

2 + x

−3x

1/ x

5x2 /(1−x)

;

10)

lim (x(ln(2 + x)−ln x));

11)

lim(4 −3x)

;

lim

→0 1−2x

x→∞

x→1

12)

lim (cos 2x)1/ sin2 x ; 13)

lim

23x −1

; 14) lim

ex −e

; 15)

lim

ln(1+7x)

x→0

x→1

x −1

x→0 sin x

Ответы: 16.1

5; 2) 1/3; 3) 7/2; 4) 2/3; 5) 5/2; 6) 1/2; 7) 6; 8) 9/25; 9) 4; 10) 1/2; 11) 12;

; 17) 1/3; 18) 0; 19) 0; 20) 2; 21) 1.

12) – 5/2; 13) – 1/6; 14)

; 15) −

; 16) −

16.2 1) e2 ; 2) e2 ; 3) e−11 ; 4) e−2 ; 5) e−21 ; 6)

e−2 / 3 ; 7) 0; 8) 2; 9) e−1 ; 10)

e−1 ; 11) 1; 12) e;

13) e2 ; 14) e3 ; 15) e−4 ; 16) 7; 17) e4 .

16.3

1) e−1/ 2 ; 2)

; 3) e; 4) 2/3; 5) 2; 6) 1/ ln3 ; 7) 2ln a .

; 8)

16.4

1) 4/3; 2) 8/9; 3) – 8; 4) 1; 5) ∞; 6) −

; 7)

e−6 ; 9)

e−1; 10) 2; 11) e15 ; 12)

e−2 ;

13) 3ln 2 ; 14) e; 15) 7.

Занятие 17. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва Аудиторные задания

17.1 Вычислить пределы, используя теорему об отношении двух бесконечно малых функций:

cos x − cos 2x

ln(1− x)

arcsin

e5x −1

1) lim

;

2) lim

;

3) lim

1−x2

;

4) lim

;

x→0

1− cos x

x→0

2 tg 3x

x→0

ln(1− x)

x→0 sin10x

156

sin4 4x

8) lim

ln2 (1+

)

5) lim sin 3(x − 2)

;

6) lim

tg(x + 5)

;

7) lim

;

x2 − 25

x→2 x2 −3x + 2

x→−5

x→0 arctg3 2x

x→0 1−ex / 3

17.2Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:

f (x) = sin(x −2)

x2 − 2x +1

f (x) =

; 2)

; 3) f (x) = 3

4−x2

; 4) f (x) =

; 5)

f (x) = arctg

;

x −1

x3 − x2 − x +1

x −3

x −2

−∞ < x ≤1,

sin x,

− ∞ < x ≤1,

| x +1|

x−2

−1

f (x) =

;

−3, 1< x < 2,

f (x) =

;

x +1

(x) =

x >1.

f (x) = x

+1,

x−2

x ≥ 2.

x −1,

10)f (x) = x3 +1 . x +1

Домашние задания

17.3Вычислить пределы:

lim ln(1+ 7x) ;

lim esin 7x −1 ;

3) lim

4x2 −1

;

4) lim

x2 − 4

;

x→0

sin 2x

x→0

x2 + 3x

x→1

arcsin(1−2x)

x→2 tg(x2 −3x

+ 2)

−1

arcsin3(x −3)

lim

1+sin 3x

;

6) lim

ln(1+ tg 2x)

(ex−3

−1)2 arctg x

x→0

x→3

17.4Исследовать на непрерывность функции; установить характер точек разрыва:


1) f (x) =		tg x	; 2) f (x) =	1		; 3)
1) f (x) =		2	; 2) f (x) =	1		; 3)
	x	+ 2x	1+3
	x	+ 2x	1+3		x


	4	− x		2	, −2 ≤ x ≤ 2,
	4	− x			, −2 ≤ x ≤ 2,
		2,			2 < x ≤ 4, Построить график функции;
f (x) = x −		2,			2 < x ≤ 4, Построить график функции;
					x > 4.
			x,
−2			x,

−x

x3 +1,

−∞ ≤ x ≤ 0,

f (x) = e

− e

f (x) =

0 < x ≤ π,

Построить график функции;

; 5)

cos x,

x −π−1,

x > π.

f (x) =

1−cos x

2x2 − x3

Ответы: 17.1

1) 3; 2) −

; 3) – 1; 4)

; 5) 3; 6) −

; 7) 0; 8) – 21.

