силы относительно точки A= (2;3;−1).

Ответы: 9.1 1) 12; 2) 24; 3) 48. 9.2 1) (5;1,7); 2) (10; 2; 14); 3) (20; 4; 28). 9.3 c = 4i −5 j + 2k .

Занятие 10. Прямая на плоскости

Аудиторные задания

10.1Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(−1; 2) , перпендикулярно

вектору M1M2 , если M1(2; −7), M2 (3; 2) .

10.2Написать каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(3;−2) параллельно: 1) вектору S(1; 5) ; 2) оси Oу .

10.3Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(−1; 8) и образующей с

осью абсцисс угол, равный 34π .

10.4Написать уравнение прямой, проходящей через точки M1(2;1), M2 (4;5), и найти

точки ее пересечения с осями координат.

10.5Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 (4;3), являющуюся

основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

10.6При каком значении A прямая Ax + 4y −13 = 0 образует с осью Ox угол α = 45°?

10.7Даны вершины треугольника A(2;−3), B(4;5), C(−3;4). Найти: 1) уравнение сто-

роны AB; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины C; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины C.

10.8 Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе второго координатного угла и отсекающей на оси Oy отрезок, равный 3.

141

10.9Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(2;−3): 1) параллельно прямой y = 2x −9 ; 2) перпендикулярно прямой x +3y − 2 = 0 .

10.10Каково взаимное расположение двух прямых, угловые коэффициенты которых равны – 2,5 и – 0,4?

10.11Найдите расстояние от точки M(−1;2) до прямой:

10.13Найти расстояние между прямыми 12x −5y −26 = 0 и 12x −5y +13 = 0.

10.14Найти проекцию точки A(2;6) на прямую 3x + 4y −5 = 0 .

x −2y +6 = 0 .

10.21 Найти один из углов между прямыми:

Занятие 11. Плоскость Аудиторные задания

11.1Даны точки M1(3;−1;2) и M2 (4;−2;−1). Составьте уравнение плоскости, прохо-

дящей через точку M1 перпендикулярно вектору M1M2 .

11.2 Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки:

1)M1(3;−1;2), M2(4;−1;−1) и M3(2;0;2); 2) M1(1;3;4), M2(3;0;2) и M3(2;5;7).

11.3Укажите особенности в расположении относительно системы координат Oxyz

3x − 2y + z − 6 = 0 .

11.5Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1;−1;0) парал-

лельно векторам: 1) a = (0;2;3) и b = (−1;4;2); 2) s1 = (2;−1;3) и s2 = (3;0;1).

11.6Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1;−3;−2) параллельно: 1) плоскости 3x − 2y + 4z −3 = 0 ; 2) плоскости Oyz.

11.7Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 0; −2) перпендикулярно к плоскостям x − 2y + z +5 = 0 и 2x − y +3z −1 = 0 .

143

11.8 Найдите угол между плоскостями: 1) x + 4y − z +1 = 0 и x + y − z −3 = 0;

2) x + 2y − z +5 = 0 и 2x − y + z −3 = 0.

11.9Дана пирамида с вершинами A(2;2;−3), B(3;1;1), C(−1;0;5), D(4;−2;−3). Найдите

длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

11.10 Установите, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:

1) x − y +3z +1 = 0 и 2x − y +5z − 2 = 0 ;

2)3x + 2y − z + 2 = 0 и 6x + 4y −2z +1 = 0;

3)2x + 6y + 2z −4 = 0 и 3x +9y +3z −6 = 0 .

αx +(2α −1)y + z −5 = 0 :

1)параллельна плоскости 2x +3y + z − 4 = 0 ;

2)параллельна плоскости y − z + 7 = 0 ;

3)перпендикулярна к плоскости 3x + y − z = 0 ;

4)перпендикулярна к плоскости Oxz.

11.15Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1;2;3) и M2 (2;1;1) перпендикулярно к плоскости 3x + 4y + z −6 = 0 .

11.16Найдите расстояние от точки M (2;1;1) до плоскости x + y − z +1 = 0 .

4) проходит через ось Oz; 5) проходит через ось Oy; 6) проходит через ось Ox; 7) параллель-

144