7.5 1) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ; 2) {(0,2C1 +C2,C1,C2 ) | C1,C2 R}.

Занятие 8. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Аудиторные задания

8.1Определить, для каких векторов a и b выполняются следующие условия:

из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

8.5Найти направляющие косинусы вектора a(6;− 2;−3) .

8.6Определить модули суммы и разности векторов a = 3i −5 j +8k и b = −i + j −4k .

8.7Даны вершины треугольника A(4;−1;2), B(0;1;−3), C(6;5;3). Найдите: 1) коорди-

наты вектора AD , если AD – медиана треугольника; 2) координаты точки O пересечения медиан этого треугольника.

8.8Даны точки A(4;4;0), B(0;0;0), C(0;3;4), D(1;4;4). Докажите, что ABCD – равно-

137

бедренная трапеция.

8.9 Дан треугольник с вершинами в точках A(2;3;−1), B(4;1;−2), C(1;0;2). Найти: а) внутренний угол при вершине С; б) площадь треугольника АВС; в) длину высоты, опущенной из вершины С на АВ.

8.12Даны вершины четырехугольника A(1; − 2; 2), B(1; 4;0),C(−4;1;1) и D(−5; −5; 3) . Дока-

зать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.

A(1;2;1), B(3;−1;7), C(7;4;−2) . Убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

8.14Вычислить проекцию вектора a = 5i + 2 j −5k на ось вектора b = 2i − j + 2k .

8.15Даны векторы a = (1;−3;4), b = (3;−4;2), c = (−1;1;4). Найти прb +c a .

8.16Какую работу производит сила F = (2;−1;−4), когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки A= (1;−2;3) в точку B = (5;−6;1)?

Домашние задания

8.17 Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a(3; −5;8) и b(−1;1; − 4) , и косинус угла между его диагоналями.

8.18Даны три вектора a(−2;1;1), b(1;5;0) и c(4; 4; − 2) . Вычислить прc (3a −2b) .

8.19При каком значении α векторы a = αi −3 j + 2k и b = i + 2 j −αk взаимно пер-

пендикулярны?

8.20Векторы a и b образуют угол ϕ= π6 . Зная, что | a | = 3 , | b | = 1, вычислить угол α между векторами p = a +b и q = a −b .

8.21Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору a = (2;1; −1) , при условии

что (a , b) = 3 .

8.22Даны точки A(−1;0;2), B(2;3;−4), C(2;3;4). Найдите координаты вектора AD , если известно, что точка D делит отрезок BC в отношении λ = 3.

8.23Найдите направляющие косинусы вектора AB , если A(3;4;−5), B(−1;8;−3).

8.24Найдите вектор b , ортогональный вектору a = i + 2 j −k и удовлетворяющий

138

условиям (b,i )= 3; (b, j )= 2.

8.21) 1; − 1 ; 0 ; 2) (6; −4; 12); 3) (0; −1; 12). 2

8.3Векторы противоположно направленные, вектор b длиннее вектора a в 3 раза.

Занятие 9. Векторное и смешанное произведения векторов

2)|[a +b , a −b]| ; 3) |[(3a +b), (a −b)]| .

9.2Даны векторы a = (3; −1; −2),b = (1; 2; −1) . Найти координаты векторных произве-

дений: 1) [a , b]; 2) [2a +b , b]; 3) [2a −b , 2a +b] .

9.3 Найдите какой-либо ненулевой вектор c , перпендикулярный векторам a = (1;2;3) и b = (0;2;5).

9.4Вычислите синус угла, образованного векторами a = 6 j + k и b = i +3 j .

9.5Даны вершины треугольника A(1; −1; 2), B(5; −6; 2), C(1; 3; −1) . Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC .

9.6Докажите справедливость тождества [a −b, a +b]= 2[a,b] и выясните его геометрический смысл.

139

2)[a, [b,c]].

9.8Известно, что a +b +c = 0. Докажите, что [a,b]= [c,a]= [b,c].

9.9Сила F = (3;4;2) приложена к точке C = (− 2;1;−2). Определите величину и на-

правляющие косинусы момента силы относительно начала координат.

9.10Выясните, компланарны ли векторы:

а) a = (0;1;1), b = (1;1;1), c = (1;0;0); б) a = (4;−2;0), b = (−3;6;3), c = (1;4;−5).

ем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины D .

9.13Выясните ориентацию тройки векторов:

1) a = i − j + 2k; b = 3i + 4 j + k , c = −2i +3 j −k ; 2) a = 5i + j − 2k; b = −3i + 2k , c = 2i + j − k .

9.14 Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на векторах a = i −5 j + k , b = 4i + 2k , c = i − j −k , если за основание взят параллелограмм, построенный на

векторах a и b .

Домашние задания

9.15Найти вектор c , ортогональный векторам a = (2;−3;1) и b = (1;−2;3) и удовлетво-

ряющий условию (c,i + 2 j −7k ) =10 .

9.16Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = (0;−1;1) и

b= (1;1;1) .

9.17Вычислить синус угла, образованного векторами a = (2; −2;1) и b = (2; 3; 6) .

b= (1; −1;3),c = (1;9; −11) .

9.19Лежат ли точки A(5;5; 4), B(3;8; 4),C(3;5;10), D(5;8; 2) в одной плоскости?

C = (−1;4;−2). Определите величину и направляющие косинусы момента равнодействующей

140