17.2 1) x =1

– точка разрыва 2-го рода; 2)

x = 2 – точка устранимого разрыва, f (2)=1 ;

x = ±2 – точки разрыва 2-го рода; 4) x =1 – точка устранимого разрыва, f (1)=

; x = −1 –

точка разрыва 2-го рода; 5) x = 3 – точка разрыва 1-го рода; 6) x = −1 – точка разрыва 1-го рода; 7) функция непрерывна при x R ; 8) x =1 – точка разрыва 1-го рода; 9) x = 2 – точка разрыва 1-го рода; 10) x = −1 – точка устранимого разрыва; f (−1)= 3.

157

17.3	1) 7/2; 2) 7/3; 3) – 2; 4) 4; 5) 3/4; 6) 0.
17.4	1) x = 0 – точка устранимого разрыва, f (0) =			1 ;	x = −2, x =	π	+ πk (k = 0;±1;±2	и т.д.) –

				2	2
точки разрыва 2-го рода; 2) x = 0 – точка разрыва					1-го рода; 3) x = 4 – точка			разрыва
1-го рода; 4) x = 0 – точка устранимого разрыва,				f (0) = 2 ; 5) всюду непрерывна; 6)				x = 0 –
точка устранимого разрыва, f (0) =		1	; x = 2 – точка разрыва 2-го рода.

	4

Занятие 18. Производная функции, ее геометрический и физический смысл Аудиторные задания

18.1Исходя из определения, найдите производные функций:

1) y = 7x2 ; 2) y = x ; 3) y = 5(tg x − x).

18.2Найдите производные функций:

y = 5x4 −87

y = x3 sin 2x ;

y =

x4 + 2x +3

;

+ 4;

x5 −1

sin 4x −cos

y = 3

;

y = x ln(2x3 +3x2 −2); 7) y =

; 8)

−2

sin 3x +cos x

arccos

−

;

y = −ctg3

−2lnsin

; 11)

y =

4 − x2

10)

12)

13)

14)

y =

−

;

y = cos

;

sin

+sin cos

2x −1 x

15)

y = arcsin

+arccos

; 16)

y = loga ln x .

18.3

Решите уравнение f

(x)−

f (x)= 0, если

f (x)= x

ln x .

′

y = (x5 +3x −7)4 ;

y = e−x2 log3	1	;
	x

y = arctg(x + 2);

y = 2−x / ln x ;

18.4Решите неравенство f ′(x)+ϕ′(x)≥ 0 , если f (x)= 2x3 +12x2 , ϕ(x)= 9x2 +72x .

18.5Вычислите значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной:

; f (3)= ?

f (x)= x

+3 +

+6; f (1)= ?

f (x)=

+ sin

−

x +1

′

f (x)= sin8xcos4x; f

= ?

f (x)=

2cos x

; f

= ?

′

1+ sin x

158

f (x)=

arctg x

′

;

(1)= ?

f (x)= 3

−

′

;

(2)= ?

f (x)= 5(x

− x) cos

(0)= ?

′

11)

f (x)=

2x −4

; f

= ?

′

sin2 x

6)	f (x)= 4e	−x2	arcsin		x	;	f	(0)= ?
					2			′
					2
		2x		′
8)	f (x)= ln			′
8)	f (x)= ln			; f (2)= ?

1+ 4x

10) f (x)= 1 x2 −1+ 3x ; f ′(1)= ? 2

18.6 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = x2 + 4 в точке M (1;5).

18.7 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = tg x

в точке с абсциссой x0 = 4π . 3

18.8Тело массой 7 движется прямолинейно по закону y = t2 +t + 4. Определите ки-

нетическую энергию тела в момент времени t = 3 .

18.9Радиус шара изменяется со скоростью 6 см/с. С какой скоростью изменяются объем и поверхность шара?

18.10Найдите силу тока в проводнике, если заряд, проходящий через поперечное се-

чение проводника, изменяется по закону q = 2t +e−3t

(кл).

18.11 Материальная точка движется по окружности так,

что угловое перемещение ϕ

изменяется по закону ϕ = 6,5 +7t +3,5t2 + 2t3

(рад). Найдите угловую скорость движения ма-

териальной точки к моменту времени t = 2c от начала движения.

Домашние задания

18.12

Найдите производные функций:

y = 5e2x

y =

cos3x

y = x2 arcsin8x ;

y =

ctg 2x

x ;

;

x +1

arcsin x / 2

−x2

y = 3

;

y = 5log

sin

;

y =

−

;

y = ln

8x −

;

2x − 7

10)

11)

x − x2

12)

y = arccos

;

y = arctg x

x x ;

y =

;

y =

e−x3

159

18.13 Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции y = e1−x2

вточке с абсциссой x0 = −1.

18.14Вычислите значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной:

f (x)=

14x

(2)=

f (x)=

(π)= ?;

+ 5 +

; f

−

+ sin 9x; f

2x −1

′

f (x)=

sin 6x cos3x; f

f (x)=

tg x

= ? ;

′

f (x)= ln

2x2

(2)

f (x)= arccos

; f

= ? ;

1− 2x +

2x − 4x

;

= ? ;

′

1+ 4

1+ x

′

f (x)= arctg x

;

1− x

(0)= ?

Ответы: 18.3 x =

. 18.4 x (−∞;−4] [−3;+∞).

18.5 1)

(1)

= 7 ; 2)

(3)=

; 3)

= 5

= −1; 5)

f (1)=

−

3π

;

′

(0)= 2; 7) f (2)= −

ln3

; 8) f

(2)=

;

(0)= −5

; 10)

(1)=

; 11)

′

18.6

y = 2x +3; x + 2y −11 = 0. 18.7 y = 3x −π. 18.8

. 18.9

′

24πR

, s

′

= 48πR .

18.10 I = 2 −3e−3t . 18.11 ω = 45 рад/с. 18.13 2x − y +3 = 0; x + 2y −1 = 0 .

18.14

f (2)

= −

;

(π)=

9 −125π2

;

= −6;

4π−1

;

′

15π2

′

π3

(2)=

;

= 0 ;

7) f (0)= −1.

′

Занятие 19. Производная функции. Логарифмическая производная Аудиторные задания

19.1Найдите производные функций:

	1		4) y = log2 lnn mx ;


1) y = x + 2 x +3 x +sh x ; 2) y = logx e ; 3) y =		;

	cosn (m +1)x
	cosn (m +1)x

160

5) y = e−2x ch5x ; 6) y = arcctg(th x); 7) y =	ctg 4x	; 8)	y = 5sh	1	.

	cth 3x			x

19.2Используя предварительно логарифмирование, найти производные функций:

y =

(x −3)2 (2x −1)5

;

y = 3

(4x − 7)2 (12x − x2 )8

;

y = (2x)sin x / 3 ;

(4x +1)3

(2 −3x)5

arcsin5x

y = (arcsin3x)

= (tg8x)

;

; 6)

y = x

;

y = cos

5/ x

e−x2

; 9)

y = arctg 2x (1

+ 4x)

; 10) y

y = (log2 x)

= (th 6x)

Домашние задания

19.3Найдите производные функций:

ln3x

cos x

−tg 6x

y = a

cos x ;

= arcsin

;

y = x

;

y = (acctg 2x)

; 5)

= x

;

ch x

(3x +1)4 5

2 − x

y = x3

1− x

y = x4

; 10) y = (log

7)x .

y =

; 7)

; 8)

; 9)

y =

5 (3 − x)4 x4 / 3

5 3x −8

19.4 Вычислите значения производных заданных функций при указанных значениях

независимой переменной:

f (x)= (3x)

f (x)

cos x

1/ x

′

; f

f (x)= (cos x)

;

; f (1)=

(1)= ? 3)

(2π)= ?

f (x)

ln3x

(1)= ? 5) f

tg 2x

= x

;

(x)= (sin x)

;

= ?

(x)

= (arcsin x)

;

= ?

′

(x − 2)2

(3x −2)4

2 / x

′

x +1

′

5x +1

′

f (x)= (x

+1)

; f

(2)=

? 8) y =

(x −5)3

; f (1)= ?

9) y =

(7x −5)3

;

f (0)=

Ответы:

19.4

(1)=12ln3 +3;

(1)= −2cos1;

(2π)= 0 ;

(1)= ln3 ;

′

πln π

πln 6

= 0 ;

−

;

f (2)=1

−

ln3 ;

(1)=

;

′

f (0)= −

625

161

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3527 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf

Занятие 12. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве

Занятие 13. Кривые второго порядка на плоскости